数学人教A版 (2019)7.3 离散型随机变量的数字特征精品课时练习

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【夯实基础】
题型1 求离散型随机变量的方差
1.已知离散型随机变量X的概率分布列为
则其方差D(X)＝
A．1B．0.6C．2.44D．2.4
【答案】C
【详解】解：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，
∴0.5＋m＋0.2＝1解得m＝0.3
所以E（x）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
所以．
故选：C．
2.已知离散型随机变量，且，则（ ）
A．36B．24C．48D．18
【答案】A
【分析】先算出D(X)，再结合方差的性质求出D(Y)即可.
【详解】因为，所以．又，所以．
故选：A
3.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于（ ）
A．6B．9
C．3D．4
【答案】A
【分析】根据分布列，分别由数学期望和方差公式，即可求解.
【详解】由题意得,
.
故选：A.
4.已知随机变量，（ ）
A．6B．9C．2D．4
【答案】A
【分析】先由二项分布的方差公式求出，再由方差的性质，即可得出结果.
【详解】因为随机变量，所以，
因此.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二项分布的方差，以及方差的性质，属于基础题型.
5.已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据方差的性质计算可得结果.
【详解】设，依题意得，
则，
即另一组数据，，，，，的方差是.
故选：D
题型2 方差的性质的应用
1.已知两随机变量，若，则和分别为（ ）
A．6和4B．4和2C．6和2.4D．2和4
【答案】B
【分析】利用二项分布的数学期望和方差的计算公式求得和；根据方差的性质可得到.
【详解】由可得：，
又，则
本题正确选项：
【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差的求解、方差性质的应用，属于基础题.
2.随机变量的分布列为
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果.
【详解】由分布列性质知：，解得：；
，；
.
故选：A.
3.已知随机变量满足，且为正数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.
【详解】由方差的性质可得，，
因为，所以，
又a为正数，所以．
故选：C.
【点睛】本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.
4.设离散型随机变量X的分布列如下表，其中.
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据分布列的性质求出，再由期望公式、方差公式判断AB，由两个随机变量之间的关系，根据期望、方差性质判断CD.
【详解】由题意得 ， 所以，
所以，故A正确；，故B错误；
因为，所以，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
5.已知随机变量X的分布列为
则当a在要求范围内增大时，（ ）
A．增大，减小B．增大，增大
C．减小，先增大后减小D．减小，先减小后增大
【答案】B
【分析】直接利用分布列求出，然后判断其单调性，进一步求出，根据函数性质判断其单调性即可.
【详解】解：由题意可得，，，
，在上单调递增，是关于的二次式，其开口朝下，对称轴，所以在上单调递增.
故选：B．
【点睛】考查数学期望和方差公式的应用以及函数的单调性，基础题.
题型3 均值与方差的综合应用
1.若随机变量的分布列为：
已知随机变量，且，，则与的值分别为( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据分布列概率的性质可计算出m，根据平均数和方差的计算即可计算a、b.
【详解】由随机变量的分布列可知，．
∴，．
∴，，
∴，，又，解得，﹒
故选：C．
2.已知离散型随机变量的分布列为
则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用公式计算出两个随机变量的期望和方程后可得正确的选项.
【详解】，故，
，，
故选：D.
3.若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解.
【详解】由题意可知：，
随机变量X的分布列为
由两点分布可知：，故A正确，D错误；
所以，，故B正确，C错误；
故选：AB.
4.随机变量的分布列如下表，
则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据随机变量概率和为1得到从而判断A；
通过随机变量的期望公式计算进而判断B；
通过随机变量的方差公式进行计算后判断C和D即可.
【详解】由题意得，，得，故A错误；
，故B正确；
所以，故C错误；
因为，
所以，
当且仅当时，取得最大值，故D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：本题考查随机变量的综合应用.通过随机变量的概率和、期望与方差公式进行计算进而求解即可，最值问题可通过消元从而转化为函数最值问题进而求解.
5.已知随机变量满足，，，若，则随增大（ ）
A．增大增大B．减小增大
C．减小减小D．增大减小
【答案】C
【解析】利用，的计算公式求出，再利用函数的单调性即可判断出结论.
【详解】解：随机变量满足，，，
，
.
若，则随增大，减小，减小.
故选：C.
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
【能力提升】
单选题
1.已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝（ ）
A．6B．8
C．18D．20
【答案】C
【分析】根据方差公式，即可计算.
【详解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.
故选:C.
2.设样本数据，的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，，...，的均值为5，则方差为（ ）
A．5B．8C．11D．16
【答案】D
【分析】根据样本数据的平均数和方差，则样本数据的平均数为，方差为，由此即可求出结果．
【详解】因为样本数据的均值和方差分别为和，且，
所以的均值为：，即，所以方差为．
故选：D．
3.随机变量，且，则（ ）
A．64B．128C．256D．32
【答案】A
【分析】根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.
【详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.
【点睛】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.
4.已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关D．都与m无关
【答案】C
【分析】根据随机变量的取值分别求出对应的概率，再将期望与方差求出即可判断出答案.
【详解】由题可知：
，
，
故，
=
=．
故选：C．
5.若样本数据的均值与方差分别为和，则数据的均值与方差分别为（ ）
A．，B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据均值和方差的定义求解即可．
【详解】解：由题意有，，
则，
∴新数据的方差是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查均值和方差的求法，属于基础题．
6.已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用期望公式与分布列的性质得到的方程组，从而求得，再利用方差公式即可得解.
【详解】因为，且各概率之和为，
所以，解得，
所以.
故选：B.
7.已知随机变量，满足，且，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据，，所以可得答案.
【详解】因为，，，
所以，
，所以.
故选：D.
8.随机变量X的分布列如下所示．
则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案.
【详解】由题可知，即，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则的最大值为.
故选：D.
多选题
9.设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足：，则下列结果正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据期望的性质可判断C，根据方差公式可判断D.
【详解】由，得，故A正确；
，故B正确；
因为，所以，故C正确；
，故D不正确.
故选：ABC.
10.随机变量X服从以下概率分布：
若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据离散型随机变量的性质，以及均值的计算公式，建立方程组，可得参数的值，根据均值的性质以及方差的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，，则；
，则.
由方程组，解得.
，.
故选：AD.
11.已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据平均数和方差的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，
所以，
.
故选：BC
12.已知甲盒中有2个红球，1个篮球，乙盒中有1个红球，2个篮球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（ ）
A． .B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据已知利用平均值的原理去快速解决问题判断A选项，再结合两点分布分别得出数学期望和方差大小判断B,C,D选项.
【详解】可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球；
乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球，
那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有个红球，个篮球，乙盒子内还有个红球，个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，
故，，，，A选项正确 ；
满足两点分布，
故，，
，，
，，，，B,C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
填空题
13.已知样本，，…，的平均数为5，方差为3，则样本，，…，的平均数与方差的和是 ．
【答案】23
【分析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】由题设，，，
所以，.
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
14.已知随机变量X服从二项分布，随机变量，则= .
【答案】8
【分析】利用二项分布的方差公式，方差的性质计算作答.
【详解】因为随机变量X服从二项分布，则，而，
所以.
故答案为：8
15.已知，且，则的方差为 ．
【答案】.
【分析】结合二项分布的方差的计算公式求出，进而根据方差的性质即可求出结果.
【详解】因为，所以，且
则，因此的方差为，
故答案为：.
16.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是 .
①
②
③
④
【答案】②
【分析】结合独立重复试验概率计算公式，计算出概率并求得方差，从而确定正确选项.
【详解】解：已知表示小球落入格子的号码，则的所有取值范围为，，，，，，
则，由对称性可知，
而，
，
所以，
，
综上得选项②正确．
故答案为：②
解答题
17.抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的方差和标准差．
【答案】；.
【分析】利用平均数，方差，标准差的公式求解．
【详解】由题可知X为随机变量，其可能的取值为1，2，3，4，5，6，
且P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝，
∴X的均值(数学期望)为；
X的方差；
X的标准差．
18.某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的数学期望和方差
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）首先求出，然后可算出答案；
（2）的可能取值为，算出对应的概率，然后可得答案.
【详解】（1）因为，所以
（2）的可能取值为
，，
所以的分布列为：
所以
19.已知随机变量的分布列如下表：
（1）求，，；
（2）设，求，．
【答案】（1），，；（2），.
【分析】（1）利用分布列的期望和方差的公式，准确运算，即可求解；
（2）由，利用，，即可求解.
【详解】（1）由期望的公式，可得，
又由方差的公式，可得，
所以.
（2）因为，所以，
.
20.某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立．
(1)设答对的题数为，求的分布列；
(2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)选择同学，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；
（2）由已知可得满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.
【详解】（1）设答对的题数，则的可能取值有，，且，，
则的分布列为：
（2）设答对的题数，则，
，，，，
由（1）知：，
，
而，
，
所以，，故选择为参赛选手．
21.某花店每天以每枝4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理
（1）若花店一天购进15枝玫瑰花，求当天的利润y(单位∶元)关于当天需求量n(单位∶枝，)的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位∶枝)，整理得下表∶
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进15枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位∶元)，求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进15枝或16枝玫瑰花，你认为应购进15枝还是16枝？请说明理由.
【答案】（1），n∈N；（2）（i）分布列答案见解析，，；（ii）应购进15枝，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，分别求得当n≥15和n≤14时的解析式，综合即可得答案.
（2）（i）X可取44，52，60，分别求得各个概率，列出分布列，代入公式，即可得数学期望及方差；
（ii）求得购进16枝时利润Y的的期望，比较即可得答案.
【详解】解∶（1）当n≥15时，，
当n≤14时，，
得，n∈N.
（2）（i）X可取44，52，60，
P(X=44)=0.1，P(X=52)=0.3，P(X=60)=0.6，
X的分布列为
，
（ii）花店一天购进16枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位∶元)，
那么Y的分布列为
购进16枝时，当天的利润的期望为，
因为56>55.2，所以应购进15枝.
22.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为、（单位：秒），其分布列为
甲品牌走时误差分布列
乙品牌走时误差分布列
式比较甲乙两种品牌的性能．
【答案】甲乙走时误差均值相同，甲的方差较小，性能更稳定.
【分析】由分布列的性质求出a，b的值，计算并比较的值即可判断作答.
【详解】由分布列的性质知，，解得，，解得，
于是得，，
从而得，即甲乙走时误差均值相同；
，,
从而得，即甲的方差较小，走时更稳定，
所以甲乙走时误差均值相同，甲的方差较小，性能更稳定.
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
X
0
1
2
3
p
m
0.4
n
0.2
X
0
2
4
P
a
0
1
0.2
X
0
1
P
0
1
2
P
2a
a
2a
b
0
1
4
P
a
4a
b
X
0
1
P
a
b
X
1
2
3
P
a
2b
a
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
1
2
3
P
a
b
0
1
2
－1
0
1
P
日需求量n
13
14
15
16
17
18
19
频数
10
30
20
14
12
8
6
X
44
52
60
P
0.1
0.3
0.6
Y
40
48
56
64
P
0.1
0.3
0.2
0.4
0
1
0.8
0.1
0
1
2
0.1
0.2
0.4
0.1