人教B版 (2019)必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数本节综合与测试综合训练题

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这是一份人教B版 (2019)必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数本节综合与测试综合训练题，共19页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】A，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
集合A={x|y=x(2−x)}，B={y|y=2x,x>0}，则A∩B=( )
A. [0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. (1,+∞)
已知函数y=ax−2+3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y=f(x)的图像上，则 )
A. −2B. −1C. 1D. 2
函数y=xax|x|(0A. B.
C. D.
函数y=xax|x|(0A. B.
C. D.
已知函数f(x)=x−4+9x+1，x∈(0,4).当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=ax+b的图象是( )
A. B.
C. D.
若a>1，−1A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限
若nA. 2mB. 2nC. −2mD. −2n
设a12−a−12=m，则a2+1a等于( )
A. m2−2B. 2−m2C. m2+2D. m2
函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
若2x+2y=1，则x+y的取值范围是( )
A. [0,2]B. [−2,0]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]
不等式2|x−1|<4的解集是( )
A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)
C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)
已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是( )
A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
给出下列结论：
①(−2)26=(−2)13；
②y=x2+1，x∈[−1,2]，y的值域是[2,5]；
③幂函数图象一定不过第四象限：
④函数f(x)=ax+1−2(a>0,a≠1)的图象过定点(−1,−1)．
其中正确的序号是．
函数f(x)=(13)x2−4x−5的单调递减区间是．
若方程有两个不同解，则实数k的取值范围是
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的110，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的13.设太阳光中原来的紫外线的强度为k(k>0)，通过x层普通玻璃后紫外线强度为y，则y与x的之间的函数关系是y= (x∈N *).要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果，至少需要的普通玻璃层数为．
(参考数据：lg3≈0.477)．
计算：
(1)0.1−1×16−34+2590.5÷−82713= ；
(2)若x+x−1=3，则x12+x−12x2+x−2= ．
函数f(x)=ax+1−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点，若该函数在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为2，则实数a= ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
计算：
(1)2140.5−0.752+6−2×827−23；
(2)0.25−12−−2×201902×(−2)3−23+102−3−1−10×30.5；
(3)7+4312−8118+3235−2×18−23+32×4−13−1．
已知函数f(x)=12x−2x．
(1)证明函数f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；
(2)当m>0时，解关于x的不等式f(mx2−m2x)+f(m−x)>f(0)．
已知函数f(x)=lg3(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)若函数y=f(x)−x+a没有零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数h(x)=3f(x)+x−m⋅3x−1，x∈[0,lg35]的最大值为0，求实数m的值．
已知2x2+x⩽(14)x−2，求函数y=2x2+2x+2的值域．
设函数f(x)=a⋅2x−2−x(a∈R)．
(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)=f(x)+32的零点x0；
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2−x在x∈[0,1]的最大值为−2，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查集合交集的运算，考查函数的定义域和值域，是基础题．
先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】
解：∵集合A={x|y=x(2−x)}={x|0≤x≤2}．
B={y|y=2x,x>0}={y|y>1}，
∴A∩B=(1,2]．
故选：B．

2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查指数函数图像与性质，幂函数的解析式，属于中档题．
利用指数函数的性质求得点P，代入幂函数求得其解析式，然后求．
【解答】
解：∵函数y=ax−2+3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，
∴当x=2时，y=1+3=4，即P(2,4)，
设f(x)=xα，代入点P，2α=4，则α=2，∴f(x)=x2，
．
故选A ．

3.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．
分x>0与x<0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．
【解答】
解：当x>0时，|x|=x，此时y=ax(0当x<0时，|x|=−x，此时y=−ax(0则函数y=xax|x|(0，
故选：D．

4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分段函数及指数函数的图象和性质，属于基础题．
先将函数写成分段函数的形式，然后利用指数函数的性质求解．
【解答】
解：因为f(x)=xax|x|=ax,x>0−ax,x<0,(0由指数函数的性质知：在(0,+∞)函数单调递减，在(−∞,0)单调递增，
观察四个图象只有D符合．
故选D.

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用，属于中档题．
先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求．
【解答】
解：∵x∈(0,4)，
∴x+1>1，
∴f(x)=x−4+9x+1=(x+1)+9x+1−5
⩾2(x+1)×9x+1−5=1，
当且仅当x=2时取等号，此时函数有最小值1，
∴a=2，b=1，
此时g(x)=2|x+1|=2x+1,x≥−1(12)x+1,x<−1，
此函数可以看成函数y=2x,x≥0(12)x,x<0的图象向左平移1个单位，
结合指数函数的图象及选项可知A正确，
故选A．

6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数的图象的应用及函数的平移，需掌握指数函数的图象以及平移法则，属于基础题．
首先根据a>1，确定y=ax的图象经过的象限，然后由−1【解答】
解：由a>1可得函数y=ax的图象单调递增，且过第一、二象限，
由−1故选A．

7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查根式的化简，属于基础题．
将被开方数化为完全平方式，根据完全平方式可将原式变形为m+n2−m−n2，再根据二次根式的性质以及m，n，0之间的大小关系进行化简即可求解．
【解答】
解：原式=m+n2−m−n2=m+n−m−n，
因为n0，
所以原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．
故选C．

8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了分数指数幂的运算法则，属于中档题．
利用完全平方公式解题即可．
【解答】
解：由已知平方得a12−a−122=a+1a−2=m2，
所以a2+1a=a+1a=m2+2，
故选C．

9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．
【解答】
解：函数的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移1a个单位得到的，
当时，函数y=ax−1a在R上是增函数，且图象过点(−1,0)，故排除A，B；
当时，函数y=ax−1a在R上是减函数，且图象过点(−1,0)，故排除C．
故选D．

10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式可得2x+y≤14，利用指数函数的单调性可得x+y≤−2．
【解答】
解：∵2x>0,2y>0,
∴1=2x+2y⩾2×2x·2y=2×2x+y，
变形为2x+y≤14，即x+y≤−2，当且仅当x=y=−1时取等号．
则x+y的取值范围是(−∞,−2]．
故选：D．

11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式、绝对值不等式的求解，属于基础题．
根据题意得出x−1<2，等价于−2【解答】
解：因为2x−1<4=22，
所以x−1<2，等价于−2解得−1所以不等式2|x−1|<4的解集是−1,3．
故选A．

12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的解法，指数函数的图象和性质，属于中档题．
不等式即2x>x+1.由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．
【解答】
解：不等式f(x)>0，即2x>x+1．
由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示：
不等式f(x)>0的解集是(−∞,0)∪(1,+∞)，
故选：D．

13.【答案】③④
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查分数指数幂，二次函数、幂函数的性质，函数过定点，属于简单题．
由题意，①可根据指数的运算判断；
②可由二次函数的性质判断；
③由幂函数的性质判断；
④由指数函数的性质判断．
【解答】
解：①(−2)26=(−2)13不正确，因为等号左边是正数，右边是负数；
②∵y=x2+1，x∈[−1,2]，
∴y在x=0时取到最小值1，故函数的值域不是[2,5]，
此结论错误；
③幂函数图象一定不过第四象限，由幂函数的性质知，此结论正确：
④对于函数f(x)=ax+1−2(a>0,a≠1)，
令x+1=0解得x=−1，此时函数f(x)的值是−1，
故函数的图象过定点(−1,−1)，此结论正确．
综上得，③④结论正确．
故答案为：③④．

14.【答案】(2,+∞)
【解析】
【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，属于基础题．
利用复合函数的单调性求解，先将函数转化为两个基本函数t=x2−4x−5，y=(13)t，由同增异减的结论求解．
【解答】
解：令t=x2−4x−5，
∴t=x2−4x−5在(2,+∞)上是增函数，(−∞,2)上是减函数，
又∵y=(13)t是减函数，
根据复合函数的单调性可知：
函数f(x)=(13)x2−4x−5的单调递减区间为(2,+∞)，
故答案为：(2,+∞)．

15.【答案】(0,1)
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数的图象，考查了学生的作图能力及图象的变换的应用，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
作函数y=|3x−1|的图象，结合图象解得．
【解答】
解：作函数y=|3x−1|的图象如下，
结合图象可知，实数k的取值范围是(0,1)．
故答案为(0,1)．

16.【答案】k·0.9x
11
【解析】
【分析】
本题考查函数模型应用，考查对数运算，考查运算求解能力，属于拔高题．
通过1块后强度为：0.9k，通过2块后强度为：k×(0.9)2，……，由此规律可得过x层普通玻璃后紫外线强度为y=k⋅0.9x；由题意得k⋅0.9x≤k3(k>0)，化得0.9x⩽13，求解即可．
【解答】
解：由题意通过1块后强度为：0.9k，
通过2块后强度为：k×(0.9)×(0.9)=k×(0.9)2，
…
∴经过x块后强度为：k×(0.9)x；
由题意得k⋅0.9x≤k3(k>0)，化得0.9x⩽13，
两边同时取常用对数，可得xlg0.9⩽lg13，
因为lg0.9<0，所以x⩾lg13lg0.9=−lg32lg3−1≈−0.477−0.046≈10.37，
则至少通过11块普通玻璃，
故答案为k·0.9x；11．

17.【答案】−54
57
【解析】
【分析】
本题考查了指数幂的化简求值，意在考查学生的计算能力．
①直接计算得到答案．
②根据x+x−1=3解得x12+x−12=5和x2+x−2=7，代入计算得到答案．
【解答】
解：①0.1−1×16−34+2590.5÷−82713=10×18+53÷−23=−54；
②x+x−1=3，易知x>0，则(x12+x−12)2=x+x−1+2=5,∴x12+x−12=5，
x2+x−2=x+x−12−2=7，故x12+x−12x2+x−2=57．

18.【答案】(−1,0)
2
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了指数函数的单调性，是中档题．
令x+1=0即可求出函数f(x)过的定点坐标，根据函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值在区间端点处取得，得到|f(0)−f(1)|=2，从而求出a的值．
【解答】
解：∵f(x)=ax+1−1，
∴令x+1=0得：x=−1，此时y=1−1=0，
∴函数f(x)的图象恒过定点(−1,0)，
∵函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为2，
∴|f(0)−f(1)|=2，
∴|(a−1)−(a2−1)|=2，
整理得|a2−a|=2，
∴a2−a=−2或a2−a=2，
解得a=2或−1，
又∵a>0且a≠1，
∴a=2．
故答案为：(−1,0)；2．

19.【答案】解：(1)2140.5−0.752+6−2×827−23
=32212−342+136×233−23
=32−342+136×23−2
=32−916+136×94
=1．
(2)0.25−12−−2×201902×(−2)3−23+102−3−1−10×30.5
=(0.5)2−12−(−2×1)2×(−2)−2+10×12−3−10×312
=2−4×14+10(2+3)−103
=2−1+20+103−103
=21．
(3)(7+43)12−8118+3235−2×18−23+32×4−13−1
=(2+3)212−3418+2535−2×2−3−23+213×2213
=2+3−3+8−8+2
=4．
【解析】本题主要考查分数指数幂的定义与计算，根式的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
(1)利用指数的运算法则计算所给的式子的值即可；
(2)利用指数的运算法则计算所给的式子的值即可；
(3)利用指数的运算法则计算所给的式子的值即可．
20.【答案】(1)证明：函数f(x)=12x−2x的定义域为R，
任取x1由x12x1，即2x2−2x1>0，1+12x1+x2>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(−∞,+∞)上为减函数．
(2)解：f(−x)=12−x−2−x=2x−12x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，且f(0)=0，
所以不等式f(mx2−m2x)+f(m−x)>f(0)，
即为f(mx2−m2x)>−f(m−x)=f(x−m)，
因为f(x)为减函数，所以mx2−m2x当0当m=1时，不等式的解集为⌀；
当m>1时，不等式的解集为(1m,m)．
【解析】(1)利用函数的单调性的定义即可证明单调性；
(2)判断函数的奇偶性，利用函数的单调性与奇偶性将不等式转化为(mx−1)(x−m)<0，再对m分类讨论，即可求得不等式的解集．
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质求解不等式，属于较难题．
21.【答案】解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，
即lg3(9−x+1)−kx=lg3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立，
∴2kx=lg3(9−x+1)−lg3(9x+1)=lg39−x+19x+1=lg33−2x=−2x，
∴k=−1．
(2)函数y=f(x)−x−a没有零点，即方程lg3(9x+1)−2x=a无实数根．
令g(x)=lg3(9x+1)−2x，则函数y=g(x)的图象与直线y=a无交点，
∵g(x)=lg3(9x+1)−2x=lg3(9x+1)−lg39x
=lg39x+19x=lg3(1+19x)，
又1+19x>1，∴g(x)=lg3(1+19x)>0，
∴a的取值范围是(−∞,0]．
(3)由题意h(x)=9x+m⋅3x，x∈[0,lg35]，
令t=3x∈[1,5]，φ(t)=t2+mt，t∈[1,5]，
①当−m2≤3，即m≥−6时，φ(t)max=φ(5)=25+5m=0，m=−5；
②当−m2>3，即m<−6时，φ(t)max=φ(1)=1+m=0，解得m=−1(舍去)．
综上可知，实数m=−5．
【解析】(1)利用偶数数的定义f(−x)=f(x)，即可求出实数k的值；
(2)令f(x)−x−a≠0，得a≠f(x)−x，构造函数g(x)=f(x)−x，将问题转化为直线y=a与函数y=g(x)的图象没有交点，从而求出实数a的取值范围；
(3)化简可得h(x)=9x+m⋅3x，x∈[0,lg35]，运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最大值，再由最大值为0求解m值．
本题考查函数奇偶性的性质及应用，考查函数零点的判定及二次函数最值的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由2x2+x⩽(14)x−2=2−2x+4，得x2+x≤4−2x，
解得−4≤x≤1，
则(x+1)2−1∈[−1,8]，
函数y=2x2+2x+2=2(x+1)2−1+2∈[2−1+2,28+2]，
即y∈[52,258]，
所以值域为[52,258]．
【解析】本题考查函数的值域，考查利用指数函数的单调性解不等式，解题的关键是函数单调性的确定．
利用指数函数的单调性解不等式可得x的范围，再分析复合函数y=2x2+2x+2的值域，即可得结果．
23.【答案】解：(1)∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(x)为奇函数，
∴f(−x)+f(x)=0，
∴a⋅2−x−2x+a⋅2x−2−x=0，
即(a−1)⋅(2−x+2x)=0，
∴a=1．
令g(x)=2x−2−x+32=0，
则2⋅(2x)2+3⋅(2x)−2=0，
∴(2x+2)⋅(2×2x−1)=0，又2x>0，
∴2×2x−1=0即x=−1，
∴函数g(x)的零点为x0=−1．
(2)h(x)=a⋅2x−2−x+4x+2−x，x∈[0,1]，
令2x=t∈[1,2]，H(t)=t2+at，t∈[1,2]，
对称轴t0=−a2，
①当−a2≤32，即a≥−3时，H(t)max=H(2)=4+2a=−2，∴a=−3；
②当−a2>32，即a<−3时，H(t)max=H(1)=1+a=−2，∴a=−3(舍)；
综上：实数a的值为−3．
【解析】本题考查指数函数，函数的最值，换元法以及二次函数的性质的应用．
(1)通过f(−x)+f(x)=0，求出a=1，得到函数的解析式，利用解析式为0，求解函数的零点即可;
(2)利用换元法通过2x=t∈[1,2]，H(t)=t2+at，t∈[1,2]，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．