高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征一课一练

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征

一、单选题

1．设，随机变量的分布

则当a在内增大时，（       ）A．增大，增大 B．增大，减小

C．减小，增大 D．减小，减小

2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（       ）

A．2 000元 B．2 200元

C．2 400元 D．2 600元

3．已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差（       ）

A．120 B．240 C．360 D．480

4．已知随机变量的分布列为：

设，则的数学期望的值是（       ）A． B． C． D．

5．设p，，随机变量量ξ的的分布列是：

随机变量η的分布列是：

则（       ）A． B．

C． D．与大小关系不定

6．某射手射击所得环数的分布列如下：已知的数学期望，则的值为（       ）

A．0.8 B．0.6

C．0.4 D．0.2

7．设随机变量满足(为非零常数)，若，则和分别等于（       ）

A． B．

C． D．

8．已知随机变量，则（       ）

A． B． C． D．10

9．已知随机变量的取值为.若，，则（       ）

A． B． C． D．

10．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知随机变量满足，且为正数，若，则（       ）

A． B． C． D．

12．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1，2.若n1＝3，n2＝5，则（   ）

A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）

B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）

C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）

D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）

二、填空题

13．若的方差为2，则，，…，的方差为______．

14．已知随机变量，则___________.

15．若随机变量的分布列为

则______．

16．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是________.

17．设随机变量的方差，则的值为_____．

三、解答题

18．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.

（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；

（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.

19．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.

20．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．

（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；

（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．

21．京西某地到北京西站有阜石和莲石两条路，且到达西站所用时间互不影响.下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：

若甲､乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)

（1）甲､乙两人应如何选择各自的路径？

（2）按照（1）的方案，用X表示甲､乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望.

参考答案：

1．D

求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.

【详解】

解：由因为分布列中概率之和为1，可得，

∴，∴当增大时，减小，

又由

可知当在内增大时，减小.

故选：D.

2．B

根据期望的计算方法，即可求解.

【详解】

由题意，出海的期望效益（元）.

故选：B.

3．A

设甲获胜的局数为，则，然后由方差的性质和二项分布的知识可得答案.

【详解】

设甲获胜的局数为，则

所以

故选：A

4．C

根据分布列的性质可求出，再根据期望公式即可求出随机变量的数学期望，最后根据，即可求出随机变量的数学期望.

【详解】

根据分布列的性质，得，解得，

所以随机变量的数学期望为．又，

所以随机变量的数学期望为．

故选：C.

5．C

根据随机变量的分布列，利用期望和方差的公式，分别求得和，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，可得，，

则

=，

当时，取得最大值，最大值为，

又由

，

当时，取得最大值，最大值为，

所以.

故选：C.

6．C

根据分布列的概率之和为1得的一个关系式，由变量的期望值得 的另一个关系式，联立方程，求解的值.

【详解】

解：由表格可知：

，

 解得.

故选：．

本题考查根据分布列和期望值求参数，熟记概念即可，属于常考题型.

7．B

利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得.

【详解】

因为随机变量满足，

所以，

；

.

故选：B.

若随机变量满足，他们的期望和方差分别满足：

8．D

求出，即可求出的值.

【详解】

解：由题意知，，所以，

故选: D.

本题考查了二项分布方差的求解，属于基础题.

9．C

设，可得，结合，可求出，进而可求出方差，再结合，可求出答案.

【详解】

由题意，设，则，

又，解得，

所以，，

则，

所以.

故选：C.

本题考查随机变量的期望与方差，注意方差的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

10．C

根据题意可知取到黑球的次数的取值可能是0,1,2,3，由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则，进一步求出答案.

【详解】

有放回的抽取时，取到黑球的次数的取值可能是0,1,2,3，

由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则

,

,

,

.

故选：C.

11．C

根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.

【详解】

由方差的性质可得，，

因为，所以，

又a为正数，所以．

故选：C.

本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.

12．A

由n1＝3，求出ξ1的分布列，从而求出E（ξ1），D（ξ1）；由n2＝5，求出ξ2的分布列，从而求出E（ξ2），D（ξ2）；进而得到E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）.

【详解】

解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，

设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1，2，

∵n1＝3，∴ξ1的分布列为：

Eξ1，

Dξ1＝（1）2（2）2（3）2.

∵n2＝5，∴ξ2的分布列为：

Eξ2，

Dξ2＝（1）2（2）2（3）2（4）2（5）2，

∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）.

故选：A.

求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：

（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；

（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；

（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.

13．

根据方差的性质进行求解即可.

【详解】

因为的方差为2，

所以，，…，的方差为，

故答案为：

14．

根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质计算可得；

【详解】

解：因为随机变量，所以

所以

故答案为：

15．

根据分布列的性质，求，再根据分布列求方差.

【详解】

由分布列的性质可得，∴，

由两点分布的方差可得．

故答案为：

16．

分别求出所对应的概率，由数学期望计算公式可构造不等式求得结果.

【详解】

由题意得：，，，

，

由得：，解得：或（舍），

.

故答案为：.

17．4

利用方差的运算性质即可求解

【详解】

.

故答案为：

18．（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.

（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；

（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.

【详解】

解：（1）依题意可得，，

，，

，，

，，

则的分布列如表所示.

.

（2）处于第个等级有两种情况：

由第等级到第等级，其概率为；

由第等级到第等级，其概率为；

所以，所以，

即.

所以数列为等比数列.

本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即：，进而根据等比数列的定义证明.

19．（1）；（2）分布列见解析，，.

（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.

【详解】

（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，

两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，

两人都付元的概率为.

则两人所付费用相同的概率为；

（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，

则，，

，，

.

所以，随机变量的分布列为

.

.

本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算求解能力，属于中等题.

20．（1）；（2）分布列见解析.

（1）利用古典概型概率公式即求；

（2）由题知X的取值范围为，分别求概率，即得.

【详解】

（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则．

（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）

（2）X的取值范围为，

则，，．

所以总得分X的分布列为：

21．（1）甲应选择路径，乙应选择路径；（2）分布列见解析，

（1）分别求甲，乙两人选择两条路径，能赶到火车站的概率，比较后作出判断；（2）由条件可知，根据（1）的结果，列出分布列，并求数学期望.

【详解】

（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，

用频率估计相应的概率，则有：

，，

，所以甲应选择路径；

，，

，所以乙应选择路径；

（2）用分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内到达火车站，

由（1）知，，且相互独立，

的取值是,

，

，

，

所以的分布列为：

关键点点睛：本题考查概率和统计，离散型随机变量的分布列和数学期望，本题的关键是第一问，需读懂题意，并转化为计算概率，比较大小.