2024八年级数学下册第一章三角形的证明检测题（附答案北师大版）

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第一章检测题(时间：120分钟　　满分：120分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2022·郑州期末)反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC.求证：∠C＜90°，第一步他应先假设( C )成立．A．∠C＜90° B．AB≠ACC．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°2．(2022·绍兴)如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝( C )A．30° B．45° C．60° D．75° eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 3．(福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )A．15° B．30° C．45° D．60°4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，若BC＝3，则AD的长为( C )A． eq \r(3)  B．2 C．2 eq \r(3)  D．45．(雅安中考)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝1，BC＝2，则四边形ABCD的面积是( A )A． eq \f(3\r(3),2)  B．3 C．2 eq \r(3)  D．46．已知三角形三内角之间有∠A＝ eq \f(1,2) ∠B＝ eq \f(1,3) ∠C，它的最长边为10，则此三角形的面积为( D )A．20 B．10 eq \r(3)  C．5 eq \r(3)  D． eq \f(25\r(3),2) 7．(2022·黔西南州)在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于 eq \f(1,2) AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE.则下列结论不一定正确的是( A )A．AB＝AE B．AD＝CDC．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 　　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图)) 　　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 　　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图)) 8．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是( C )A．3 B．4 C．8 D．99．(2022·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是( C )A．4 eq \r(2)  B．6 C．2 eq \r(10)  D．3 eq \r(5) 10．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE.下列四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④BE2＝2(AD2＋AB2).其中结论正确的个数是( C )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题3分，共18分)11．(2022·云南)已知△ABC是等腰三角形．若顶角∠A＝40°，则△ABC的底角的度数是__70°___．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为__4__．13．如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__AC＝DF(答案不唯一)__．(只需写出一个) eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) 　　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图)) 　　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第16题图)) 14．如图，AB＝AC＝8 cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝__4__cm.15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是__ eq \r(5) __.16．(葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3……按此规律进行下去，则△AnAn＋1Cn的面积为( eq \f(3,2) )2n－2× eq \f(\r(3),3) ．(用含正整数n的代数式表示)点拨：由题意得△A1A2C1是等边三角形，边长为 eq \f(2\r(3),3) ，△A2A3C2是等边三角形，边长为 eq \f(3,2) × eq \f(2\r(3),3) ，△A3A4C3是等边三角形，边长为 eq \f(3,2) × eq \f(3,2) × eq \f(2\r(3),3) ＝( eq \f(3,2) )2× eq \f(2\r(3),3) ，△A4A5C4是等边三角形，边长为 eq \f(3,2) × eq \f(3,2) × eq \f(3,2) × eq \f(2\r(3),3) ＝( eq \f(3,2) )3× eq \f(2\r(3),3) ，…，△AnAn＋1Cn的边长为( eq \f(3,2) )n－1× eq \f(2\r(3),3) ，∴△AnAn＋1Cn的面积为 eq \f(\r(3),4) ×[( eq \f(3,2) )n－1× eq \f(2\r(3),3) ]2＝( eq \f(3,2) )2n－2× eq \f(\r(3),3) 三、解答题(共72分)17．(6分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP＝PC－PE，∴BD＝CE18．(7分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.(1)求∠C的度数；(2)若CE＝1，求AB的长．解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°　(2)∵∠C＝90°，∠EAC＝30°，CE＝1，∴AC＝ eq \r(3) ，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2 eq \r(3) 19．(7分)(2022·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：AD＝AE.解：(1)如图，EC即为所求：(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(ASA)，∴AD＝AE20．(7分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：在△ABE和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，)) ∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD(2)连接AF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC21．(7分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：__m＋3n＝120__．解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°，∴3∠ABP＝96°，∴∠ABP＝32°22．(8分)如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)解：(1)过点B作BE⊥AD，垂足为E，∴∠AEB＝90°，又∵∠A＝30°，∴BE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×40＝20(m)(2)在Rt△ABE中，AE＝ eq \r(AB2－BE2) ＝20 eq \r(3) ，∵∠A＋∠ADB＝∠DBC＝75°，∴∠ADB＝75°－∠A＝45°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠ADB＝45°，∴DE＝BE＝20，∴AD＝AE＋DE＝20 eq \r(3) ＋20，∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，∴CD＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) (20 eq \r(3) ＋20)＝(10 eq \r(3) ＋10) m23．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，过点C作CD⊥AB于点D，∠CAB的平分线交CD于点E，交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，CE＝ eq \f(8,3) .(1)求ED的长；(2)求证：CF＝CE.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) AB·CD，∴CD＝ eq \f(AC·BC,AB) ＝ eq \f(8×6,10) ＝ eq \f(24,5) ，∵CE＝ eq \f(8,3) ，∴ED＝CD－CE＝ eq \f(24,5) － eq \f(8,3) ＝ eq \f(32,15) (2)∵FG⊥AB，∴∠BGF＝∠AGF＝∠ACF＝90°，∵AF是∠CAB的平分线，∴GF＝CF，在Rt△AGF和Rt△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GF＝CF，,AF＝AF，)) ∴Rt△AGF≌Rt△ACF(HL)，∴AG＝AC＝8，∴BG＝AB－AG＝10－8＝2，设CF＝x，则GF＝x，BF＝BC－CF＝6－x，在Rt△BGF中，由勾股定理得BF2＝BG2＋GF2，即(6－x)2＝22＋x2，解得x＝ eq \f(8,3) ，∴CF＝ eq \f(8,3) ，∴CF＝CE24．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点．(1)∠BPC的度数是__130°__；(2)请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由；(3)求证：AB＝PC.解：(2)点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：过点P分别作边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，∵PB，PC分别是∠ABC，∠ACB 的角平分线，∴PD＝PE , PE＝PF，∴PD＝PF，∴点P在∠BAC的角平分线上(3)连接AP并延长，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，∵AP，CP分别为∠BAC，∠ACB的平分线，∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，∴∠GPC＝∠PAC＋∠ACP＝60°，∴△PGC为等边三角形，∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，在△ABC和△CGA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠CAG＝40°，,∠ABC＝∠G＝60°，,AC＝CA，)) ∴△ABC≌△CGA(AAS)，∴AB＝CG，又∵PC＝CG，故AB＝PC25. (12分)如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．(1)求证：DE＝BO；(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．①求OC的长及点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．解：(1)∵△ODC和△EBC都是等边三角形，∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°，∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，即∠ECD＝∠BCO，∴△DEC≌△OBC(SAS)，∴DE＝BO(2)①∵△ODC是等边三角形，∴∠OCB＝60°.∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°.设OC＝x，则BC＝2x，在Rt△BOC中，由勾股定理，得x2＋62＝(2x)2，解得x＝2 eq \r(3) ，∴OC＝2 eq \r(3) ，BC＝4 eq \r(3) .∵△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝4 eq \r(3) .又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，∴E(4 eq \r(3) ，6)②若点P在C点左侧，则CP＝CE＝4 eq \r(3) ，OP＝4 eq \r(3) －2 eq \r(3) ＝2 eq \r(3) ，点P的坐标为(－2 eq \r(3) ，0)；若点P在C点右侧，CP＝CE＝4 eq \r(3) ，则OP＝2 eq \r(3) ＋4 eq \r(3) ＝6 eq \r(3) ，点P的坐标为(6 eq \r(3) ，0)，若CP＝EP，∵∠DCO＝60°，∠BCE＝60°，∴∠ECP＝60°，∴△ECP为等边三角形，∴CP＝EP＝CE＝4 eq \r(3) ，则OP＝2 eq \r(3) ＋4 eq \r(3) ＝6 eq \r(3) ，点P的坐标为(6 eq \r(3) ，0)，综上，点P坐标为(－2 eq \r(3) ，0)或(6 eq \r(3) ，0)③不会变化，MH＋MG＝6