人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
充分条件与必要条件的概念
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．
二．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(2)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．( )
(3)若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( )
(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．( )
(5)若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件．( )
2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)
【经典例题】
题型一 充分条件、必要条件的判定
点拨：充分、必要条件的判断方法
1.定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．
2.命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
例1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
【跟踪训练】1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
题型二 利用充分条件、必要条件求参数的范围
点拨：
1.利用充分、必要条件求参数的思路
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
2.从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件．
例2 已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【跟踪训练】2已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．
【当堂达标】
1.(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是( )
A．x＞3.5 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4
2.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件
3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断
4.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分又不必要条件 D．无法判断
5.设x，y∈R，那么“x>y>0”是“eq \f(x,y)>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．
6.已知p：关于x的不等式eq \f(3－m,2)【课堂小结】
1．能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件．
2．充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件．“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．
3．掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系.
【参考答案】
【自主学习】
⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要
【小试牛刀】
1.× √ √ √ √ 2.充分
【经典例题】
例1 （1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。
（3）这是一条菱形的性质定理， p⇒q，所以p是q的充分条件。
（4）由于(-1)2 =1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。
（5）由等式的性质知， p⇒q，所以p是q的充分条件。
（6）为无理数但是有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。
【跟踪训练】1
（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
（4）显然p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（5）由于 ，但，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
（6）由于为无理数，但不全是无理数，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
例2 解：若“”是“”的必要条件，则，
①当时，；
②，则且，.
综上所述，或．
【跟踪训练】2 解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,m)))，
∵q是p的充分条件，∴B⊆A.
当－eq \f(1,m)＝2时，m＝－eq \f(1,2)；当－eq \f(1,m)＝－3时，m＝eq \f(1,3).
所以m＝－eq \f(1,2)或m＝eq \f(1,3).
【当堂达标】
1.AC 解析：∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.
2.B 解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
3. A解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
4. A 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.
5. 充分 解析：x>y>0⇒eq \f(x,y)>1，而由eq \f(x,y)>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足eq \f(x,y)>1，但－5<－4，即xy>0.故x>y>0是eq \f(x,y)>1的充分条件．
6. 解：记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))\f(3－m,2)若p是q的充分条件，则A⊆B.
注意到B＝{x|0①若A＝∅，即eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；
②若A≠∅，即eq \f(3－m,2)0，
要使A⊆B，应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，,m>0，))解得0综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 素养目标
学科素养
1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)
2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)
1、数学抽象
2、逻辑推理
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p q
p q
条件关系
p是q的 条件
q是p的 条件
p不是q的 条件
q不是p的 条件
A⊆B
p是q的充分条件；q是p的必要条件
B⊆A
q是p的充分条件；p是q的必要条件