人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后测评

第七章  随机变量及其分布

7.3.2离散型随机变量的方差

1.如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么(　　)

A．E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)

B．E(η)＝3E(ξ)，D(η)＝3D(ξ)＋2

C．E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)＋4

D．E(η)＝3E(ξ)＋4，D(η)＝3D(ξ)＋2

【答案】A

【解析】直接代入均值与方差的公式中．

2.已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足Y＝3X﹣1，则Y的方差D（Y）＝（　　）

A．1    B．2    C．3    D．9

【答案】D

【解析】由分布列的性质可知，，所以，所以数学期望E（X）＝，D（X）＝1，因为Y＝3X﹣1，所以D（Y）＝32D（X）＝9，

故选：D．

3．随机变量X的取值范围为0，1，2，若,  ，则D（X）＝（　　）

A.     B．    C．     D．

【答案】C

【解析】设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，

∵E（X）＝0×+p+2q＝1①，

又+p+q＝1，②由①②得，p＝，q＝，

∴D（X）＝（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2＝，

故选：C．

4.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)

A.E(X)＝0，D(X)＝1

B.E(X)＝，D(X)＝

C.E(X)＝0，D(X)＝

D.E(X)＝，D(X)＝1.

【答案】A

【解析】由题意知，随机变量X的分布列为

∴E(X)＝(－1)×＋1×＝0，D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.

5．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）

A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） 

B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） 

C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） 

D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）

【答案】A

【解析】当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，

P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，

P（ξ＝3）＝，∴E（ξ）＝＝2，

D（ξ）＝，

当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）＝＝，

P（η＝2）＝，P（η＝3）＝，

P（η＝4）＝，∴E（η）＝，

D（η）＝，

∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．故选：A．

6．设一随机试验的结果只有A和，且A发生的概率为m，令随机变量X＝，则D（X）＝（　　）

A．1              B．m（1﹣m） 

C．4m（1﹣m+）   D．4m（1﹣m）（2m﹣1）

【答案】C

【解析】∵一随机试验的结果只有A和 ，且A发生的概率为m，

令随机变量X＝，

∴E（X）＝m﹣（1﹣m）＝2m﹣1，

∴D（X）＝（1﹣2m+1）2m+（﹣1﹣2m+1）2（1﹣m）＝4m（1﹣m）．故选：C．

7.已知随机变量ξ的分布列如下：[来源:学&科&网Z&X&X&K]

若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)

A.0   B.2

C.1   D.

【答案】A

【解析】由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋ (n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.

8.已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝﹣x．若0＜x＜．则（　　）

A．E（ξ）随着x的增大而增大[来源:学§科§网Z§X§X§K]

B．E（ξ）随着x的增大而减小，

C．D（ξ）随着x的增大而增大 

D ．D（ξ）随着x的增大而减小 

【答案】BD

【解析】∵随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝﹣x．0＜x＜．

∴E（ξ）＝x+＝，

D（ξ）＝，

∴E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小．故选B D ．

9．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.

【答案】0.4  0.1  0.5

【解析】由题意知，－p1＋p3＝0.1，

1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.

又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.

10.已知随机变量的分布列为：

若，则x+y＝　　，D（ξ）＝　　．

【答案】；

【解析】由题意可得：x+y+＝1，﹣1×x+0+2y＝，

解得x＝，y＝．x+y＝，

∴D（ξ）＝．

11．某市电视台对本市2019年春晚的节日进行评分，分数设置为1分，2分，3分，4分，

5分五个等级已知100名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这100名大众评

委的分数的方差为　　．

【答案】1.6

【解析】分数的平均数为1×0.2+2×0.1+3×0.3+4×0.3×5×0.1＝3．所以＝（1﹣3）2×0.2+（2﹣3）2×0.1+（3﹣3）2×0.3+（4﹣3）2×0.3+（5﹣3）2×0.1＝1.6．故填：1.6．

12.设d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝________.

【答案】30d2

【解析】E(ξ)＝x10，

D(ξ)＝(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.

13.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，[来源:学科网]

(1)求X的分布列，均值和方差；

(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

【解析】(1)X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，

即a＝±2，又E(Y)＝aE(X)＋b，

故当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；

当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.

因此，或即为所求．

14.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14，a.

假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

【解析】(1)P(t≥14)＝＝.

(2)当a＝25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天，14天，15天，16天，共4人；

若乙的康复时间为13天.则符合题意的甲有14天，15天，16天，共3人；

若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天，16天，共2人；

若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人.

当乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不符合题意.

所以符合题意的甲、乙选择方式共4＋3＋2＋1＝10种.

因为甲、乙组合情况共C×C＝49种，

又因为任何组合情况都是等可能的，[来源:学科网ZXXK]

故P(t甲>t乙)＝.

(3)a＝11或a＝18.