初中数学2.3 数轴导学案

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知识精讲
知识点01 数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
【微点拨】
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
【即学即练1】1．如图，数轴上表示2、的对应点分别记为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先结合数轴利用已知条件求出线段CB的长度，然后根据中点的性质即可求出点A表示的数．
【详解】
解：数轴上表示2，的对应点分别为、，
，
点是的中点，
，
点表示的数为．
故选：C.
知识点02 数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
【微点拨】
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
【即学即练2】2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据数轴的概念的三要素进行判断．
【详解】
A选项：没有原点，故不正确；
B选项：单位长度不一样，故不正确；
C选项：没有正方向，故不正确；
D选项：符合数轴三要素，正确的画法．
故选：D．
知识点03 数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
【微点拨】
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
【即学即练3】3．如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（ ）
A．2B．4C．πD．2π
【答案】C
【分析】
圆向前滚动了一个圆周长的距离，据此求解即可．
【详解】
解：圆周长为π，所以点A表示的数是π，
故选：C．
能力拓展
考法01 用数轴上的点表示有理数
1、指出数轴上已知点表示的有理数，是由“形”到“数”的思维过程。体现了数学中数形结合的思想.
2、该题关键是根据数轴的定义，正确画出数轴，并在数轴上用点表示相应的有理数，是“数”到“形”的思维过程.结合本题可以总结出比较有理数大小的规律：数轴上右边的点表示的有理数总比左边的点表示的有理数大.
【典例1】如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】
解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3
故选：C
考法02 实数与数轴
实数在数轴上的表示法：整数、分数、特殊无理数
整数在数轴上的表示方法简单直观。下面以和为例研究分数和特殊无理数在数轴上的表示方法。如下图：作出标准数轴，然后将0到1之间的单位长度平均分成5份，从左到右的第二个分点C，则点C即表示数。
C
1
0
┴┴┴┴┴┴┴┴┴─→
那么如何在数轴上表示出呢？如右图所示
l
在数轴上找出点A,使OA=3;
作直线l使OA⊥l，在l上取一点B,使AB=2;
以原点O为圆心，OB为半径作弧，在数轴上交于点C,则C即表示。
特别注意的是，无理数在数轴上有唯一对应的点，到目前为止我们还不能用尺规作图准确地表示出来。
【典例2】如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理，可得圆的半径，根据圆的性质，可得答案．
【详解】
如图，在Rt△BCD中，由勾股定理，得：BD，由圆的性质，得：AD＝BD，1﹣a，∴a＝1=．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．数轴上两点分别表示实数和，则两点间的距离是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】
直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可．
【详解】
解：∵两点A，B分别表示实数和，
∴两点间的距离==1，
故选：B．
2．下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②有理数分为整数和分数；③不带根号的数一定是有理数，正确的结论为（ ）
A．①B．②C．③D．①②
【答案】B
【分析】
根据实数与数轴的关系，有理数、无理数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：①实数和数轴上的点一一对应，故错误；
②有理数分为整数和分数，故正确；
③不带根号的数不一定是有理数，如π，故错误；
故选：B．
3．在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据数轴的特点，可知在原点左侧距离原点三个单位长度的点是，从而可以解答本题．
【详解】
解：在原点左侧与原点距离3个单位长度的点所表示的数为，
故选：．
4．如图，a与b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a＝bD．a＝2b
【答案】B
【分析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：由数轴可知，b＜0＜a，
即a＞b，
故选：B．
5．数轴上表示和2的两点之间的距离是（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】
由数轴上两点之间的距离定义，即可求出答案．
【详解】
解：数轴上表示和2的两点之间的距离是7；
故选：C．
6．把数轴上表示4的点移动2个单位后表示的数为（ ）
A．3B．2C．3或5D．2或6
【答案】D
【分析】
根据数轴上的点左移即在原数上减，右移即在原数上加计算即可．
【详解】
解：两种情况，即：4＋2＝6或4﹣2＝2，
故选：D．
7．在数轴上与表示数0的点距离5个单位长度的点表示的数是（ ）．
A．5B．－5C．－5或5D．0
【答案】C
【分析】
分为两种情况：当点在表示0的点的左边时，当点在表示0的点的右边时．
【详解】
当点在表示0的点的左边时，此时数为：－5，
当点在表示0的点的右边时，此时数为：＋5，
故选：C．
题组B 能力提升练
1．设实数a，b，c，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据ac＜0可知，a，c异号，再根据a＞b＞c，以及，即可确定a，−b，c在数轴上的位置，而|x−a|＋|x＋b|＋|x−c|表示x到a，−b，c三点的距离的和，根据数轴即可确定．
【详解】
解：∵ac＜0，
∴a，c异号，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
又∵，
∴b＞0，
∴ a＞b＞0＞c＞-b
又∵|x−a|＋|x＋b|＋|x−c|表示x到a，−b，c三点的距离的和，
当x在c时，|x−a|＋|x＋b|＋|x−c|最小，
最小值是a与−b之间的距离，即a+b
故选：C．
2．如图，数轴上有三个点A、B、C，且A、B表示的数互为相反数，若每个单位长度表示1，则点C表示的数为（ ）
A．不能确定B．-2C．2D．0
【答案】B
【分析】
首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
【详解】
解：∵点A、B表示的数互为相反数，
∴原点在线段AB的中点处，
∴点C对应的数是-2．
故选：B．
3．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，点，，表示的有理数为，，（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数的点为（ ）．
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【分析】
根据已知，bc＜0，可知b，c异号；得，且，再由b+c＞0，得b是正数，c是负数，且，据此可以找到有理数，，对应的点．
【详解】
解：∵bc＜0，
∴b，c异号；
∵，b+c＞0
∴，且，则b是正数，c是负数，且
∴所以M表示c， P表示其中的b，N表示其中的a．
故选：A．
4．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②B．①④
C．②③D．③④
【答案】A
【分析】
先由数轴可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，再判定即可．
【详解】
解：由图可得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，
∴ab＜0，a-b＜a+b，
∴正确的有：①②；
故选：A．
5．已知实数在数轴上的对应点如图所示，计算：___________．
【答案】
【分析】
由数轴上点的位置，可得a＜0＜ ，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【详解】
由题可知a＜0＜，
∵a- ＜0，2-a＞0，
∴
= -a-2+a
=
故答案为：．
6．等边ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，点B对应的数是__．
【答案】2020
【分析】
先确定AB＝AC＝BC＝1，翻转1次后，点B所对应的数为1；翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，由于2020＝1+673×3，从而可判断△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3．
【详解】
解：∵点A、C对应的数分别为0和﹣1，
∴AC＝1，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝1，
∵△ABC绕顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转3次后，点B所对应的数为3，翻转4次后，点B所对应的数为1+3×1；翻转7次后，点B所对应的数为1+3×2，
而2020＝1+673×3，
∴△ABC连续翻转2020次后，点B对应的数为1+673×3＝2020．
故答案为2020．
7．数轴上A点表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到A的距离相等，若B表示的数是，则点C表示的数是 ____________．
【答案】
【分析】
根据数轴上两点的中点求法，即两数和的一半，直接求出即可．
【详解】
解：设点C所表示的数为c，
则，
解得：
故答案为：
题组C 培优拔尖练
1．在数轴上，点M、N分别表示数m，n． 则点M，N 之间的距离为|m-n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a-c|=|b-c|=|d-a|=1 (a≠b)，则线段BD的长度为（ ）
A．3.5B．0.5C．3.5或0.5D．4.5或0.5
【答案】D
【分析】
运用两点之间的距离公式，画出数轴解答即可．
【详解】
解：∵|a﹣c|=|b﹣c|=1，
∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1，
∵|d﹣a|=1，
∴|d﹣a|=2.5，
∴点D与点A之间的距离为2.5，
如图：
线段BD的长度为DA+AC+CB=2.5+1+1=4.5
如图：线段BD的长度为DA -AB=2.5-1-1=0.5
故答案为D．
2．一动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进5个单位，后退3个单位的程序运动，已知每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴的位置所对应的数，如，则为（ ）
A．504B．505C．506D．507
【答案】D
【分析】
先解出点P每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．
【详解】
解：依题意得，点P每8秒完成一组前进和后退，
前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；
9∼16对应的数是3、4、5、6、7、6、5、4；
∵2019=8×252+3，
故=252×2+3=507．
故选：D．
3．如图，点、表示的数分别是、，点在0和1对应的两点（不包括这两点）之间移动，点在-3，-2对应的两点之间移动，下列四个代数式的值可能比2019大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据数轴得出，，求出，，再分别求出每个式子的范围，根据式子的范围即可得出答案.
【详解】
A.因为，，
所以，，
所以的值可能比2019大，故本选项正确；
B.由题意得：，所以，故本选项错误；
C.因为，，
所以
所以，故本选项错误；
D.因为
所以
所以
故本选项错误；
故选A
4．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】
机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2．
【详解】
解：依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；
根据此规律即可推导判断：①和②，显然正确；
③中， 108÷5=21……3，故x108=21+3=24，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，24＞22，故错误；
④中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=÷5=403……4，故x2019=403+2=405，故正确．
故选D．
5．电子跳蚤游戏盘如图为，，，，如果电子跳蚤开始时在BC边的点，，第一步跳蚤从跳到AC边上点，且；第二步跳蚤从跳到AB边上点，且；第三步跳蚤从跳回到BC边上点，且；跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与之间的距离为
A．0B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】
根据题意可以求出前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规律，本题得以解决．
【详解】
由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

点在AB上，且，
，
点在AB上，且，
，
与之间的距离为2，
故选B．
6．如图，在数轴上，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，若以下三个式子：，，都成立，则原点在
A．点A的左侧B．点A和点B之间C．点B和点C之间D．点C的左侧
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴可以得到a、b、c的关系，然后根据题目中的条件，可以得到点原点在什么位置，本题得以解决．
【详解】
解：由数轴可得，
a＜b＜c，|b-a|＜|c-b|，
∵a+c＜0，
∴c＞0，a＜0且|a|＞|c|，
∵|b|＜|c|，a+b＜0，
∴b＜0，
∴原点位于点B和点C之间，
故选C．
7．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．c+b＞a+bB．cb＜abC．﹣c+a＞﹣b+aD．ac＞ab
【答案】C
【分析】
结合数轴中a，b，c的位置，判断其正负性和绝对值的大小，以此判断各选项的对错．
【详解】
由数轴上各点的位置判断：c＜b＜0＜a，|b|＜|a|＜|c|，
A．c+b＜0，a+b＞0，所以c+b＜a+b，故该选项错误；
B．c，b同号，所以cb＞0，同理，ab＜0，所以cb＞ab，故该选项错误；
C．﹣c＞0，﹣b＞0，a＞0，因为|c|＞|b|，所以﹣c＞﹣b，不等式两边同时加a，不等号方向不变，故该选项正确；
D．c＜b，所以不等式两边同时乘以正数a，不等号的方向不变，故该选项错误．
故选C．
课程标准
课标解读
1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；
2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法；
3．能利用数轴比较有理数的大小．
1，从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念。
2，通过数轴概念的学习，初步体会数形结合的数学思想。