人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征优秀习题

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【夯实基础】
题型1 利用定义求离散型随机变量的均值
1.若随机变量的概率分布列如下表：
则等于（ ）
A．2031B．12C．3.04D．15.2
【答案】A
【分析】先求出，再根据均值的性质可求出.
【详解】据题意，得，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查根据分布列求离散型随机变量的均值，以及根据均值求新的均值.
2.已知随机变量的分布列如表，则的均值等于（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】利用分布列中各取值的概率之和为1，得到m的值，运用均值公式计算均值.
【详解】由，得，则.
故选：C
3.设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将，2，3，4代入的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.
【详解】依题意可的的分布列为：
依题意得，解得，，
故.故选：A
4.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】抽到自己准备的书的学生人数为X，可得到X的可能取值，分别计算出对应的概率即可求得其均值.
【详解】记抽到自己准备的书的学生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4，
；；
；，
则．故选：B．
5.如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为，则的均值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】计算出被涂三面、两面、一面的小正方体的个数，可得的可能取值为0，1，2，3．从而求出数学期望；
【详解】解：根据题意正方体内部有个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有个，仅有两个面涂上颜色的有个，有三个面涂上共有8个，故随机变量的可能取值为0，1，2，3．于是，，，．于是期望为．
故选：D．
题型2 离散型随机变量均值的性质
1.随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据随机变量分布列的性质，可得，．利用期望公式及二次函数性质可得结果.
【详解】根据随机变量分布列的性质，所有的概率之和为1，且每个概率都介于0和1之间，
得到，．
根据随机变量数学期望公式得，
当时，取得最大值，经检验符合题意．
故选：B．
2.设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
3.已知离散型随机变量X的分布为
则X的数学期望（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用分布列的性质求出m，再直接利用公式求出X的数学期望.
【详解】由分布列的性质可得：，解得：.
所以X的数学期望.
故选：B
4.已知X的分布列为
且Y＝aX+3，E（Y），则a为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，Y＝aX+3，求出a即可．
【详解】先求出（﹣1）01．
再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考查了基本运算的能力，属于基础题．
5.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0B．1C．0.3D．
【答案】D
【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,
【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.
故选：D.
题型3 离散型随机变量均值的应用
1.随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出，再得出，最后由得出答案.
【详解】
，解得
则
故选：D
【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.
2.一人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子里放一个小球，球的编号与盒子的编号相同叫做放对了，否则叫做放错了，设放对的个数为X，则X的期望为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【分析】由题可知，X可能取0,1,2,4，分别求得各个取值对应的概率，从而求得期望.
【详解】由题可知，X可能取0,1,2,4，
则，
，
则
故选：D
3.甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金（ ）元.
A．700B．600C．200D．100
【答案】D
【分析】根据题意，先计算得到甲应得奖金的期望，从而得到乙应得奖金.
【详解】设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，
甲赢得比赛有3中情况：
①胜第3局，甲赢的概率为，
②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为，
③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为，
∴甲赢的概率为，
∴，
则乙应得奖金，
故选：D.
4.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲､乙两种相互独立的预防措施可供采取，单独采取甲､乙预防措施所需费用分别为45万元和30万元，采取相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防措施允许单独采取､联合采取或不采取，那么总费用（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望）最少的是（ ）
A．不采取任何预防措施B．单独采取甲预防措施
C．单独采取乙预防措施D．联合采取甲､乙两种预防措施
【答案】D
【分析】分成四类情况，求出相应的总费用，即可作出判断.
【详解】①不采取预防措施时，总费用即损失的期望为（万元）；
②若单独采取甲预防措施，则采取预防措施所需费用为45万元，发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）；③若单独采取乙预防措施，则采取预防措施所需费用为30万元，发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）；
④若联合采取甲､乙两种预防措施，则采取预防措施所需费用为（万元），发生突发事件的概率为，损失的期望为（万元），所以总费用为（万元）.
综合①②③④，比较其总费用，可知选择联合采取甲､乙两种预防措施，可使总费用最少.
故选：D
5.通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，从而可求出，同样的方法可求出，进而可求出比值
【详解】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，
故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，
同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，
∴.
故选：B
【能力提升】
单选题
1.随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】由分布列可得，进而结合期望的概念即可求出结果.
【详解】由题意可知，即，
而，
故选：B.
2.学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出随机变量X的所有取值，分别计算的各种取值对应的概率，再计算数学期望．
【详解】解：的可能取值有0，1，2，
且，，，
．
故选：D.
3.已知某一随机变量的概率分布列如下，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．3D．7
【答案】A
【分析】由概率和为先计算，然后由期望的公式列出关于的等式，求解即可.
【详解】解：由概率和为可知：，所以，解得：.
故选：A
4.学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】C
【分析】法一：根据随机变量，由求解；法二：由题意得到的取值范围为，然后分别求得其相应概率，利用期望公式求解.
【详解】法一：由题意得随机变量，
则，
法二：由题意可知的取值范围为，
则，
，
，
故，
故选：C.
5.随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式即可求出答案.
【详解】，∵，
∴，解得，
则，
∴．
故选：B
6.把半圆分成4等份，以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，记这3个三角形中钝角三角形的个数为X，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】一共可做出10个三角形，其中钝角三角形有7个，由题意可知，分别求出对应概率，从而可求得数学期望.
【详解】解：以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，一共能作出个三角形，
其中钝角三角形有个，
所以，
，
，
，
，
所以.
故选：A.
7.将5个小球放入甲乙两个框中，每个框一定要有球，放完后小明等概率从甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不为两个球，则甲框中小球个数的期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出甲框中球的个数X可能值及对应的概率，求出期望值.
【详解】甲框中球的个数X可能为1，3，4，
由小明等概率从甲乙中依次取出球，甲框最先被取完，
若，则第一次就从甲框中取球的概率为，
若第一次从乙框，第二次从甲框中取球的概率为，
若第一、二次从乙框，第三次从甲框中取球的概率为，
若第一、二、三次从乙框，第四次从甲框中取球的概率为，
则甲框中只有一球，且先被取完的概率为；
若，前三次均在甲框中取球，概率为，
前三次有1次从乙框中取球，第四次从甲框中取球，则概率为，
故甲框中只有三球，且先被取完的概率为;
若，则前四次均要从甲框中取球，
故甲框中只有四球，且先被取完的概率为，
所以甲框最先被取完且甲框中不为两个球的概率，
在此前提下，，
则甲框中小球个数的期望.
故选：B.
8.某商场销售某种品牌的空调，每周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台未售出的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，调剂的空调每台可获利200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调的周需求量n（单位：台），整理得表：
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若该商场周初购进20台空调，X表示当周的利润（单位：元），则当周的平均利润为（ ）
A．10000元B．9400元C．8800元D．9860元
【答案】D
【分析】求出X的可能取值，进而求出相应的概率，根据均值的计算公式即可求出结果.
【详解】当时，，
当时，，
则X的可能取值为8800，9400，10000，10200，10400，
，
，
，
，
，
则当周的平均利润
（元）．
故选：D．
多选题
9.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】的值分别为，求出各概率，再计算出期望值，然后判断各选项．
【详解】任取3支签的方法总数为，
，C错；，A正确；，，
，B正确；
，D正确．
故选：ABD．
10.新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元，分配方案是：若只有某一小组研发成功，则该小组获得全部奖金；若两个小组都研发成功，则平分全部奖金；若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金.则（ ）
A．该研究所疫苗研发成功的概率为
B．乙小组获得全部奖金的概率为
C．在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为
D．甲小组获得奖金的期望值为60万元
【答案】AC
【分析】于A和B选项，可利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解并判断；对于C选项，可利用条件概率的计算公式求解判断；对于D选项，可先写出甲小组获得奖金数的可能取值，求出分布列，再计算期望值，进而判断即可.
【详解】对由题，当甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功时，该研究所疫苗研发成功，其概率为，故A选项正确；乙小组获得全部奖金，即甲小组没有研发成功，而乙小组研发成功，概率为，故B选项错误；设事件A为“疫苗研发成功”，事件B为“甲小组研发成功”，则，故C选项正确；设甲小组获得的奖金数为（单位：万元），则的可能取值为0，50，100，且，，，所以，故D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题考查概率问题，关键考查建模能力，理解题意，正确转化为概率模型求解，试题从实际生活中的场景出发，对新型冠状病毒疫苗研发情况进行分析，需要考生选择随机变量刻画随机现象，并利用所学知识解决实际问题，体现对理性思维、数学应用、数学探索学科素养的考查.
11.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是且各轮考核能否通过互不影响，则（ ）
A．该软件通过考核的概率为
B．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为
C．该软件至少能够通过两轮考核的概率为
D．在此次比赛中该软件平均考核了轮
【答案】ABD
【分析】设事件，2，3，表示“该软件能通过第轮考核”，由已知可得，，，，再利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式一一计算可得．
【详解】解：设事件，2，3，表示“该软件能通过第轮考核”，
由已知得，，，，
该软件通过考核的概率为；
该软件在第三轮考核被淘汰的概率为，故选项B正确；
该软件至少能够通过两轮考核的概率为，故选项C不正确；设在此次比赛中，该软件考核了轮，∴的可能取值为1，2，3，4，，，，，∴，故选项D正确．
故选：ABD
12.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在某市中小学中随机抽取了10所学校，这10所学校中了解这个项目的人数如图所示.若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．X的取值范围为B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意可知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，故可确定X的取值范围为，判断A;求出X的每个取值的概率，判断B,C;求得X的期望，判断D.
【详解】由题意知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，
故X的取值范围为，故A错误；
由此可得 ,故B，C正确；
又，
故，故D不正确，
故选：BC
填空题
13.已知随机变量的期望为3，则 .
【答案】
【分析】根据满足线性关系的变量间的期望的计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，所以.
故答案为：.
14.已知随机变量的分布列为：
其中，，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分布列的性质可得a，然后由期望公式可得m、n的关系，最后巧用“1”和基本不等式可得.
【详解】由分布列性质可知
所以
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
15.同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则 .
【答案】
【解析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解.
【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为，此时，
而时对应概率为，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的期望为 .
【答案】.
【分析】根据题意，得到变量可能的取值，根据公式求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望.
【详解】由题意，随机变量可能的取值分别为（单位：），
事件“”等价于事件“该学生在路口遇到次红灯”，其中，
所以，其中，
可得，
所以随机变量的分别列为：
所以期望为：.
故答案为：.
解答题
17.甲､乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：
（1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率.
（2）如果，从甲､乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（2）利用古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】（1）由已知可得从甲的局的比赛中，随机选取局的情况有种，
得分恰好相等的有种，所以这局的得分恰好相等的概率为.
（2）当时，的可能取值有，，，，
所以，，，，所以的分布列为：
.
18.甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲赢的概率为，输的概率为．
(1)求甲最终获胜的概率；
(2)记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设甲最终获胜的概率为P，分四局比赛获胜、五局比赛获胜、六局比赛获胜、七局比赛获胜这几种情况讨论，根据相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得．
（2）依题意X的所有可能取值为4，5，6，7，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
【详解】（1）解：设甲最终获胜的概率为P．
∵甲四局比赛获得胜利的概率为；
甲五局比赛获得胜利的概率为；
甲六局比赛获得胜利的概率为；
甲七局比赛获得胜利的概率为．
∴．
∴甲最终获胜的概率为．
（2）解：X的所有可能取值为4，5，6，7．
；；
；．
随机变量X的分布列为：
∴．
∴X的数学期望为
19.“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有三种品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.
（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有家，则品牌的店各应抽取多少家？
（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的个白球和个红球.顾客可以一次性从盒中抽取个球，若是个红球则打六折（按原价的付费），个红球个白球打八折，个红球个白球则打九折，个白球则打九六折.小张在该店点了价值元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为，求的分布列与数学期望.
【答案】（Ⅰ）品牌店家，应抽查品牌店家；（Ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；
（2）求出随机变量的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.
【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查品牌店家，
应抽查品牌店家；
（Ⅱ）离散型随机变量的可能取值为.
于是，，
，.
的分布列如下
所以
【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.
20.已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次．
（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；
（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为；
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【详解】解：（1）记“该投手投中两分球1次“为事件，则，
记“该投手第一次投中三分球“为事件，则，
记“该投手第二次投中三分球“为事件，则，
记“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”为事件，
因为每次投篮的结果相互独立，所以，
所以；
（2）的可能取值为0，2，3，5，6，8，
则，
，
，
，，，
故的分布列为：
所以．
21.某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品A
产品B 注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；
（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？
【答案】（1）；
（2）当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；
当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；
当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B．
【分析】（1）先表示出两人全都不获利的概率，再求至少有一人获利的概率，列出不等式求解；
（2）分别求出两种产品的期望值，对期望中的参数进行分类讨论，得出三种情况.
【详解】（1）记事件A为“甲选择产品A且盈利”，事件B为“乙选择产品B且盈利”，事件C为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则，．
所以，解得．
又因为，q＞0，所以．
所以．
（2）假设丙选择产品A进行投资，且记X为获利金额（单位：万元），则随机变量X的分布列为
则．
假设丙选择产品B进行投资，且记Y为获利金额（单位：万元），则随机变量Y的分布列为
则．
讨论：
当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；
当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；
当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B．
【点睛】本题考查独立事件的概率以及期望的求法，注意求概率时“正难则反”，若直接求不容易求，则求其相反的事件的概率，反推即可.
22.医学研究表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命存续期一般不会超过三天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势，这就是大家所说的“黄金72小时”．某煤矿由于开采不当发生了矿难，发现有3个矿工被困井下．其中2个人在“黄金72小时”被营救的概率均为，另外1个人在“黄金72小时”被营救的概率为．设每个人是否被营救成功相互独立．
（1）求在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率；
（2）由于发生了生产安全事故，政府将对该企业罚款100万，另外，假设每个矿工在“黄金72小时”内获得营救需要赔偿10万元，否则需赔偿80万元，求该企业由于此次事故造成钱财损失的期望（精确到0.1）
【答案】（1）；（2）223.3万元．
【分析】（1）法一：正面考虑，分别求得在“黄金72小时”内有2个矿工营救成功的概率为和在“黄金72小时”内有3个矿工营救成功的概率，求和即可；
法二：反面考虑，在“黄金72小时”内有1个矿工营救成功的概率为在“黄金72小时”内所有矿工均未营救成功的概率为，则即为解；
（2）设钱财损失为随机变量，，分别求得对应数据的概率，
，，，，再求期望即可得解.
【详解】（1）法一：在“黄金72小时”内有2个矿工营救成功的概率：
在“黄金72小时”内有3个矿工营救成功的概率：
在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率：．
法二：在“黄金72小时”内有1个矿工营救成功的概率：
在“黄金72小时”内所有矿工均未营救成功的概率：
在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率：
（2）设钱财损失为随机变量，
3个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，
3个矿工中有1个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，
3个矿工中有2个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，
3个矿工全部在“黄金72小时”内获得营救的概率：
该企业由于矿难发生钱财损失的期望223.3万元．
0
2
4
0.3
0.2
0.5
0
1
2
3
1
2
3
4
0
X
0
1
2
3
P
m
X
﹣1
0
1
P



1
2
3
7
9
0.1
0.4
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
0
2
4
6
8
甲
乙
X
4
5
6
7
P
60
80
90
96
0
2
3
5
6
8
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
q
X
4
0
-2
p
Y
2
0
-1
p
p
q