新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课后提能训练新人教A版必修第二册

这是一份新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课后提能训练新人教A版必修第二册，共6页。
第六章　6.2　6.2.3A级——基础过关练1．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的有(　　)A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2C．a＝4e1－ eq \f(2,5)e2，b＝e1－ eq \f(1,10)e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e22．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的有(　　)A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a3．(2023年乌鲁木齐模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝ eq \f(1,2)4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(DB,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up6(→))＋λ eq \o(CB,\s\up6(→))，则λ等于(　　)A． eq \f(2,3) B． eq \f(1,3)C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(2,3)5．在四边形ABCD中，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝3a， eq \o(CD,\s\up6(→))＝－5a，且| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是(　　)A．平行四边形 B．菱形C．等腰梯形 D．非等腰梯形6．在△ABC中，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(AP,\s\up6(→))，则 eq \o(PB,\s\up6(→))等于(　　)A．－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \o(AC,\s\up6(→)) B． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(3,2) eq \o(AC,\s\up6(→))C． eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→)) D．－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))7．(2023年重庆模拟)设a，b不共线， eq \o(AB,\s\up6(→))＝a－nb， eq \o(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(n，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　)A．m＝n B．mn－1＝0C．mn＋1＝0 D．m＋n＝08．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__________．9．已知点P在线段AB上，且| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4| eq \o(AP,\s\up6(→))|，设 eq \o(AP,\s\up6(→))＝λ eq \o(PB,\s\up6(→))，则实数λ＝__________．10．化简：(1) eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．B级——能力提升练11．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的有(　　)A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中 eq \o(AB,\s\up6(→))＝a， eq \o(CD,\s\up6(→))＝b12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则(　　)A． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝3 eq \o(HM,\s\up6(→))＋3 eq \o(MO,\s\up6(→)) B． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝3 eq \o(HM,\s\up6(→))－3 eq \o(MO,\s\up6(→))C． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(HM,\s\up6(→))＋4 eq \o(MO,\s\up6(→)) D． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(HM,\s\up6(→))－4 eq \o(MO,\s\up6(→))13．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足 eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))＋ eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是__________．14．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若 eq \o(AC,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋n eq \o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m－n＝__________．15．设 eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，且 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a eq \o(OA,\s\up6(→))＋b eq \o(OB,\s\up6(→))(a，b∈R)．(1)若a＝ eq \f(1,3)，b＝ eq \f(2,3)，求证：A，B，C三点共线；(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？请说明理由．答案1【答案】ABC【解析】对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．2【答案】ABD【解析】当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|＜1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误．故选ABD．3【答案】D【解析】若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则存在实数λ，使m＝λn，∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＝－2λ，,k＝λ，))解得k＝ eq \f(1,2)．故选D．4【答案】A【解析】(方法一)由 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(DB,\s\up6(→))，可得 eq \o(CD,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→))＝2( eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CD,\s\up6(→)))⇒ eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝ eq \f(2,3)．故选A．(方法二) eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \o(AD,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(CB,\s\up6(→))－ eq \o(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \o(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝ eq \f(2,3)．故选A．5【答案】C【解析】由条件可知 eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,5) eq \o(CD,\s\up6(→))，所以AB∥CD．又因为| eq \o(AD,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD为等腰梯形．6【答案】C【解析】由 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(AP,\s\up6(→))，得 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))，所以 eq \o(PB,\s\up6(→))＝ eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→))．7【答案】C【解析】∵A，B，C三点共线，∴ eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(AC,\s\up6(→))共线．∵a，b不共线，∴ eq \o(AB,\s\up6(→))≠0，∴存在λ，使 eq \o(AC,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))，即ma＋b＝λa－nλb，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝m，,－nλ＝1，))∴mn＋1＝0．故选C．8【答案】－4【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．9【答案】 eq \f(1,3)【解析】因为| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝4| eq \o(AP,\s\up6(→))|，则 eq \o(AP,\s\up6(→))的长度是 eq \o(PB,\s\up6(→))的长度的 eq \f(1,3)，二者的方向相同，所以 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up6(→))．10解：(1)原式＝ eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－ eq \f(3,4)b＝a＋ eq \f(3,4)b－a－ eq \f(3,4)b＝0．(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．11【答案】AB【解析】对于A，可解得a＝ eq \f(2,7)e，b＝－ eq \f(8,7)e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0，得a＝ eq \f(μ,λ)b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．12【答案】D【解析】如图，Rt△ABC中，其中∠B为直角，则垂心H与B重合．∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点．又∵M为BC的中点，∴ eq \o(AH,\s\up6(→))＝2 eq \o(OM,\s\up6(→))．∵M为BC的中点，∴ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(AM,\s\up6(→))＝2( eq \o(AH,\s\up6(→))＋ eq \o(HM,\s\up6(→)))＝2(2 eq \o(OM,\s\up6(→))＋ eq \o(HM,\s\up6(→)))＝4 eq \o(OM,\s\up6(→))＋2 eq \o(HM,\s\up6(→))＝2 eq \o(HM,\s\up6(→))－4 eq \o(MO,\s\up6(→))．故选D．13【答案】2∶3【解析】因为 eq \o(PA,\s\up6(→))＋ eq \o(PB,\s\up6(→))＋ eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))，所以 eq \o(PC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(PB,\s\up6(→))－ eq \o(PA,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BP,\s\up6(→))＋ eq \o(AP,\s\up6(→))＝2 eq \o(AP,\s\up6(→))．所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点．所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3．14【答案】－2【解析】直接利用向量共线定理，得 eq \o(BC,\s\up6(→))＝3 eq \o(DC,\s\up6(→))，则 eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋3 eq \o(DC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋3( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→)))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋3 eq \o(AC,\s\up6(→))－3 eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \o(AD,\s\up6(→))．又因为 eq \o(AC,\s\up6(→))＝m eq \o(AB,\s\up6(→))＋n eq \o(AD,\s\up6(→))，所以m＝－ eq \f(1,2)，n＝ eq \f(3,2)，故m－n＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(3,2)＝－2．15(1)证明：当a＝ eq \f(1,3)，b＝ eq \f(2,3)时， eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up6(→))，所以 eq \f(2,3)( eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3)( eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OC,\s\up6(→)))，即2 eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(CA,\s\up6(→))．所以 eq \o(BC,\s\up6(→))与 eq \o(CA,\s\up6(→))共线．又因为 eq \o(BC,\s\up6(→))与 eq \o(CA,\s\up6(→))有公共点C，所以A，B，C三点共线．(2)解：a＋b为定值1．理由如下：因为A，B，C三点共线，所以 eq \o(AC,\s\up6(→))∥ eq \o(AB,\s\up6(→))．不妨设 eq \o(AC,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，所以 eq \o(OC,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→))＝λ( eq \o(OB,\s\up6(→))－ eq \o(OA,\s\up6(→)))，即 eq \o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ) eq \o(OA,\s\up6(→))＋λ eq \o(OB,\s\up6(→))．又因为 eq \o(OC,\s\up6(→))＝a eq \o(OA,\s\up6(→))＋b eq \o(OB,\s\up6(→))，且 eq \o(OA,\s\up6(→))， eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1－λ，,b＝λ，))所以a＋b＝1(定值)．