初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形一课一练

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形一课一练，文件包含苏科版八年级数学上册同步精品讲义第04讲微专题一全等三角形的公共边公共角边边角及X模型教师版docx、苏科版八年级数学上册同步精品讲义第04讲微专题一全等三角形的公共边公共角边边角及X模型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

全等三角形中，公共边模型是指在证明两个三角形全等时，有一条边是公共边，其常见类型为：
①利用三角形的高线，作为公共边（如图）
如图在∆ABC中，AD⊥BC，我们可以得到∠ADB=∠ADC,AD=AD(公共边)，此时如果要证∆ADB≅∆ADC，已经有了一组角和一组边对应相等，如果此时BD=DC，可以利用SAS，证明三角形全等；如果此时∠B=∠C，则可用AAS，证明三角形全等。
②利用三角形的中线，作为公共边（如图）
如图在∆ABC中，BD=CD，在∆ADB和∆ADC中我们可以得到BD=CD,AD=AD(公共边)，此时如果要证∆ADB≅∆ADC，已经有了两组边对应相等，如果此时AB=AC，可以利用SSS，证明三角形全等；如果此时∠ADB=∠ADC，则可用SAS，证明三角形全等。
③利用三角形的角平分线，作为公共边（如图）
如图在∆ABC中，∠BAD=∠CAD，在∆ADB和∆ADC中我们可以得到∠BAD=∠CAD,AD=AD(公共边)，此时如果要证∆ADB≅∆ADC，已经有了一组角和一组边对应相等，如果此时AB=AC，可以利用SAS，证明三角形全等；如果此时∠ADB=∠ADC，则可用ASA，证明三角形全等。
【典例1】如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可．
【详解】证明：是的平分线，
，
由三角形的外角性质得，，
，
，
∴，
，
，
．
模型二：公共角模型
全等三角形中，公共角模型是指在证明两个三角形全等时，有一个角是公共角，其常见类型为：
如图在∆ABC中，AB=AC，在∆ADE中，AD=AE，∠BAC=∠DAE,∠3=∠3，可以得到：∠1=∠DAE-∠3，∠2=∠BAC−∠3⇒∠1=∠2，此时我们可以得到：∆ADB≅∆AEC。
【典例2】在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．
【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立
【分析】（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；
（2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可；
（3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°．
【详解】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠4=∠5，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠4=∠6=45°，
∴∠5=45°，
∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°，
即BC⊥CE；
（2）成立.理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=135°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，
即BC⊥CE；
（3）成立
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．
模型三：边边角模型
全等三角形中，边边角模型是指在证明两个三角形全等时，有一组角相等和一组对应边相等（通常为角平分线），其常见类型为：
如图AD平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD，AD=AD，只需AB=AC即可得到∆ADB≅∆ADC。
【典例3】如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．
【答案】见解析
【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．
试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．
模型四：X模型
全等三角形中，X模型是指在证明两个三角形全等时，有一组顶角互为对顶角的两个三角形，（其常见类型为：
如图在∆ABC和∆ADE中，∠BAC=∠DAE，要证∆ABC≅∆ADE，我只需知道BC//DE和一组对应边相等即可。
【典例4】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【答案】见详解
【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DE，
∵，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴∆EMD≅∆CME，
∴．
1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=，
∴∠EBC=∠DCA，
在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【答案】C
【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可．
【详解】∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP＝∠EBP
BP＝BP
∠APB＝∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
故答案选：C．
3．如图，已知是的中线，是上的一点，交于，，，，则__________．
【答案】100°
【分析】延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，
∵BF=AC，
∴BF=BM，
∴∠M=∠BFM=24°，
∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°，
∵∠EBC=32°，
∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°，
∴∠C=∠DBM=100°，
故答案为：100°．
4．已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【答案】见解析.
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．
【详解】证明：如图，
延长交的延长线于，
平分
5．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【详解】证明： （1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AFE＝∠DCE， ∠AEF＝∠DEC ，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由： ∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
6．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
【答案】见解析
【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,
根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C．
由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°．
【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,
,
∴△ABD≌△EBD（SAS）,
∴AD=ED,∠A=∠BED．
∵AD=CD,
∴ED=CD,
∴∠DEC=∠C．
∵∠BED+∠DEC=180°,
∴∠A+∠C=180°．
7．在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6
【分析】（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，证明△CQD≌△CPB，即可得到答案；
（2）延长ED，让MD=ED，△AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案；
（3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，通过证明△CFK≌△HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，求得FK=GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=，从求得到∠GCH=，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案．
【详解】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图：
∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD
∴CQ=CP
在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC=
∴∠QAP+∠PCQ=
又∵∠DAB+∠DCB＝180°
∴∠PCQ=∠DCB
∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB
∴∠QCD=∠PCB
又∵∠CQD=∠CPB=
∴△CQD≌△CPB（ASA）
∴CD=CB
（2）延长ED，让MD=ED，如下图：
∵∠ADB＝90°
∴AD⊥ME
又∵MD=ED
∴AM=AE，ME=2DE
又∵AE=2DE
∴ME=AE=AM
∴△AME是等边三角形
∴
又∵∠ADE＝90°
∴
∵AC平分∠DAB
∴
又∵
∴
（3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图：
∵在中，
∴∠HCB=
又∵折叠
∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB=
∴∠HCF=
∴△CHF是等边三角形
∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF
又∵在中，∠CGF=，∠GKF=
∴∠GFK=
∴∠CFH=∠GFK
∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL
∴∠CFK=∠HFL
又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF
∴△CFK≌△HFL
∴FK=FL
又∵在中，∠CGF=
∴FK=GF
∴FL=GF
∴GL=FL
又∵HL⊥GF
∴HG=HF
∴∠FGH=∠GFH
又∵∠CHF=，∠CHB=
∴∠FHB=∠CHB-∠CHF=
∴∠FGH=
∴∠CGH=∠CGF+∠FGH=
又∵∠CHG=
∴∠GCH=
∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形
又∵
∴
∴
在中，由勾股定理得：
∵CG＞0
∴CG=6
8．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析.
【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．
在Rt△OCD中，OD=OC•cs30°OC，
同理：OEOC，
∴OD+OEOC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得：OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC．
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG．
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OEOC；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ODOC，理由如下：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得：OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC．
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG．
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣ODOC．
9．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．
（1）证明：AHB≌AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．
【分析】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，
∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG=∠AEH=45°，
∴∠HFG=45°+45°=90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ=QG时，
∵AQ=QG，
∴∠QAG=∠AGQ，
∵AG⊥AH且AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH=45°，
∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，
∴∠EAH=∠FAH=45°，
∵AE=AF，AH=AH，
∴△AEH≌△AFH（SAS），
∴∠AHE=∠AHF，
∵∠AHE+∠AHF=180°，
∴∠AHE=∠AHF=90°；
ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，
∵∠AEH=∠AGQ=45°，
∴∠GAQ=∠AQG==67.5°，
∵∠EAQ=∠HAG=90°，
∴∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠AHE=∠AQG=67.5°；
∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），
∴不存在AG=AQ的情况．
综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．
10．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；
(2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4.
【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；
（2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论；
②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可．
【详解】(1)解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：
延长DF交AB于H，连接AF，
∵∠EDC=∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠FED，
∵F是BE中点，
∴BF=EF，
又∠BFH=∠DFE，
∴△DEF≌△HBF，
∴BH=DE，HF=FD，
∵DE=CD，AB=AC，
∴BH=CD，AH=AD，
∴△ADH为等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
又HF=FD，
∴AF⊥DH，
∴∠FAD=∠ADF=45°，
即△ADF为等腰直角三角形，
∴AD=DF;
(2)解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：
过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示，
则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD，
∵F是BE中点，
∴BF=EF，
∴△DEF≌△HBF，
∴BH=DE，HF=FD，
∵DE=CD，
∴BH=CD，
延长ED交BC于M，
∵BH∥EM，∠EDC=90°，
∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°，
又∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠HBA+∠DCB=45°，
∵∠ACD+∠DCB=45°，
∴∠HBA=∠ACD，
∴△ACD≌△ABH，
∴AD=AH，∠BAH=∠CAD，
∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°，
即∠HAD=90°，
∴∠ADH=45°，
∵HF=DF，
∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形，
∴AD=DF．
②由①知，S△ADF=DF2=AD2，
由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2，
当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4，
∴1≤S△ADF≤4．
11．△ABC、△DPC都是等边三角形．
(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
【详解】(1)证明：如图1中，
∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠BCD=∠ACP，
在△BCD和△ACP中，
，
∴△BCD≌△ACP（SAS），
∴BD=AP；
(2)证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．
∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°，
在△AMP和△CMK中，
，
∴△AMP≌△CMK（SAS），
∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，
同法可证△BCD≌△ACP，
∴BD=PA=CK，
∵PB=2PM，
∴PB=PK，
∵PD=PC，
∴△PDB≌△PCK（SSS），
∴∠PBD=∠K=90°，
∴PB⊥BD．
②解：结论：PC=2PA．
∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB=∠CPK，
设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，
∵∠APC=∠CDB，
∴90°+x=60°+90°-x，
∴x=30°，
∴∠DPB=30°，
∵∠PBD=90°，
∴PD=2BD，
∵PC=PD，BD=PA，
∴PC=2PA．