数学第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词导学案及答案

这是一份数学第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词导学案及答案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
一 .全称量词与全称量词命题
1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“______”表示．
2.全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题．
3.全称量词命题的表述形式：全称量词命题
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________.
思考1：全称量词命题中是否一定含有全称量词？
二.存在量词与存在量词命题
1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“______”表示．
2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________.
3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________.
思考2：短语“至多有一个”是存在量词吗?
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )
(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．( )
(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．( )
(4) “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )
(5)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
【经典例题】
题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
点拨：全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(3)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．
【跟踪训练】1 将下列命题用“∀”或“∃”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根.
题型二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
点拨：1．全称量词命题真假的判断
对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”：
(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)
2．存在量词命题真假的判断
对于存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”：
(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)
(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
例2 判断下列全称量词命题的真假．
(1)任意实数的平方均为正数．
(2)函数y＝kx＋b为一次函数．
(3)同弧所对的圆周角相等．
(4)∀x∈R，x2＋3≥3.

【跟踪训练】2 判断下列存在量词命题的真假．
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3)有些整数只有两个正因数．
题型三 由含量词的命题求参数
点拨：解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围问题.
例3 已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．


例3-变式 若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，即已知命题“∃1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
【跟踪训练】3 是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
【当堂达标】
1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是( )
A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3
C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3
2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是( )
A.有些实数没有倒数 B.矩形都有外接圆
C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D.∃x∈R，x2+x≤2
3.下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
4.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
5.将下列命题用“∀”或“∃”表示．
(1)“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”；
(2）“任意一个不大于0的数的立方不大于0”.
6.若存在一个实数x，使不等式m－x2＋2x－5>0成立，求实数m的取值范围．
【课堂小结】
一．易错提醒
1.注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化.
2.注意省略量词的命题的真假判断.
3.对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理.
二．判断全称、存在量词命题真假的方法:
1.若全称量词命题为真，则给定集合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一反例即可.
2.若存在量词命题为真，则给定集合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
【参考答案】
【自主学习】
全称量词 ∀ 全称量词 ∀x∈M，p(x)
存在量词 ∃ 存在量词命题 ∃x0∈M，p(x0)
思考1：全称量词命题不一定含有全称量词，比如全称量词命题“正方形是特殊的菱形”，中没有全称量词。
思考2：不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.
【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
【经典例题】
例1 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(3)含有量词“存在”，是存在量词命题．
【跟踪训练】1 解析： (1)∀x∈R，x2≥0.
(2)∃x0<0，axeq \\al(2,0)＋2x0＋1＝0(a<0)．
例2 解：(1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．
(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．
(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．
(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．
【跟踪训练】2 (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
例3 解：∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0. 解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
例3-变式 解：∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，
∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．
【跟踪训练】3 解：不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
【当堂达标】
1.C
2.ACD 解析：选A、C、D是存在量词命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称量词命题.
3.A 解析：只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为eq \r(2)是无理数，而(eq \r(2))2＝2不是无理数，所以C为假命题．
4. 0 解析： ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±eq \r(2)时，x2＝2，而±eq \r(2)为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
5.（1）∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)>0
（2）∀x≤0，x3≤0
6. 解：不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，
∴tmin＝4，
∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．课程标准
学科素养
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
1、逻辑推理
2、数学抽象