高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步训练题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若随机变量X的分布列如表，则X的方差D(X)是( )
A.0B．1C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,2)
2．[2023·江西吉安高二期末]随机变量X服从两点分布，若P(X＝0)＝eq \f(1,4)，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝eq \f(3,4)B．D(X)＝eq \f(1,4)
C．E(2X＋1)＝eq \f(3,2)D．D(2X＋1)＝eq \f(7,4)
3．[2023·山东青岛高二期末]已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量Y＝－3X＋1，则下列选项正确的为( )
A．E(X)＝0.5
B．E(Y)＝1.4
C．D(X)＝0.52
D．D(Y)＝1.44
4．[2023·山东菏泽高二期末]已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
乙产业收益分布列
则下列说法正确的是( )
A．甲产业收益的期望大，风险高
B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小
D．乙产业收益的期望小，风险高
5．[2023·福建泉州高二期中]随机变量X的分布列如下，且E(X)＝eq \f(1,3)，则( )
A.a＝eq \f(1,6)，D(X)＝1
B．a＝eq \f(1,2)，D(X)＝1
C．a＝eq \f(1,6)，D(X)＝eq \f(5,9)
D．a＝eq \f(1,2)，D(X)＝eq \f(5,9)
6．[2023·黑龙江牡丹江高二期末]已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为( )
．eq \r(3.2)
C．3.2D．eq \r(3.56)
7．[2023·福建泉州高二期中]随机变量X的分布列如下表，若E(3X＋3)＝6，则D(X)＝( )
A.0B．2
C．3D．4
8．[2023·辽宁沈阳高二期中]某离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝eq \f(3,4)，P(X≥1)＝eq \f(7,12)，则D(X)＝( )
A.eq \f(15,16)B．eq \f(9,8)C．eq \f(5,4)D．eq \f(19,16)
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·河北石家庄高二期中]已知随机变量X满足E(X)＝－4，D(X)＝5，下列说法正确的是( )
A．E(1－X)＝－5
B．E(1－X)＝5
C．D(1－X)＝5
D．D(1－X)＝－5
10．[2023·河南信阳高二期末]随机变量ξ的分布列如下表，
则下列选项正确的是( )
A．2a＋b＝1
B．E(ξ)＝2b
C．D(ξ)＝4a－b2
D．D(ξ)的最大值为eq \f(36,25)
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·山东淄博高二期末]随机变量X的分布列为：
则D(X)＝________．
12．[2023·河北石家庄高二期中]若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)的值为________．
四、解答题(共20分)
13．(10分)[2023·山西太原高二期中]随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝eq \f(1,3)，求
(1)a，b，c的值；
(2)求D(3X＋1)的值．
14．(10分)[2023·山东临沂高二期中]甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为如下表．
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
(1)求E(X)和E(Y)；
(2)求D(X)和D(Y)，并比较两种品牌手表的性能．
关键能力综合练
15．(5分)[2023·河北张家口高二期末]设随机变量X的分布列如下(其中0A.D(X)增大B．D(X)减小
C．D(X)先减后增D．D(X)先增后减
[答题区]
16．(15分)[2023·福建泉州高二期中]开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程．某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表．假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立，
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列；
(2)在(1)中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小．(直接写结果)
同步练习14 离散型随机变量的方差
1．解析：E(X)＝－1×eq \f(1,4)＋0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,4)＝0，则D(X)＝eq \f(1,4)×(－1－0)2＋eq \f(1,2)×(0－0)2＋eq \f(1,4)×(1－0)2＝eq \f(1,2).
答案：D
2．解析：由随机变量X服从两点分布，若P(X＝0)＝eq \f(1,4)，
根据分布列的性质，可得P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq \f(3,4)，所以A正确；
又由E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(3,4)＝eq \f(3,4)，D(X)＝(0－eq \f(3,4))2×eq \f(1,4)＋(1－eq \f(3,4))2×eq \f(3,4)＝eq \f(3,16)，所以B错误；
由E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×eq \f(3,4)＋1＝eq \f(5,2)，所以C错误；
由D(2X＋1)＝22·D(X)＝4×eq \f(3,16)＝eq \f(3,4)，所以D错误．
答案：A
3．解析：由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中P(X＝1)＝0.8，
所以E(X)＝0.8，D(X)＝0.8(1－0.8)＝0.16，
又因为Y＝－3X＋1，所以E(Y)＝－3E(X)＋1＝－1.4，D(Y)＝9D(X)＝1.44，
故A、B、C错误，D正确．
答案：D
4．解析：由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；
E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1.0，
D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，
故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，
即甲产业收益的期望大，风险高．
答案：A
5．解析：由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E（X）＝－a＋b＝\f(1,3),a＋b＋\f(1,3)＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,6),b＝\f(1,2)))，
所以D(X)＝(－1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9).
答案：C
6．解析：由分布列的性质得0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，
∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，
∴ξ的标准差为eq \r(D（ξ）)＝eq \r(3.56).
答案：D
7．解析：由题意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋\f(1,2)＝1,3（－2a＋b＋1）＋3＝6))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,6),b＝\f(1,3)))，
又E(3X＋3)＝3E(X)＋3＝6，所以E(X)＝1；
所以D(X)＝(－2－1)2×eq \f(1,6)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,2)＝2.
答案：B
8．解析：∵分布列的概率之和为1，
∴a＋b＋c＋eq \f(1,3)＝1，即a＋b＋c＝eq \f(2,3) ①.
∵E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×eq \f(1,3)＝eq \f(3,4)，
∴－a＋c＝eq \f(1,12) ②.
∵P(X≥1)＝c＋eq \f(1,3)＝eq \f(7,12)，∴c＝eq \f(1,4)，
依次代入②、①，解得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,4)，
则D(X)＝(－1－eq \f(3,4))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(3,4))2×eq \f(1,4)＋(1－eq \f(3,4))2×eq \f(1,4)＋(2－eq \f(3,4))2×eq \f(1,3)＝eq \f(19,16).
答案：D
9．解析：依题意，E(X)＝－4，D(X)＝5，
所以E(1－X)＝1－E(X)＝1－(－4)＝5，
D(1－X)＝(－1)2×D(X)＝5.
答案：BC
10．解析：由题意得，2a＋a＋2a＋b＝1，得a＝eq \f(1,5)(1－b)，故A错误；
E(ξ)＝－1×2a＋0＋1×2a＋2b＝2b，故B正确；
所以D(ξ)＝ eq \i\su(i＝1,3, (ξ eq \\al(2,i) pi))－[E(ξ)]2＝0×a＋1×4a＋4×b－(2b)2＝4(a＋b－b2)，故C错误；
因为a＝eq \f(1,5)(1－b)，
所以D(ξ)＝4(a＋b－b2)＝－4(b2－eq \f(4,5)b－eq \f(1,5))＝－4(b－eq \f(2,5))2＋eq \f(36,25)，当且仅当b＝eq \f(2,5)时，D(ξ)取得最大值eq \f(36,25)，故D正确．
答案：BD
11．解析：由概率之和为1可得eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋n＝1，∴n＝eq \f(1,4)，
∴E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)，
D(X)＝eq \f(1,2)×(1－eq \f(7,4))2＋eq \f(1,4)×(2－eq \f(7,4))2＋eq \f(1,4)×(3－eq \f(7,4))2＝eq \f(11,16).
答案：eq \f(11,16)
12．解析：由题意可得eq \f(1,6)＋p＋eq \f(1,3)＝1，解得p＝eq \f(1,2)，
因为E(X)＝2，所以0×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,2)＋a×eq \f(1,3)＝2，解得a＝3.
D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,6)＋(2－2)2×eq \f(1,2)＋(3－2)2×eq \f(1,3)＝1.
D(2X－3)＝4D(X)＝4.
答案：4
13．解析：(1)∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝1，且E(X)＝－a＋c＝eq \f(1,3)，
联立以上三式解得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,2).
(2)由(1)可知，
D(X)＝(－1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，
则D(3X＋1)＝32D(X)＝9×eq \f(5,9)＝5.
14．解析：(1)由已知可得，E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，
E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.
(2)由(1)知，E(X)＝0，
所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2.
又E(Y)＝0，
所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
所以E(X)＝E(Y)，D(X)所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定．
15．解析：由分布列可得E(X)＝0×eq \f(1－p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)＋p，
则D(X)＝eq \f(1－p,2)(eq \f(1,2)＋p)2＋eq \f(1,2)(eq \f(1,2)＋p－1)2＋eq \f(p,2)(eq \f(1,2)＋p－2)2＝－p2＋p＋eq \f(1,4)＝－(p－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,2)，
因为0答案：D
16．解析：(1)记从方案一中抽取到女生为事件A，从方案二中抽取到女生为事件B，
则P(A)＝eq \f(16,24＋16)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(35,25＋35)＝eq \f(7,12)，则X的可能取值为0，1，2，
所以P(X＝0)＝(1－eq \f(2,5))×(1－eq \f(7,12))＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝(1－eq \f(2,5))×eq \f(7,12)＋eq \f(2,5)×(1－eq \f(7,12))＝eq \f(31,60)，
P(X＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(7,12)＝eq \f(7,30)，
所以X的分布列为：
(2)依题意可得Y＝2－X，所以D(Y)＝D(2－X)＝(－1)2D(X)＝D(X)，即D(Y)＝D(X).X
－1
0
1
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
X
0
1
P
0.2
0.8
收益X/亿元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/亿元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
X
－1
0
1
P
a
eq \f(1,3)
b
ξ
1
3
5
P
0.4
0.1
x
X
－2
1
2
P
a
b
eq \f(1,2)
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
eq \f(1,3)
ξ
－1
0
1
2
P
2a
a
2a
b
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
n
X
0
2
a
P
eq \f(1,6)
p
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
p
a
b
c
X
－1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
X
0
1
2
p
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
答案
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
ξ2
0
1
4
P
a
4a
b
X
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(31,60)
eq \f(7,30)