选择性必修第三册7.5 正态分布课堂检测

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这是一份选择性必修第三册7.5 正态分布课堂检测，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·广东深圳高二期中]已知两个正态分布的密度函数图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2
2．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>2)＝m，则P(0≤X≤2)＝( )
A．1－2mB．2m
C．eq \f(1,2)－mD．m
3．设随机变量X～N(2，σ2)，P(0A．0.2B．0.3
C．0.6D．0.7
4．[2023·山西朔州高二期末]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X>3)＝eq \f(1,6)，则P(1≤X<2)＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,6)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(5,6)
5．在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.)
A．这次测试的平均成绩为110
B．σ越小，测试成绩在(100，120)内的概率越大
C．测试成绩小于100分和大于120分的概率相等
D．当σ＝20时，测试成绩小于130分的概率为0.6827
6．某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布N(5，σ2)(σ>0)，若P(54)＝( )
A．0.76B．0.24
C．0.26D．0.74
7．已知随机变量X～N(μ，1)，且P(X<－1)＝0.5，则P(0[附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.]
A．0.1587B．0.1359
C．0.2718D．0.3413
8．[2023·福建泉州高二期末]“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)＝eq \f(1,10\r(2π))eeq\a\vs4\al(－\f(（x－100）2,200))，x∈R，则下列说法错误的是( )
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在(90，100)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·黑龙江佳木斯高二期中]如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是( )
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
10．[2023·河南驻马店高二期末]一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000，25)，现从甲、乙、丙三箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为1012Ω，986Ω，1025Ω，则可以认为( )
A．甲、乙、丙三箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻可出厂
C．乙、丙两箱不可出厂
D．丙箱电阻不可出厂
[答题区]
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·辽宁沈阳高二期末]已知某品种小麦的穗粒数X服从正态分布N(38，σ2)，且P(34≤X≤42)＝0.68，则该品种小麦的穗粒数超过42粒的概率为________．
12．[2023·河南信阳高二期末]某校高二年级1200人，期末统测的数学成绩X～N(85，25)，则这次统测数学及格的人数约为(满分150分，不低于90分为及格)________．(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤π＋2σ)≈0.9545)
四、解答题(共20分)
13．(10分)[2023·黑龙江哈尔滨高二期末]某年级有2000名学生，一次物理单元测验成绩近似服从正态分布X～N(72，82).
(1)求成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例；
(2)估计全年级成绩在80～96分内的学生人数．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
14.(10分)某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500，52)(单位：g).
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？(保留四位有效数字)
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由(概率小于0.0001为不可能事件).
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)≈0.6827，P(|X－μ|<2σ)≈0.9545，P(|X－μ|<3σ)≈0.9973.
关键能力综合练
15．(5分)[2023·河北唐山高二期末]现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn～N(0，eq \f(2,n))，则为使|Xn|≥eq \f(1,4)的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为________．
参考数据：P(μ－2σ16．(15分)为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均分eq \(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2，若μ－σμ＋2σ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．
①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)；
②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ同步练习17 正态分布
1．解析：由正态分布密度函数图象的性质可知：μ越大，图象对称轴越靠近右侧；σ越大，图象越“矮胖”，σ越小，图象越“瘦高”．所以由图象可知：μ1<μ2，σ1<σ2.
答案：A
2．解析：由μ＝1，可得P(X<0)＝P(X>2)＝m，P(0≤X≤2)＝1－2m.
答案：A
3．解析：因为X～N(2，σ2)，P(0答案：B
4．解析：随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X>3)＝eq \f(1,6)，所以P(1≤X<2)＝P(22)－P(X>3)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).
答案：A
5．解析：正态分布N(μ，σ2)中，括号里面表示随机变量服从均值为μ，方差为σ2的正态分布，因为成绩服从正态分布N(110，σ2)，所以A是正确的．
正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差(或标准差)越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以σ越小，测试成绩在(100，120)内的概率越大，所以B是正确的．
根据正态曲线对称特点，测试成绩小于100分和大于120分的概率相等，所以C是正确的．
当σ＝20时，测试成绩小于130分的概率为0.84135，所以D错误．
答案：D
6．解析：由正态分布可知，P(5则P(X≤4)＝0.5－P(4所以P(X>4)＝1－P(X≤4)＝1－0.26＝0.74.
答案：D
7．解析：因为随机变量X～N(μ，1)，所以正态曲线关于直线x＝μ对称，
又因为P(X<－1)＝0.5，所以μ＝－1，σ＝1，所以μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1，
所以P(－2≤X≤0)≈0.6827，
P(－3≤X≤1)≈0.9545，
所以P(0答案：B
8．解析：依题意μ＝100，σ＝10，所以平均数为100cm，方差为σ2＝100，所以A、B选项正确．依题意P(X≥100＋20)＝P(X≤100－20)，P(X≥120)＝P(X≤80)，而P(X≤80)>P(X≤70)，即P(X≥120)>P(X≤70)，所以C选项错误．P(100－10答案：C
9．解析：由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差(或方差σ2)从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好．
答案：ACD
10．解析：因为X～N(1000，25)，所以μ＝1000，σ＝5，
所以μ－3σ＝985，μ＋3σ＝1015，
因为1012∈[985，1015]，986∈[985，1015]，1025∉[985，1015]，
所以甲、乙两箱电阻可出厂，丙箱电阻不可出厂．
答案：BD
11．解析：由题可得该品种小麦的穗粒数超过42粒的概率P(X>42)＝eq \f(1－P（34≤X≤42）,2)＝eq \f(1－0.68,2)＝0.16.
答案：0.16
12．解析：依题意μ＝85，σ＝5，
P(80≤X≤90)≈0.6827，P(85≤X≤90)≈eq \f(1,2)×0.6827＝0.34135，
P(X≥90)≈0.5－0.34135＝0.15865.
则1200×0.15865≈190.
答案：190
13．解析：(1)因为X～N(72，82)，所以μ＝72，σ＝8，
所以成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例为
P(X≤64)＝P(X≤μ－σ)＝eq \f(1－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）,2)≈eq \f(1－0.6827,2)＝0.15865，
(2)由于μ＝72，σ＝8，所以成绩在80～96分内的概率为
P(80＝eq \f(P（μ－3σ≈eq \f(0.9973－0.6827,2)＝0.1573，
所以全年级成绩在80～96分内的学生人数约为0.1573×2000≈314人．
14．解析：(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg，
由题意可知X～N(500，52).
由于485＝500－3×5，
所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：
P(X<485)＝eq \f(1,2)[1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)]
≈eq \f(1,2)×0.0026＝0.0013.
(2)检测员的判断是合理的．
原因：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，
质量都小于485g的概率约为：0.0013×0.0013＝1.69×10－6，
概率小于0.0001为不可能事件，但这样的事件竟然发生了，
所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的．
15．解析：依题意，得P(|Xn|≥eq \f(1,4))<0.0456，
所以P(|Xn|1－0.0456，即P(－eq \f(1,4)0.9544，
而P(μ－2σ又因为Xn～N(0，eq \f(2,n))，所以μ＝0，σ＝eq \r(\f(2,n))，
所以－2eq \r(\f(2,n))≥－eq \f(1,4)且2eq \r(\f(2,n))≤eq \f(1,4)，即eq \r(\f(2,n))≤eq \f(1,8)，解得n≥128，
故至少要测量的次数为128.
答案：128
16．解析：(1)由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分eq \(x,\s\up6(－))＝75，
所以100名学生本次竞赛成绩方差
s2＝(45－75)2×eq \f(2,100)＋(55－75)2×eq \f(4,100)＋(65－75)2×eq \f(22,100)＋(75－75)2×eq \f(40,100)＋(85－75)2×eq \f(28,100)＋(95－75)2×eq \f(4,100)＝100.
(2)①由于μ近似为样本成绩平均分eq \(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本成绩方差s2，
所以μ＝75，σ2＝100，可知，σ＝eq \r(100)＝10，
由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，
因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率
P(μ－σ所以3000×0.8186＝2455.8≈2456，
故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2456.
②当X>μ＋2σ时，即X>95时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，
所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
成绩(分)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
2
4
22
40
28
4