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人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀习题，文件包含专题42指数函数5类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题42指数函数5类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc118317572" 【考点1：指数函数的概念】 PAGEREF _Tc118317572 \h 1
\l "_Tc118317573" 【考点2：指数函数的图象】 PAGEREF _Tc118317573 \h 3
\l "_Tc118317574" 【考点3：指数函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc118317574 \h 9
\l "_Tc118317575" 【考点4：指数函数的单调性与最值】 PAGEREF _Tc118317575 \h 14
\l "_Tc118317576" 【考点5：指数函数的应用】 PAGEREF _Tc118317576 \h 15
【考点1：指数函数的概念】
【知识点：指数函数的概念】
形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.
1．（2023·全国·高一专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式.
【详解】设（且），则，
解得，故.
故选：D
2．（2023·上海·高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义求解即可.
【详解】因为函数是指数函数，
所以.
故选：C
3．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，不是指数函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据指数函数的定义即可判断．
【详解】对于A，中底数，指数是自变量，指数式的系数为，所以是指数函数，故A不合题意；
对于B，中指数不是自变量，所以不是指数函数，故B符合题意；
对于C，中底数必须满足且时，才是指数函数，故C符合题意；
对于D，中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故D符合题意，
故选：BCD．
4．（2023秋·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）若指数函数的图像经过点，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据已知求出指数函数的解析式，从而代入即可得解.
【详解】依题意，设，
因为的图像经过点，所以，即，
所以，
所以.
故答案为：.
5．（2023·全国·高一专题练习）若指数函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可.
【详解】设指数函数且，
过点，，解得：，，
.
故答案为：.
6．（2023·全国·高一专题练习）若函数，且是指数函数，则 ， ．
【答案】
【分析】根据指数函数的定义，指数式的系数为1，常数项为0，即可求出参数的值．
【详解】因为是指数函数，
所以，解得，
故答案为：4，4．
7．（2023·全国·高一课堂例题）已知指数函数的图象经过点，求和．
【答案】，．
【分析】将代入指数函数表达式中可得，进入代入即可求解.
【详解】因为且的图象经过点，所以，
解得（负根舍去），于是．
所以，．
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图像经过点，其中且，求a的值；
【答案】
【分析】将点代入函数解析式即可求出.
【详解】由题意得，所以.
【考点2：指数函数的图象】
【知识点：指数函数的图象】
1．指数函数的图象
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
1．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．
【详解】因为
又，
根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；
时，函数为减函数，排除A．
故选：C．
2．（2023·福建·高考模拟）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.
【详解】由图象可知，函数为减函数，
从而有；
法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，
则，即.
故选：D.
3．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
4．（多选）（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第二十五中学校考阶段练习）已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当时，，排除B，C，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.
【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：
则时，的关系有三种可能，分别是：，，.
故选：BCD
6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，
且当时，，可得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.
故选：ABD.
7．（2023·上海·高一专题练习）函数且的图象必经过点 ．
【答案】
【分析】根据指数运算的性质进行求解即可.
【详解】因为当时，，
所以函数且的图象必经过点，
故答案为：
8．（2023·全国·高一课堂例题）作出指数函数和的图象．
【答案】答案见解析
【分析】通过列表、描点连线（也可借助信息技术在计算机上作图）作图即可.
【详解】过列表、描点连线（也可借助信息技术在计算机上作图），得图4.2-3．
9．（2023·全国·高一专题练习）设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.
【答案】a，b的取值范围分别为
【分析】从图象获取关键信息即可求解.
【详解】由题图可知函数单调递增，即，
所以的取值范围为；
由图可知当时，有，解得，
所以的取值范围为.
【考点3：指数函数的定义域与值域】
【知识点：指数函数的定义域与值域】
1．（2022秋·高一单元测试）y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞)B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【分析】根据实数指数幂的意义可得解.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当时，单调递增，
故，解得；
②当时，单调递减，
，无解，
综上可知.
故选：B
3．（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.
【详解】令，则，
由题知，，解得或，
即或，解得或.
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
5．（2023秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据二次根式的定义进行求解即可.
【详解】由，可得，所以函数的定义域为，
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果.
【详解】由已知可得，且.
又时，，
即 ，
所以有，即，
解得或.
故答案为：或.
7．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第二十五中学校考阶段练习）已知函数，求的值域 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，分段求每部分的值域，再求并集.
【详解】由，，则， 当时，即时，等号成立，
当时，，
综上可知，所以函数的值域是.
故答案为：
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.
【详解】当时，在上单调递增，
所以时，；
当时，，
①若，则在上单调递增，在上单调递减，
则时，，即时，，
又时，，
此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；
②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；
③当时，在上单调递减，
则时，，即时，，
因为函数的值域为，
又时，；
则时，且，
不等式解得：，
不等式等价于时，，
设（），
因为在上单调递增，在上是增函数，
所以在上单调递增，又，
所以时，等价于，即，
则不等式解得：，
所以时，的解集为，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：.
9．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)定义域为；值域为
(2)定义域为；值域为
【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可；
（2）根据指数函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）要使函数式有意义，则，即．
因为函数在上是增函数，所以．
故函数的定义域为，
因为，所以，所以，
所以，即函数的值域为；
（2）定义域为，
因为，
所以，
又，所以函数的值域为．
10．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求a的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）把给定的点代入函数式求出a值作答.
（2）由（1）求出函数式，再借助单调性求出值域作答.
【详解】（1）由函数的图象经过点，得，而且，
所以.
（2）由（1）知，，显然函数在上单调递减，
则当时，，且恒成立，
因此当时，函数，
所以函数的值域是.
【考点4：指数函数的单调性与最值】
【知识点：指数函数的单调性与最值】
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
1．（2023秋·河北唐山·高一唐山市第二中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、幂函数等的性质判断区间单调性即可.
【详解】A：由幂函数性质知：在上单调递增，不符合；
B：由，在上单调递增，不符合；
C：由指数函数单调性知：在上单调递减，符合；
D：由，在上不单调，不符合；
故选：C
2．（2023·全国·高一专题练习）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：设，对称轴为，
∵是上的增函数，
∴要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，
故实数a的取值范围是．
故选：A．
3．（2023·上海·高一专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
4．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则，
对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；
对于选项B：因为，的值域为，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，
所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
5．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=
【答案】或
【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案.
【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，
故，解得或（舍去）；
当时，在上的最大值为，最小值为，
故，解得或（舍去），
综上或.
故答案为：或
6．（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ．
【答案】．
【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数的取值范围.
【详解】原不等式可化为对恒成立，
令，则，所以，
当时，，所以.
故答案为: .
7．（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数，若对， ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设在对应区间上有，结合幂、指数函数性质求对应区间内、的最值，即可求参数范围.
【详解】由题意，在各对应区间上有，
而在的最小值为，在上的最小值为；
所以.
故答案为：
8．（2023·全国·高一课堂例题）讨论函数的单调性，并求最值．
【答案】在上单调递增，在上单调递减；最小值为2，无最大值
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质以及复合函数单调性可直接求解.
【详解】，其中．
设，则，此时有，
当时，单调递增，由得．
又在上单调递增，
所以由复合函数的单调性的判定方法知，原函数在上单调递增．
同理，原函数在上单调递减．
故原函数有最小值，最小值为2，无最大值．
9．（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）已知函数且在上的最大值与最小值之差为.
(1)求实数a的值；
(2)，若，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数单调性运算求解；
（2）根据题意可得：是奇函数且为增函数，利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】（1）①当时，上单调递增，
则，
所以，解得或（舍去）；
②当时，上单调递减
则，
所以，解得或（舍去）；
综上所述：或.
（2）因为，由（1）可知：，则，
可知：的定义域为，
因为，则为奇函数，
又因为在上单调递增，则在上单调递增，
综上所述：在R上是奇函数且为增函数，
因为，可得，
则，解得或，
所以不等式的解集为.
【考点5：指数函数的应用】
【知识点：指数函数的应用】
1．（多选）（2023秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（ ）
A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等
B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍
C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周
D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人
【答案】BCD
【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项.
【详解】由图象可知，，即，得，
所以，
A.第三周，即时，感染人数为千人，
所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误；
B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为，
则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确.
C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确；
D.第四周，即时，感染人数千人，
所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确.
故选：BCD
2．（多选）（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在10℃的保鲜时间是60小时
D．在30℃的保鲜时间是15小时
【答案】ACD
【分析】由题意可知，，求得，进而可得，可判断A；利用单调性可判断B；计算可判断C；计算可判断D.
【详解】对于A，由题可知，，则，故，
所以，则，A正确；
对于B，由A可知，在上是减函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；
对于C，由A可知，小时，C正确；
对于D，由A可知，小时，D正确.
故选：ACD.
3．（2023·全国·高一课堂例题）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
【答案】（，）
【分析】根据指数的运算性质即可求解.
【详解】设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y.
经过1年，剩留量；
经过2年，剩留量；
……
一般地，经过x年，剩留量（，）.函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
图象
图象
特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，
图象逐渐下降
当x逐渐增大时，
图象逐渐上升
…
0
1
2
…
…
0.25
0.5
1
2
4
…
…
0
0.5
1
…
…
0.1
0.32
1
3.16
10
…
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
性质
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变
化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0当x<0时，00时，y>1
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc118317572" 【考点1：指数函数的概念】 PAGEREF _Tc118317572 \h 1
\l "_Tc118317573" 【考点2：指数函数的图象】 PAGEREF _Tc118317573 \h 3
\l "_Tc118317574" 【考点3：指数函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc118317574 \h 9
\l "_Tc118317575" 【考点4：指数函数的单调性与最值】 PAGEREF _Tc118317575 \h 14
\l "_Tc118317576" 【考点5：指数函数的应用】 PAGEREF _Tc118317576 \h 15
【考点1：指数函数的概念】
【知识点：指数函数的概念】
形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.
1．（2023·全国·高一专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式.
【详解】设（且），则，
解得，故.
故选：D
2．（2023·上海·高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义求解即可.
【详解】因为函数是指数函数，
所以.
故选：C
3．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，不是指数函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据指数函数的定义即可判断．
【详解】对于A，中底数，指数是自变量，指数式的系数为，所以是指数函数，故A不合题意；
对于B，中指数不是自变量，所以不是指数函数，故B符合题意；
对于C，中底数必须满足且时，才是指数函数，故C符合题意；
对于D，中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故D符合题意，
故选：BCD．
4．（2023秋·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）若指数函数的图像经过点，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据已知求出指数函数的解析式，从而代入即可得解.
【详解】依题意，设，
因为的图像经过点，所以，即，
所以，
所以.
故答案为：.
5．（2023·全国·高一专题练习）若指数函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可.
【详解】设指数函数且，
过点，，解得：，，
.
故答案为：.
6．（2023·全国·高一专题练习）若函数，且是指数函数，则 ， ．
【答案】
【分析】根据指数函数的定义，指数式的系数为1，常数项为0，即可求出参数的值．
【详解】因为是指数函数，
所以，解得，
故答案为：4，4．
7．（2023·全国·高一课堂例题）已知指数函数的图象经过点，求和．
【答案】，．
【分析】将代入指数函数表达式中可得，进入代入即可求解.
【详解】因为且的图象经过点，所以，
解得（负根舍去），于是．
所以，．
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的图像经过点，其中且，求a的值；
【答案】
【分析】将点代入函数解析式即可求出.
【详解】由题意得，所以.
【考点2：指数函数的图象】
【知识点：指数函数的图象】
1．指数函数的图象
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
1．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．
【详解】因为
又，
根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；
时，函数为减函数，排除A．
故选：C．
2．（2023·福建·高考模拟）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.
【详解】由图象可知，函数为减函数，
从而有；
法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，
则，即.
故选：D.
3．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
4．（多选）（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第二十五中学校考阶段练习）已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当时，，排除B，C，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.
【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：
则时，的关系有三种可能，分别是：，，.
故选：BCD
6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，
且当时，，可得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.
故选：ABD.
7．（2023·上海·高一专题练习）函数且的图象必经过点 ．
【答案】
【分析】根据指数运算的性质进行求解即可.
【详解】因为当时，，
所以函数且的图象必经过点，
故答案为：
8．（2023·全国·高一课堂例题）作出指数函数和的图象．
【答案】答案见解析
【分析】通过列表、描点连线（也可借助信息技术在计算机上作图）作图即可.
【详解】过列表、描点连线（也可借助信息技术在计算机上作图），得图4.2-3．
9．（2023·全国·高一专题练习）设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.
【答案】a，b的取值范围分别为
【分析】从图象获取关键信息即可求解.
【详解】由题图可知函数单调递增，即，
所以的取值范围为；
由图可知当时，有，解得，
所以的取值范围为.
【考点3：指数函数的定义域与值域】
【知识点：指数函数的定义域与值域】
1．（2022秋·高一单元测试）y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞)B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【分析】根据实数指数幂的意义可得解.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当时，单调递增，
故，解得；
②当时，单调递减，
，无解，
综上可知.
故选：B
3．（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.
【详解】令，则，
由题知，，解得或，
即或，解得或.
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
5．（2023秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据二次根式的定义进行求解即可.
【详解】由，可得，所以函数的定义域为，
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果.
【详解】由已知可得，且.
又时，，
即 ，
所以有，即，
解得或.
故答案为：或.
7．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第二十五中学校考阶段练习）已知函数，求的值域 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，分段求每部分的值域，再求并集.
【详解】由，，则， 当时，即时，等号成立，
当时，，
综上可知，所以函数的值域是.
故答案为：
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.
【详解】当时，在上单调递增，
所以时，；
当时，，
①若，则在上单调递增，在上单调递减，
则时，，即时，，
又时，，
此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；
②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；
③当时，在上单调递减，
则时，，即时，，
因为函数的值域为，
又时，；
则时，且，
不等式解得：，
不等式等价于时，，
设（），
因为在上单调递增，在上是增函数，
所以在上单调递增，又，
所以时，等价于，即，
则不等式解得：，
所以时，的解集为，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：.
9．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)定义域为；值域为
(2)定义域为；值域为
【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可；
（2）根据指数函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）要使函数式有意义，则，即．
因为函数在上是增函数，所以．
故函数的定义域为，
因为，所以，所以，
所以，即函数的值域为；
（2）定义域为，
因为，
所以，
又，所以函数的值域为．
10．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求a的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）把给定的点代入函数式求出a值作答.
（2）由（1）求出函数式，再借助单调性求出值域作答.
【详解】（1）由函数的图象经过点，得，而且，
所以.
（2）由（1）知，，显然函数在上单调递减，
则当时，，且恒成立，
因此当时，函数，
所以函数的值域是.
【考点4：指数函数的单调性与最值】
【知识点：指数函数的单调性与最值】
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
1．（2023秋·河北唐山·高一唐山市第二中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、幂函数等的性质判断区间单调性即可.
【详解】A：由幂函数性质知：在上单调递增，不符合；
B：由，在上单调递增，不符合；
C：由指数函数单调性知：在上单调递减，符合；
D：由，在上不单调，不符合；
故选：C
2．（2023·全国·高一专题练习）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：设，对称轴为，
∵是上的增函数，
∴要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，
故实数a的取值范围是．
故选：A．
3．（2023·上海·高一专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，
所以，函数在上为增函数，所以，，解得.
故选：A.
4．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则，
对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；
对于选项B：因为，的值域为，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，
所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
5．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=
【答案】或
【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案.
【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，
故，解得或（舍去）；
当时，在上的最大值为，最小值为，
故，解得或（舍去），
综上或.
故答案为：或
6．（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ．
【答案】．
【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数的取值范围.
【详解】原不等式可化为对恒成立，
令，则，所以，
当时，，所以.
故答案为: .
7．（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数，若对， ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设在对应区间上有，结合幂、指数函数性质求对应区间内、的最值，即可求参数范围.
【详解】由题意，在各对应区间上有，
而在的最小值为，在上的最小值为；
所以.
故答案为：
8．（2023·全国·高一课堂例题）讨论函数的单调性，并求最值．
【答案】在上单调递增，在上单调递减；最小值为2，无最大值
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质以及复合函数单调性可直接求解.
【详解】，其中．
设，则，此时有，
当时，单调递增，由得．
又在上单调递增，
所以由复合函数的单调性的判定方法知，原函数在上单调递增．
同理，原函数在上单调递减．
故原函数有最小值，最小值为2，无最大值．
9．（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）已知函数且在上的最大值与最小值之差为.
(1)求实数a的值；
(2)，若，求不等式的解集.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数单调性运算求解；
（2）根据题意可得：是奇函数且为增函数，利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】（1）①当时，上单调递增，
则，
所以，解得或（舍去）；
②当时，上单调递减
则，
所以，解得或（舍去）；
综上所述：或.
（2）因为，由（1）可知：，则，
可知：的定义域为，
因为，则为奇函数，
又因为在上单调递增，则在上单调递增，
综上所述：在R上是奇函数且为增函数，
因为，可得，
则，解得或，
所以不等式的解集为.
【考点5：指数函数的应用】
【知识点：指数函数的应用】
1．（多选）（2023秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）如图，在不对某种病毒采取任何防疫措施的情况下，从疫情发生开始某地区感染人数（千人）与时间（周）的关系式为（且），则下列说法中正确的有（ ）
A．疫情开始后，该地区每周新增加的感染人数都相等
B．随着时间推移，该地区后一周新增加的感染人数会是前一周的2倍
C．估计该地区感染人数翻一番所需时间只需1周
D．根据图象，估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人
【答案】BCD
【分析】首先求函数的解析式，再结合选项，即可判断选项.
【详解】由图象可知，，即，得，
所以，
A.第三周，即时，感染人数为千人，
所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A错误；
B.由可知，第周的感染人数为，则第周的感染人数为，第周的感染人数为，
则第周新增感染人数为，第周新增感染人数为，，故B正确.
C.第一周是1千人，第二周是2千人，该地区感染人数翻一番所需时间只需1周，故C正确；
D.第四周，即时，感染人数千人，
所以估计疫情发生一个月后该地区感染人数会超过8000人，故D正确.
故选：BCD
2．（多选）（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在10℃的保鲜时间是60小时
D．在30℃的保鲜时间是15小时
【答案】ACD
【分析】由题意可知，，求得，进而可得，可判断A；利用单调性可判断B；计算可判断C；计算可判断D.
【详解】对于A，由题可知，，则，故，
所以，则，A正确；
对于B，由A可知，在上是减函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；
对于C，由A可知，小时，C正确；
对于D，由A可知，小时，D正确.
故选：ACD.
3．（2023·全国·高一课堂例题）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
【答案】（，）
【分析】根据指数的运算性质即可求解.
【详解】设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y.
经过1年，剩留量；
经过2年，剩留量；
……
一般地，经过x年，剩留量（，）.函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
图象
图象
特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，
图象逐渐下降
当x逐渐增大时，
图象逐渐上升
…
0
1
2
…
…
0.25
0.5
1
2
4
…
…
0
0.5
1
…
…
0.1
0.32
1
3.16
10
…
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
性质
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变
化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0
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