高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布当堂检测题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
C．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
2．[2023·黑龙江哈尔滨高二期末]从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X＝1)＝( )
A．eq \f(7,15)B．eq \f(15,56)C．eq \f(15,28)D．eq \f(3,28)
3．设随机变量X～H(3，2，10)，则P(X＝1)＝( )
A．eq \f(4,15)B．eq \f(2,5)C．eq \f(1,15)D．eq \f(7,15)
4．已知随机变量X～H(7，4，5)，则E(X)＝( )
A．eq \f(20,7)B．eq \f(35,4)C．2D．eq \f(28,5)
5．[2023·江西宜春高二期中]一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq \f(C eq \\al(1,22) C eq \\al(1,4) ＋C eq \\al(2,22) ,C eq \\al(2,26) )的是( )
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
6．[2023·广东中山高二期末]一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是( )
A．eq \f(4,7)B．eq \f(9,7)C．eq \f(12,7)D．eq \f(16,7)
7．[2023·河南周口高二期中]一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从( )
A．二项分布，且E(X)＝8
B．两点分布，且E(X)＝12
C．超几何分布，且E(X)＝8
D．超几何分布，且E(X)＝12
8．[2023·河南信阳高二期末]一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为( )
A．eq \f(3,5)B．eq \f(1,15)C．eq \f(7,15)D．eq \f(8,15)
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·广东深圳高二期中]在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝eq \f(2,5)
B．P(X＝2)＝eq \f(3,7)
C．随机变量X服从超几何分布
D．随机变量X服从二项分布
10．[2023·湖南长沙高二期中]2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则( )
A．P(X<2)＝eq \f(13,15)B．P(X＝0)＝eq \f(1,3)
C．E(X)＝eq \f(3,5)D．D(X)＝eq \f(32,75)
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·陕西榆林高二期中]某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为eq \f(C eq \\al(2,5) C eq \\al(3,7) ,C eq \\al(6,12) ).
12．[2023·江西宜春高二期中]设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为________．
四、解答题(共20分)
13．(10分)袋中有5个白球、4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率：
(1)摸出2个或3个白球；
(2)至少摸出1个白球；
(3)至少摸出1个黑球．
14．(10分)[2023·福建泉州高二期中]从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.99.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
(2)若该批产品共100件，从中无放回地一次性任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的数学期望．
关键能力综合练
15．(5分)某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)＝eq \f(11,21)，则该社团的人数为( )
A．5 B．6C．7 D．10
[答题区]
16.(15分)[2023·河南安阳高二期末]不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；
(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望．
同步练习16 超几何分布
1．解析：对于A选项，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，A不满足；
对于B选项，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，B不满足；
对于C选项，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，C满足；
对于D选项，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，D不满足．
答案：C
2．解析：由题意知X服从超几何分布，则P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,2) C eq \\al(2,6) ,C eq \\al(3,8) )＝eq \f(2×15,56)＝eq \f(15,28).
答案：C
3．解析：由于随机变量X服从超几何分布X～H(3，2，10)，所以P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,2) C eq \\al(2,8) ,C eq \\al(3,10) )＝eq \f(7,15).
答案：D
4．解析：由题意知X～H(7，4，5)，故E(X)＝eq \f(4×5,7)＝eq \f(20,7).
答案：A
5．解析：本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
答案：B
6．解析：依题意，取出3球中白球个数X为随机变量，P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(k,3) C eq \\al(3－k,4) ,C eq \\al(3,7) )，k∈N，k≤3，X服从超几何分布，所以白球个数的数学期望是E(X)＝eq \f(3×3,7)＝eq \f(9,7).
答案：B
7．解析：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义得X服从超几何分布，所以E(X)＝eq \f(40×20,100)＝8.
答案：C
8．解析：记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为
P(X＝k)＝eq \f(C eq \\al(k,3) C eq \\al(2－k,7) ,C eq \\al(2,10) )，k＝0，1，2.
所以P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,7) ,C eq \\al(2,10) )＋eq \f(C eq \\al(2,3) C eq \\al(0,7) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(8,15).
或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(C eq \\al(0,3) C eq \\al(2,7) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(8,15).
答案：D
9．解析：由题意知随机变量X服从超几何分布；
X的取值分别为0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(4,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(1,14)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,4) C eq \\al(3,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(8,21)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(3,7)，P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(3,4) C eq \\al(1,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(4,35)，
P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(4,4) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(1,210).
答案：BC
10．解析：根据题意，X的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，
所以P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(0,4) C eq \\al(2,6) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(1,3)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,6) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(24,45)＝eq \f(8,15)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,4) C eq \\al(0,6) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(6,45)＝eq \f(2,15).
所以X的概率分布列为：
所以E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(2,15)＝eq \f(4,5)，
D(X)＝(0－eq \f(4,5))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(4,5))2×eq \f(8,15)＋(2－eq \f(4,5))2×eq \f(2,15)＝eq \f(32,75).
对于A，由分布列可得，P(X<2)＝1－P(X＝2)＝eq \f(13,15)，故A项正确；
对于B，由分布列可知，P(X＝0)＝eq \f(1,3)，故B项正确；
对于C，因为E(X)＝eq \f(4,5)≠eq \f(3,5)，故C项错误；
由上分析知D项正确．
答案：ABD
11．解析：由题意可知，X服从超几何分布，且eq \f(C eq \\al(X,5) C eq \\al(6－X,7) ,C eq \\al(6,12) )＝eq \f(C eq \\al(2,5) C eq \\al(3,7) ,C eq \\al(6,12) )，所以eq \f(C eq \\al(X,5) C eq \\al(6－X,7) ,C eq \\al(6,12) )＝eq \f(C eq \\al(3,5) C eq \\al(3,7) ,C eq \\al(6,12) )＝eq \f(C eq \\al(2,5) C eq \\al(4,7) ,C eq \\al(6,12) )，所以X＝2或3.
答案：2或3
12．解析：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0，1，2，
则P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(2,7) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,7) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,3) ,C eq \\al(2,10) )＝eq \f(1,15)，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
所以E(X)＝0×eq \f(7,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
13．解析：(1)根据题意，设从中摸出白球的个数为X，则X服从超几何分布，
所以P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(2,5) C eq \\al(1,4) ,C eq \\al(3,9) )＋eq \f(C eq \\al(3,5) ,C eq \\al(3,9) )＝eq \f(40,84)＋eq \f(10,84)＝eq \f(25,42)，
即摸出2个或3个白球的概率为eq \f(25,42).
(2)由(1)得，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(C eq \\al(3,4) ,C eq \\al(3,9) )＝eq \f(20,21)，
即至少摸出1个白球的概率为eq \f(20,21).
(3)至少摸出1个黑球：
P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1－P(X＝3)＝1－eq \f(C eq \\al(3,5) ,C eq \\al(3,9) )＝eq \f(37,42)，
故至少摸出1个黑球的概率为eq \f(37,42).
14．解析：(1)设从该批产品中任取1件是二等品的概率为p，
因为“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.99，
可得1－p2＝0.99，解得p＝0.1，
所以从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.1.
(2)因为该批产品共100件，所以二等品有100×0.1＝10(件)，
显然X的可能取值为0，1，2，
可得P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(2,90) ,C eq \\al(2,100) )＝eq \f(89,110)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,90) C eq \\al(1,10) ,C eq \\al(2,100) )＝eq \f(2,11)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,10) ,C eq \\al(2,100) )＝eq \f(1,110)，
所以X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq \f(89,110)＋1×eq \f(2,11)＋2×eq \f(1,110)＝eq \f(1,5).
15．解析：设该社团共有人数为n人，
∴P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(2,n－2) ,C eq \\al(2,n) )＝eq \f(（n－2）（n－3）,n（n－1）)，
∵P(X＝0)＝1－P(X>0)＝eq \f(10,21)，
∴eq \f(（n－2）（n－3）,n（n－1）)＝eq \f(10,21)，即(11n－18)(n－7)＝0，
又因为n∈N*，解得n＝7.
答案：C
16．解析：(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B；
所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(C eq \\al(2,5) ,C eq \\al(2,6) )×eq \f(C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(4,15).
(2)这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，
随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(4,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(15,210)＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,4) C eq \\al(3,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(80,210)＝eq \f(8,21)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(90,210)＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(3,4) C eq \\al(1,6) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(24,210)＝eq \f(4,35)，
P(X＝4)＝eq \f(C eq \\al(4,4) ,C eq \\al(4,10) )＝eq \f(1,210)，
分布列如下，
所以E(X)＝0×eq \f(1,14)＋1×eq \f(8,21)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(4,35)＋4×eq \f(1,210)＝eq \f(8,5).题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
答案
民宿
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
普通型民宿
19
5
4
17
13
18
9
20
10
15
品质型民宿
6
1
2
10
11
10
9
12
8
5
X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
eq \f(8,15)
eq \f(2,15)
X
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
0
1
2
P
eq \f(89,110)
eq \f(2,11)
eq \f(1,110)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(8,21)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)