高中数学第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征精练

这是一份高中数学第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征精练，共7页。试卷主要包含了若随机变量X满足P=0，6和0，多空题已知随机变量X的分布列为，2)2×0，随机变量X的取值为0,1,2等内容，欢迎下载使用。

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差
A级　基础巩固
1.若随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为(　　)
A.0.6和0.7
B.1.7和0.09
C.0.3和0.7
D.1.7和0.21
解析:E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
答案:D
2.随机变量X的分布列如下表,若E(X)=1.1,则D(X)=(　　)
X
0
1
x
P

p

A.0.36B.0.52C.0.49D.0.68
解析:由随机变量分布列的性质求得p=.
由E(X)=0×+1×+x=1.1,得x=2.
故D(X)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.
答案:C
3.多选题甲、乙两支女子球队在去年的某场比赛中,甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8.已知甲队去年全年比赛进球数的标准差为3,乙队去年全年比赛进球数的标准差为0.3.下列说法中,正确的是(　　)
A.乙队的进球技术比甲队好
B.乙队发挥比甲队稳定
C.乙队几乎每场都进球
D.甲队的表现时好时坏
解析:因为甲队平均每场进球数为3.2,乙队平均每场进球数为1.8,甲队平均数远大于乙队,所以甲队的进球技术比乙队好,A错误;
因为甲队去年全年比赛进球数的标准差为3,乙队去年全年进球数的标准差为0.3,乙队进球数的标准差小于甲队,所以乙队发挥比甲队稳定,B正确;
因为乙队进球数的标准差为0.3,说明每次进球数接近平均值,乙队几乎每场都进球,所以C正确.
因为甲队标准差为3,说明甲队表现时好时坏,所以D正确.
答案:BCD
4.多空题已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P


a
则X的均值E(X)=-;若随机变量Y=2X+1,则Y的方差D(Y)=.
解析:由随机变量X的分布列,得
++a=1,解得a=,
所以E(X)=-1×+0×+1×=-,
所以D(X)=×+×+×=.
因为随机变量Y=2X+1,
所以Y的方差D(Y)=4D(X)=.
5.编号为1,2,3的三名同学随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名同学一个座位,若与座位编号相同的学生人数为X,则D(X)=1.
解析:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,3.
因为P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X
0
1
3
P



所以E(X)=0×+1×+3×=1,
所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
6.已知随机变量X的分布列如下表所示,E(X)=.
X
0
1
x
P


p
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
解: (1)由++p=1,得p=.
因为E(X)=0×+1×+x=,
所以x=2.
D(X)=×+×+×=.
(2)因为Y=3X-2,
所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
B级　拓展提高
7.甲、乙两名射击运动员命中环数X,Y的分布列如下表.由表可知,射击成绩比较稳定的运动员是(　　)
概率
环数k
8
9
10
P(X=k)
0.3
0.2
0.5
P(Y=k)
0.2
0.4
0.4
A.甲 　
B.乙　
C.二人一样　
D.无法比较
解析:由题中分布列可得,
E(X)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,
E(Y)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,
所以D(X)=(8-9.2)2×0.3+(9-9.2)2×0.2+(10-9.2)2×0.5=0.76,
D(Y)=(8-9.2)2×0.2+(9-9.2)2×0.4+(10-9.2)2×0.4=0.56.
所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y).
所以乙的成绩波动性较小,比较稳定.
答案:B
8.随机变量X的取值为0,1,2.若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=.
解析:设P(X=1)=a,P(X=2)=b,
则解得
所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
9.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球,其中红球3个,白球2个,现每次从中不放回地取出1个球,直到取到白球为止.
(1)求取球次数X的分布列;
(2)求取球次数X的均值和方差.
解:(1)由题意知,
X的可能取值有1,2,3,4,
P(X=1)=,
P(X=2)=×=,
P(X=3)=××=,
P(X=4)=××=,
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P




(2)由(1)知,取球次数X的均值为
E(X)=1×+2×+3×+4×=2,
X的方差D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=1.
10.某花店每天以5元/枝的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以10元/枝的价格出售,如果当天卖不完,那么剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天售卖玫瑰花的利润(单位:元),求X的分布列、均值及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
解:(1)当n>16时,y=16×(10-5)=80,
当n≤16时,y=10n-16×5=10n-80,
即y=(n∈N).
(2)①由(1)知,X可取60,70,80.
P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
故X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,
D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
②花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:
如果花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的均值为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
Y的方差为D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+
(85-76.4)2×0.54=112.04.
由以上的计算结果可以看出,D(X) C级　挑战创新
11.多选题已知0 D(ξ),则下列结论中可能成立的是(　　)
ξ
k
k-1
P
a
1-a
A.a=B.a=C.k=D.k=1
解析:由题意得E(ξ)=ka+(k-1)(1-a)=k-1+a,D(ξ)=[k-(k-1+a)]2·a+
[k-1-(k-1-a)]2·(1-a)=a(1-a).因为E(ξ)=D(ξ),所以k-1+a=a(1-a),所以k=
1-a2.又0 答案: ABC
12.多空题已知随机变量X的分布列如下表.
X
a
2
3
4
P

b


若E(X)=2,则a=0,D(X)=.
解析:由随机变量X的分布列及E(X)=2,
得解得
故D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=
13.某工厂生产A,B两种元件,现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行质量检测,检测结果记录如下:
A
B
7
6
7
x
7.5
8.5
9
8.5
9.5
y
由于表格被污损,数据x,y看不清,统计员只记得A,B两种元件的检测数据的均值相等,方差也相等,则xy=72.
解析:==8,
==8,可得x+y=17,①
DA=[(8-7)2+(8-7)2+(8-7.5)2+(8-9)2+(8-9.5)2]=1.1,
则DB=[(8-6)2+(8-x)2+(8-8.5)2+(8-8.5)2+(8-y)2]=1.1,
可得(x-8)2+(y-8)2=1,②
由①②可得xy=72.