人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数同步测试题

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数同步测试题，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．2021年初,某地区甲,乙,丙三位经销商出售钢材的原价相同.受钢材进价普遍上涨的影响,甲,乙计划分两次提价,丙计划一次提价.设,甲第一次提价,第二次提价;乙两次均提价;丙一次性提价.各经销商提价计划实施后,钢材售价由高到低的经销商依次为( )
A.乙,甲,丙B.甲,乙,丙C乙,丙,甲D.丙,甲,乙
2．函数是幂函数,且在上是减函数,则实数m的值为( )
A.2B.C.1D.
3．若有意义,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气,即开窗通风换气.在某室内,空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内,空气中微生物密度变化的平均速度最快的是( )
A.B.C.D.
5．函数的定义域是( )
A.B.
C.且D.且
6．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年,）满足如下的逻辑斯谛（Lgistic）增长模型：,其中e为自然对数的底数,设该树栽下的时刻为0,则该种树木生长至3米高时,大约经过的时间为( )
A.2年B.3年C.4年D.5年
7．青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )()
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
8．设,,,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图,某湖泊的蓝藻的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足,则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C第6个月时,蓝藻面积就会超过
D.若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,则一定有
10．若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为( )
A.B.C.D.
11．已知函数是奇函数,下列选项正确的是( )
A.
B.,且,恒有
C.函数在上的值域为
D.对,恒有成立的充分不必要条件是
12．下列幂函数中满足条件的函数是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点,则___________.
14．已知点在幂函数的图象上,则的表达式是_________．
15．已知幂函数在上为单调减函数,则实数m的值为____________.
16．若、是方程的两个根,则__________.
四、解答题
17．已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值;
（2）判断的单调性并用定义证明.
18．已知幂函数,且在上是增函数.
（1）求的解析式;
（2）若,求实数a的取值范围;
19．设a为实数,给定区间I,对于函数满足性质P:存在,使得成立.记集合具有性质.
（1）设,判断是否成立并说明理由;
（2）设,若,求a的取值范围.
20．已知函数.
(1)求证：函数是R上的减函数;
(2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称,判断函数的图像是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标,若不存在,说明理由;
(3)若对任意,都存在及实数m,使得,求实数n的最大值.
21．某工厂产生的废气,过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为,其中,k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物,请解决下列问题:
（1）10h后还剩百分之几的污染物?
（2）污染物减少50%需要花多少时间(精确到1h)?(参考数据:,)
22．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时,该公司对函数模型的基本要求是：当时,①是增函数;②恒成立;③恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型：①;②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：设提价前价格为1,
则甲提价后的价格为:,
乙提价后价格为:,
丙提价后价格为:,
因,
所以,
所以,即乙>甲>丙.
故选:A
2．答案：A
解析：因函数是幂函数,
故得,
解得或,
又因为函数在上是减函数,
故,
所以,
故选:A.
3．答案：B
解析：由有意义,得,解得,
所以a的取值范围是.
故选:B
4．答案：C
解析：如图分别令、、、、所对应的点为A、B、C、D、E,
由图可知,
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快;
故选：C.
5．答案：D
解析：要使有意义,则应有,
解得且
故选：D.
6．答案：C
解析：由题意可得,令,即,解得：.
故选：C.
7．答案：C
解析：由,当时,,
则.
故选:C.
8．答案：C
解析:,,,
函数是增函数,,,
,且,
又,即,
综上可得,,
故选:C.
9．答案：ACD
解析：由图可知,函数图象经过,
即,则, ;
不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为,A对、B错;
当时,,C对;
若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,
则,,,则,即,则,D对;
故选：ACD．
10．答案：ACD
解析：由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，，
，，，
则c的值可能为，，.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：函数的定义域为R,又是奇函数,所以,故,故A正确;
,由于函数,在R上递增,函数在上递增,
所以函数在R上递增,则,且,恒有,故B正确;
因为在上单调递增,,又,所以函数在上的值域为,故C错误;
若对,恒有成立,则,即整理得的解集为R,
当时,不等式的解集为,不符合题意
当时,要使得解集为R,则有,解得,
综上,对,恒有可得,其成立的充分不必要条件是,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：BD
解析：由题意可知,当时,满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A,函数的图象是一条直线,故当时,;
对于B,函数的图象是凹形曲线,故当时,;
对于C,函数的图象是凸形曲线,故当时,;
对于D,在第一象限,函数的图象是一条凹形曲线,故当时,
,
故选：BD.
13．答案：
解析：由题设,令,且,则,
所以,故.
故答案为:
14．答案：
解析：因为函数幂函数,
所以设,
因为点在幂函数的图像上,
所以,,即
故答案为：．
15．答案：2
解析：由题意为幂函数,在上为单调减函数,
故,则,
故答案为：2.
16．答案：2
解析：、是方程的两个根,,
,,
,
故答案为：2.
17．答案：（1）,
（2）函数在R上为减函数,证明见解析.
解析：（1）因为函数为R上的奇函数,所以,即,
又,即,解得,
所以,.
（2）由（1）可知,函数在R上为减函数,证明如下:
任取,,且,则
,
因为,所以,,,即,
所以,即,
所以函数在R上为减函数.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得,解得或,
当时,,此时在上是减函数,不满足题意;
当时,,此时在上是增函数,满足题意;
所以;
（2）易知的定义域为R,且在R上为增函数,
所以由,得,解得,
所以a的取值范围为.
19．答案：（1）,理由见解析
（2）
解析：（1）,理由如下：
因为,
取,此时,
所以.
（2）因为,,,
所以存在,使得,
所以,
令,
令,
因为,所以,
所以,
所以,则,
所以a的取值范围.
20．答案：(1)证明见解析
(2)存在,
(3)2
解析：（1）设对于任意的实数,,,
则,
因为,,所以,
所以,即
所以函数是R上的减函数
（2）假设函数的图像存在对称中心,
则的图像关于原点中心对称,
由于函数的定义域为R,
所以恒成立,
即恒成立,
所以,解得 ,,
所以函数的图像存在对称中心
（3）因为对任意,都存在及实数m,使得,
所以,即,
所以,即
因为,所以
因为,所以
所以,即
所以,所以,即实数n的最大值为2.
21．答案：（1）81%
（2）33h
解析：（1）由可知,当时,;当时,,于是有,解得,那么.所以,当时,,即10h后还剩下81%的污染物.
（2）当时,有,解得,即污染减少50%大约需要花33h.
22．答案：(1)函数模型：②符合公司要求;
(2)．
解析：(1)对于函数模型：①,验证条件③：当时而即不成立,故不符合公司要求;
对于函数模型：②,当时,条件①是增函数满足;
,满足条件②;
对于条件③：记
则
,当时,
恒成立,即条件③也成立.
故函数模型： ②符合公司要求.
(2) ,函数符合条件①;
由函数符合条件②,得,解得：;
由函数符合条件③,得对恒成立,
即对恒成立.
,当且仅当,即时等号成立,
综上所述,实数a的取值范围．