人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征图片ppt课件

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一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望（或均值）为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
若X服从两点分布，则E(X)=_____
数学期望的线性性质:E(aX＋b)=__________
1、离散型随机变量取值的平均水平——数学期望
2、求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定随机变量取值
均值E(X)刻画的是随机变量X取值的“平均水平”. 均值在实际中有着广泛的应用，如在成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测中，都可以通过随机变量的均值来进行估计.（决策问题）
离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差
已知一组样本数据：x1，x2，…，xn
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平?
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
E(X)= 8 ；E(Y)=8
思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.
为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.
比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
离散型随机变量取值的方差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
则称：D(X)=(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋‧ ‧ ‧＋(xn－E(X))2pn .
为随机变量X的方差，用D(X)表示.
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
分别计算两位同学的方差?
已知：E(X)= 8 ；E(Y)=8
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
证明 如果X是一个离散型随机变量，则D(aX＋b)=a2D(X)(其中a, b为常数)
证明：设X的分布列为：
所以，下面的结论成立：
已知：E(aX+b)＝ aE(X) +b
D(aX+b)＝(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋… ＋(axi+b－E(aX+b))2·pi ＋…＋ (axn+b－E(aX+b))2pn
＝(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi ＋…＋ (axn－aE(X))2pn
＝a 2[ (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi ＋…＋ (xn－E(X))2pn]
D(aX＋b)=a2D(X)
离散型随机变量X的均值与方差的性质:
1. 已知随机变量X的分布列为
求D(X)和σ(2X＋7).
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E(X)和D(X)
离散型随机变量X的分布列为：
D(X)＝(c－c)2×1＝0
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量X的分布列为
解2：随机变量X的分布列为
说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．
求离散型随机变量方差的步骤：
(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值；(2)求出 X 取每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)计算E(X)；(5)计算D(X)．
例2 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高?
分析：如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.
∵E(X)>E(Y) ∴ 投资股票A的期望收益较大
∵D(X)>D(Y)∴ 投资股票A的风险较高
随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释----
（1）如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;
（2）如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;
（3）如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.
1. 离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
3. 求离散型随机变量方差的步骤：
3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
解：直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证.
∵D(X)>D(Y) ∴ X的分布离散程度较大
解:随机变量X的可能取值为6,9,12.则
练习1 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片所标数字之和为X，求E(X)和D(X).
练习2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息:
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
∴如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.