数学必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
一．重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R),当且仅当 时，等号成立.
二．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的 ，把eq \r(ab)叫做正数a，b的 ．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当 时，等号成立．
解读：基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立， 即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；
②仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立， 即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
思考1：不等式a2＋b2≥2ab与eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
思考2： a＋eq \f(1,a)≥2(a≠0)是否恒成立？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋eq \f(4,a)≥2 eq \r(a·\f(4,a))＝4.( )
(3)若a，b∈R，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2).( )
(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
2.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)．
①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
【经典例题】
题型一 对基本不等式的理解
例1 给出下面三个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4；
③因为x，y∈R，xy<0，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③ C．② D．①③
【跟踪训练】1 不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
题型二 利用基本不等式比较大小
点拨：基本不等式的几种常见变形及结论
(1)a＋b≥2eq \r(ab)(a＞0，b＞0)；(2)ab≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，(a，b∈R)；
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)；(5)a＋eq \f(k,a)≥2eq \r(k)(a＞0，k＞0)；(6)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b都是正实数)．
例2 如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
【跟踪训练】2 已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是( )
A.eq \f(1,x＋y) B.eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))
C. eq \r(\f(1,2x2＋y2)) D.eq \f(1,2\r(xy))
题型三 用基本不等式证明不等式
点拨：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
例3 已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
【跟踪训练】3已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.
【当堂达标】
1．若0A.eq \f(1,2) B．a2＋b2 C．2abD．a
3.(多选)下列不等式不一定成立的是( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2 B．eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq \r(2)
C. D．2－3x－eq \f(4,x)≥2
4.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))≥4； ③(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
已知a>b>c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是
5.若不等式eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．
6.设a，b，c都是正数，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.
【课堂小结】
1.记牢2个不等式
(1)a2＋b2≥2ab；(2)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b都是正数)．
2.应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面，当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.
【参考答案】
【自主学习】
a＝b
二.算术平均数 几何平均数 a＝b
思考1：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)成立的条件是a，b均为正实数。
思考2：只有a>0时，a＋eq \f(1,a)≥2，当a<0时，a＋eq \f(1,a)≤－2
【小试牛刀】
1. (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.③ 解析：根据eq \f(a2＋b2,2)≥ab，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．
【经典例题】
例1 D 解析 ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq \f(b,a)，eq \f(a,b)∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以eq \f(4,a)＋a≥2 eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的；
③由xy<0得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)看成一个整体提出负号后，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．
【跟踪训练】1 C解析：由基本不等式知等号成立的条件为eq \f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
例2 B解析：显然eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，又因为eq \f(a＋b,2)＜eq \r(a＋b)(由a＋b＞eq \f(a＋b2,4)也就是eq \f(a＋b,4)＜1可得)，所以eq \r(a＋b)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab).故M＞P＞Q.
【跟踪训练】2 C 解析：解法一：∵x＋y>2eq \r(xy)，∴eq \f(1,x＋y)eq \f(1,\f(x＋y2,x＋y))＝eq \f(1,x＋y)，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴eq \f(1,x＋y)>eq \r(\f(1,2x2＋y2))，排除A.
解法二：取x＝1，y＝2.则eq \f(1,x＋y)＝eq \f(1,3)；eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(3,8)；eq \r(\f(1,2x2＋y2))＝eq \f(1,\r(10))；eq \f(1,2\r(xy))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(1,\r(8)).其中eq \f(1,\r(10))最小．
例3 解：∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2eq \r(ab)>0，b＋c≥2eq \r(bc)>0，c＋a≥2eq \r(ca)>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca))，
即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
例3 解：∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2eq \r(ab)>0，b＋c≥2eq \r(bc)>0，c＋a≥2eq \r(ca)>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca))，
即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
【跟踪训练】3 证明：证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a)，同理1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b)，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号)．
证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝1＋eq \f(a＋b,ab)＋eq \f(1,ab)＝1＋eq \f(2,ab)，
ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，于是eq \f(1,ab)≥4，eq \f(2,ab)≥8，
因此eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥1＋8＝9
(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号)．
【当堂达标】
B解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,2).
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，
∵02. AD 解析：A项，当x<0时，x＋eq \f(1,x)<0<2，∴A错误；
B项，eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)≥eq \r(2)，∴B正确；
C项，，其中x2>0，满足基本不等式的要求，∴C正确；
变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误．
3.①②③ 解析：由于a2＋1－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，故①恒成立；
由于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝ab＋eq \f(1,ab)＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(ab·\f(1,ab))＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝\f(1,ab)，,\f(b,a)＝\f(a,b)，))即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)＋\f(a,b))＝4.当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)，那么a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
4. eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴eq \f(a－c,2)＝eq \f(a－b＋b－c,2)≥eq \r(a－bb－c)，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
5.0 解析： eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))＝eq \f(x2＋1＋1,\r(x2＋1))＝eq \r(x2＋1)＋eq \f(1,\r(x2＋1))≥
2eq \r(\r(x2＋1)\f(1,\r(x2＋1)))＝2，其中当且仅当eq \r(x2＋1)＝eq \f(1,\r(x2＋1))⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．
6.证明：因为a，b，c都是正数，所以eq \f(bc,a)，eq \f(ac,b)，eq \f(ab,c)也都是正数．
所以eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)≥2c，eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥2a，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2b，
三式相加得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)＋\f(ac,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，
即eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．课程标准
学科素养
1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).
1、逻辑推理
2、数学运算