高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步练习题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．[2023·河北张家口高二期中]已知离散型随机变量Y的分布列如下：
则数学期望E(Y)＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(5,4)C．1D．2
2．[2023·浙江温州高二期中]李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：
现让小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则E(ξ)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
3．[2023·山西太原高二期中]某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为( )
若E(X)＝2，则n＝( )
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
4．[2023·湖南长沙高二期末]随机变量X的分布列如表，则E(2X＋3)的值为( )
．7.4C．21.2D．22.2
5．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：
甲得分：
乙得分：
则甲、乙两人的射击技术相比( )
A．甲更好B．乙更好
C．甲、乙一样好D．不可比较
6．[2023·北京丰台高二期末]已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(1,2)C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,6)
7．[2023·河北邯郸高二期中]一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个．现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X，则E(X)＝( )
A．1B．2C．eq \f(1,3)D．eq \f(2,3)
8．[2023·河北石家庄高二期中]甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A．eq \f(241,81)B．eq \f(266,81)C．eq \f(274,81)D．eq \f(670,243)
二、多项选择题(每小题5分，共10分)
9．[2023·福建泉州高二期中]已知随机变量X的分布列如下表所示．若P(X≥0)＝eq \f(5,6)，则( )
A.m＝eq \f(1,6)B．n＝eq \f(1,6)C．E(X)＝eq \f(1,6)D．E(X)＝－eq \f(1,6)
10．[2023·山东滨州高二期末]袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则( )
A．抽取2次后停止取球的概率为0.6
B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为0.9
C．取球次数ξ的期望为1.5
D．取球3次的概率为0.1
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．[2023·广东肇庆高二期末]已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝eq \f(7,4)，则P(X≤2)＝________．
12.[2023·河北唐山高二期末]一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则E(X)＝________．
四、解答题(共20分)
13．(10分)[2023·山东滨州高二期中]西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行．开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不同的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格．假设该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该新技术检测得8分的概率；
(2)记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
14．(10分)[2023·北京通州高二期末]某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品．已知该产品第一次检测不合格的概率为eq \f(1,6)，第二次检测不合格的概率为eq \f(1,10)，两次检测是否合格相互独立．
(1)求每生产一台该产品是合格品的概率；
(2)据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元．该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X表示这2台产品的获利之和，求X的分布列及数学期望．
关键能力综合练
15．(5分)[2023·河南开封高二期中]将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同的行的个数为ξ，则ξ的数学期望为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(3,5)C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,4)
[答题区]
16.(15分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
同步练习13 离散型随机变量的均值
1．解析：由题意可得：E(Y)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4).
答案：B
2．解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1，所以E(ξ)＝1×a＋2×b＋3×a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2.
答案：B
3．解析：由题意可得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.2＋m＋n＝1,E（X）＝1×0.2＋2m＋3n＝2))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝0.8,2m＋3n＝1.8))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0.6,n＝0.2)).
答案：B
4．解析：由0.2＋A＋0.4＝1得A＝0.4，
所以E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，
所以E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×2.2＋3＝7.4.
答案：B
5．解析：因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好．
答案：B
6．解析：设试验成功的概率为p，则p＋eq \f(p,2)＝1，解得p＝eq \f(2,3)；记一次试验中成功的次数为X，则X的取值有0，1，P(X＝0)＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(2,3)，则随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).
答案：A
7．解析：由题意可知取出的橘黄色球的个数X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(2,5)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(8,15)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,2) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(1,15)；
所以可得E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(2,3).
答案：D
8．解析：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,9).
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(ξ＝2)＝eq \f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，
ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，
P(ξ＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,81)，
故E(ξ)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).
答案：B
9．解析：依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋m＋n＝1,m＝1－\f(5,6)))，解得n＝eq \f(1,2)，m＝eq \f(1,6)，E(X)＝(－1)×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
答案：AC
10．解析：设ξ为取球的次数，则ξ可取1，2，3，
故可知：P(ξ＝1)＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(3,3)＝eq \f(1,10)，
抽取2次后停止取球的概率为：P(ξ＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)＝0.3，故A错误；
停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq \f(3,5)＋eq \f(3,10)＝eq \f(9,10)＝0.9，故B正确；
E(ξ)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2)＝1.5，故C正确；
取球三次的概率为P(ξ＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(3,3)＝eq \f(1,10)＝0.1，故D正确．
答案：BCD
11．解析：由分布列的性质和期望公式可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＋\f(1,4)＝1,E（X）＝m＋2×\f(1,4)＋3n＝\f(7,4)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2),n＝\f(1,4)))，
因此P(X≤2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
12．解析：X的可能取值是1，2，3，4，5，
则P(X＝1)＝eq \f(3,10)，P(X＝2)＝eq \f(7,10)×eq \f(3,9)＝eq \f(7,30)，P(X＝3)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(7,40)，P(X＝4)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(5,8)×eq \f(3,7)＝eq \f(1,8)，P(X＝5)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(5,8)×eq \f(4,7)＝eq \f(1,6)，
所以E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(7,30)＋3×eq \f(7,40)＋4×eq \f(1,8)＋5×eq \f(1,6)＝eq \f(21,8).
答案：eq \f(21,8)
13．解析：(1)记“该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格”分别为事件A，B，C，
则P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(2,3)，P(C)＝eq \f(1,2)，
所以“该新技术检测得8分”可表示为Aeq \(B,\s\up6(－))C，
故P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq \f(2,3)×(1－eq \f(2,3))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,9).
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
由题意结合(1)可得：P(ξ＝0)＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(1,2))＝eq \f(1,18)，
同理可得P(ξ＝1)＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))C)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－))B)＝eq \f(5,18)，
P(ξ＝2)＝P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＝eq \f(4,9)，
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,9)，
所以ξ的分布列如下：
故E(ξ)＝0×eq \f(1,18)＋1×eq \f(5,18)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(2,9)＝eq \f(11,6).
14．解析：(1)记“生产一台该产品是合格品”为事件A，
则P(A)＝(1－eq \f(1,6))×(1－eq \f(1,10))＝eq \f(5,6)×eq \f(9,10)＝eq \f(3,4)，
所以每生产一台该产品是合格品的概率为eq \f(3,4).
(2)由(1)知，每生产一台该产品是合格品的概率为eq \f(3,4)，
每生产一台该产品是次品的概率为1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
X的可能取值为200，300，400，
则P(X＝200)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，
P(X＝300)＝2×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,8)，
P(X＝400)＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16)，
所以X的分布列为：
所以E(X)＝200×eq \f(1,16)＋300×eq \f(3,8)＋400×eq \f(9,16)＝eq \f(2800,8)＝350(元).
15．解析：字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有C eq \\al(2,6) C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,2) ＝90种，
随机变量ξ的可能值为0，1，3，
P(ξ＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,2) A eq \\al(2,2) ,90)＝eq \f(2,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(A eq \\al(3,3) ,90)＝eq \f(1,15)，
P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－eq \f(2,5)－eq \f(1,15)＝eq \f(8,15)，
所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×eq \f(8,15)＋1×eq \f(2,5)＋3×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5).
答案：B
16．解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列为
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．Y
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
ξ
1
2
3
P
！
？
！
X
1
2
3
P
0.2
m
n
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4
X1
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
X2
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
X
－1
0
1
P
m
n
eq \f(1,3)
X
1
2
3
P
m
eq \f(1,4)
n
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
答案
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,18)
eq \f(5,18)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
X
200
300
400
P
eq \f(1,16)
eq \f(3,8)
eq \f(9,16)
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48