选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征达标测试

第7章　7.3.2

A级——基础过关练

1．有甲、乙两台自动包装机，包装质量分别为随机变量X甲，X乙，已知E(X甲)＝E(X乙)，且D(X甲)>D(X乙)，则(　　)

A．甲包装机的质量较好

B．乙包装机的质量较好

C．甲、乙两台包装机的质量一样好

D．甲、乙两台包装机的质量不能比较

【答案】B　【解析】∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)，∴乙包装机的质量更稳定，即质量较好．

2．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)

A．m B．2m(1－m)

C．m(m－1) D．m(1－m)

【答案】D　【解析】随机变量ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.

所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．

3．设随机变量X的分布列为

若E(X)＝，则D(X)＝(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B　【解析】由随机变量分布列的性质得x＋y＝，由E(X)＝，得1×＋2x＋3y＝，解得x＝，y＝.∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.

4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)

A．0和1 B．p和p2

C．p和1－p D．p和(1－p)p

【答案】D　【解析】由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．

5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值，，，，的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则(　　)

A．D(X1)＞D(X2)

B．D(X1)＝D(X2)

C．D(X1)＜D(X2)

D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

【答案】A　【解析】由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)＞D(X2)．

6．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．

【答案】0.5　【解析】事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.

7．随机变量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.

【答案】　【解析】由题意得解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.

8．已知随机变量X的分布列为

且E(X)＝1.1，则D(X)＝________.

【答案】0.49　【解析】由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.

9．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：

根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量．

解：∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)＜D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．

10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：

(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．

解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，

则P(A)＝＝.

所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.随机变量X的分布列为

因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝.

B级——能力提升练

11．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(X)等于(　　)

A．5 B．8

C．10 D．16

【答案】B　【解析】∵E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.

12．(多选)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数，则(　　)

A．E(X)＝ B．E(Y)＝

C．D(X)＝ D．D(Y)＝

【答案】ABCD　【解析】X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝＋＋＝.Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3，∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝.

13．已知随机变量ξ的分布列如下：

若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)

A． B．2

C．1 D．0

【答案】D　【解析】由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.

14．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)

A． B．

C．3 D．

【答案】C　

【解析】由

解得或∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2.

∴x1＋x2＝3.

15．已知随机变量ξ的分布列如下表，

若η＝3ξ－1，则η的方差为________．

【答案】32.04　【解析】依题意，0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5，∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.∴D(η )＝D(3ξ－1)＝32D(ξ)＝32.04.

16．已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝3，则D(X)＝________.

【答案】1　【解析】根据题意，得解得 ∴D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.3＋(4－3)2×0.4＝1.

C级——探究创新练

17．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择，设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元)，其分布列分别为

假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？

解：由期望和方差和计算公式，得

E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1，

E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5，

D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，

D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25.

由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75%＝0.175(万元)．

从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都需要冒一定的风险．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险小于方案二．所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二．