还剩44页未读，
继续阅读
所属成套资源：苏科版七年级数学上册同步精讲精练(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
初中数学苏科版（2024）七年级上册2.3 数轴练习题
展开
这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册2.3 数轴练习题，共47页。试卷主要包含了3 数 轴，357894…，32，2，14C．227D．π2，5cm对应数轴上的数为，6，2，314%．，5，据此求解．等内容，欢迎下载使用。
知识点一
有理数
◆1、有理数的概念： 我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
所有的整数都可以表示为分母为1的分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是
有理数．
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
知识点二
有理数的分类
①按有理数的定理分类：
有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按有理数的性质符合分类：
有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
知识点三
无理数
◆1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
◆2、常见的无理数的几种类型：
一般的无限不循环小数：如0.357894…
（2）看似有规律的循环实际上是无限不循环小数，如0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）．
（3）与圆周率π有关的式子，如 π2 ；
知识点四
数轴
◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
◆2、画数轴的步骤：
（1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点；
（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向；
（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···.
◆3、画数轴的注意事项：
(1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2) 直线一般是水平的；
(3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
知识点五
数轴上的点与数的关系
1、有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度．
知识点六
利用数轴比较数的大小
1.在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
2.正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．
题型一 有理数概念的辨析
【例题1】（2023•沙坪坝区校级开学）下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.5B．﹣2C．3πD．12
【变式1-1】（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（ ）
A．−12B．227C．π2D．80%
【变式1-2】（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【变式1-3】（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅，其中有理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-4】（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+116，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是 ．
【变式1-5】（2023春•闵行区期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个有理数中非负数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
题型二 有理数的分类
【例题2】（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（ ）个．
﹣1，2.5，+43，0，﹣π，120，﹣1.732，−27
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2022秋•卢龙县期中）在有理数﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非负整数有 个．
【变式2-2】（2022秋•隆回县期末）在−13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．5
【变式2-3】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-4】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，−72，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【变式2-5】（2022秋•沈丘县期末）把下列各数填入它所属的集合内：
15，−19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3，π，80%，5．
（1）分数集合{ …}；
（2）自然数集合{ …}；
（3）非正整数集合{ …}；
（4）非负有理数集合{ …}；
题型三 无理数的概念
【例题3】（2023春•肇源县期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．3.14C．227D．π2
【变式3-1】（2023•湖北二模）在实数﹣1，0，0.5，3.14159…中，无理数是（ ）
A．﹣1B．0C．0.5D．3.14159…
【变式3-2】（2022秋•禅城区期末）下列各数中是无理数的是（ ）
A．2πB．0.33333.
C．0D．﹣0.1010010001
【变式3-3】（2023春•新罗区期中）在3.14159…，101999，0，π，中，这5个数中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3-4】（2022秋•阜宁县期中）下列各数：3.14，721，0.010010001，π2，0.317⋅．其中是无理数的为 ．
【变式3-5】在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这些数中，无理数有 个．
题型四 数轴的定义
【例题4】下列各图中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】下列图形中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
题型五 数轴上的点与数的关系
【例题5】如图示，数轴上点A所表示的数为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．以上均不对
【变式5-1】﹣3在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在﹣4表示的点的左边
B．在﹣2表示的点和原点之间
C．由1表示的点向左平移4个单位长度得到
D．和原点的距离是﹣3
【变式5-2】（2023•白城模拟）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5B．﹣0.5C．﹣1.5D．﹣2.5
【变式5-3】下列说法正确的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上所有的点都表示有理数
C．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3
D．数轴上表示﹣a的点一定在原点左边
【变式5-4】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【变式5-5】与原点距离为5.5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 .
【变式5-6】在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
【变式5-7】画一条数轴，并画出表示下列各数的点：
0，﹣114，﹣2.1，+0.25，134．
题型六 利用数轴求两点之间的距离
【例题6】在数轴上表示数﹣2和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．2019B．2021C．2022D．2023
【变式6-1】在数轴上表示5的点与表示﹣4的点之间的距离是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣4
【变式6-2】如图，点A表示﹣4，点D表示﹣5．
（1）在数轴上标出原点O；
（2）指出点B所表示的数；
（3）若C，B两点到原点的距离相等，且C，B两点在原点的两侧，则点C表示什么数？
【变式6-3】如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
A： ；B： ；C： ．
（2）A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
【变式6-4】点A、B在数轴上的位置如图所示．
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ；
（2）若点C在数轴上，且点B与点C的距离是3，求点A与点C的距离．
题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数
念
【例题7】（2022秋•甘肃期末）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1B．5C．1或﹣5D．1或5
【变式7-1】数轴上+5表示的点位于原点 边距原点 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示 ，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是 ．
【变式7-2】（2023•上城区二模）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1cm），刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．﹣2.5B．﹣3.5C．﹣6D．﹣6.5
【变式7-3】点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，A、C两点间的距离是2，A、B两点到原点的距离相等．若点C所表示的数为﹣3，则点B所表示的数为（ ）
A．4B．5C．6D．3
【变式7-4】（2022秋•定陶区期末）在数轴上与表示﹣2的点距离等于3的点所表示的数是（ ）
A．1B．﹣1或5C．﹣5D．﹣5或1
【变式7-5】画出数轴，并解答下列问题：
（1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣212，﹣1；
（2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数．
题型八 利用数轴比较数的大小
【例题8】（2023•朔州模拟）在−113，﹣5，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．−113B．﹣5C．0D．1
【变式8-1】（2023•晋安区校级模拟）四个数﹣1，0，1，13中最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．13
【变式8-2】如图，点A在数轴上对应的数为a，则（ ）
A．a＜﹣a＜﹣1B．﹣a＜a＜﹣1C．﹣a＜﹣1＜aD．﹣1＜﹣a＜a
【变式8-3】（2022秋•冷水滩区月考）请在数轴上表示下列有理数，并用“＞”连接下列各数：
2.5，−32，﹣3，0，﹣0.5．
【变式8-4】（2023春•松北区校级月考）在数轴上表示下列各数：3，0，12，﹣2.5，﹣4．并将它们按从小到大的顺序用“＜”排列起来．
【变式8-5】（2022秋•枣阳市期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．
（2）在数轴上表示下列各数：0，−413，﹣2，72．
（3）把（1）（2）中的六个有理数用“＜”号连接起来．
题型九 利用数轴解决实际问题
念
【例题9】（2022秋•安乡县期末）数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 ．
【变式9-1】（2023春•崇川区校级月考）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 .
【变式9-2】（2023春•荔城区校级期中）如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（ ）
A．0.5+π或0.5﹣πB．1+2π或1﹣2π
C．1+π或1﹣πD．2+π或2﹣π
【变式9-3】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km，到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向南为正方向，用1cm示1km，画出数轴并表示出A，B，C三个村庄的位置．
（2）C村离A村有 km
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【变式9-4】（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
题型十 与数轴相关的探究题
际问题
念
【例题10】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有 个．
【变式10-1】（2023•花都区一模）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（ ）
A．2015B．2014C．2015或2014D．2015或2016
【变式10-2】已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，…，移动第2022次到达点B，则点B在点A的（ ）
A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米
C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米
【变式10-3】定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB．
（1）某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数；
（2）若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数．
【变式10-4】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第7次和第2020次落下时，落点处离原点的距离分别是 个单位．
【变式10-5】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（ ）
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》
2.3 数 轴
知识点一
有理数
◆1、有理数的概念： 我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
所有的整数都可以表示为分母为1的分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是
有理数．
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
知识点二
有理数的分类
①按有理数的定理分类：
有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按有理数的性质符合分类：
有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
知识点三
无理数
◆1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
◆2、常见的无理数的几种类型：
一般的无限不循环小数：如0.357894…
（2）看似有规律的循环实际上是无限不循环小数，如0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）．
（3）与圆周率π有关的式子，如 π2 ；
知识点四
数轴
◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
◆2、画数轴的步骤：
（1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点；
（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向；
（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···.
◆3、画数轴的注意事项：
(1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2) 直线一般是水平的；
(3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
知识点五
数轴上的点与数的关系
1、有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度．
知识点六
利用数轴比较数的大小
1.在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
2.正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．
题型一 有理数概念的辨析
【例题1】（2023•沙坪坝区校级开学）下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.5B．﹣2C．3πD．12
【分析】根据有限小数或无限循环小数是有理数，无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、1.5是有理数，故A不符合题意；
B、﹣2是有理数，故B不符合题意；
C、3π是无理数，故C符合题意；
D、12是有理数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无理数是无限不循环小数．
【变式1-1】（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（ ）
A．−12B．227C．π2D．80%
【分析】根据无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数，也不是分数，进而判断得出答案．
【解答】解：A．−12是分数，故此选项不合题意；
B．227是分数，故此选项不合题意；
C．π2是无理数，不是分数，故此选项符合题意；
D．80%是分数，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数，正确掌握分数的定义是解题关键．
【变式1-2】（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【分析】根据负整数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是正整数，故选项不合题意；
B、2.5为正分数，故选项不合题意；
C、﹣2为负整数，故选项正确；
D、﹣2.5为负分数，故选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的相关概念及其分类方法，然后就可以熟练进行判断，难度适中．
【变式1-3】（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅，其中有理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．
【解答】解：−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅，其中有理数为：−74，1.010010001，833，0，0.1⋅2⋅，共5个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．
【变式1-4】（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+116，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是 ．
【分析】根据小于零的有理数是负有理数，可得答案．
【解答】解：负有理数是﹣1，﹣0.3，﹣2.7．
故答案为：﹣1，﹣0.3，﹣2.7．
【点评】本题考查了有理数，掌握小于零的有理数是负有理数是关键．
【变式1-5】（2023春•闵行区期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个有理数中非负数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为513，0，7.6，2，314%．
【解答】解：在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个数中，
非负数为513，0，7.6，2，314%，有5个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数：整数与分数统称有理数．
题型二 有理数的分类
【例题2】（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（ ）个．
﹣1，2.5，+43，0，﹣π，120，﹣1.732，−27
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案．
【解答】解：负有理数有﹣1、﹣1.732、−27，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．
【变式2-1】（2022秋•卢龙县期中）在有理数﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非负整数有 个．
【分析】0和正整数即为非负整数，据此即可得出答案．
【解答】解：有理数﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非负整数为0，1，
则非负整数共2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式2-2】（2022秋•隆回县期末）在−13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵227，0.12，14是正有理数，共3个；
0，14是非负整数，共2个；
−13，227，0.12，﹣1.5是分数，共4个，
∴m＝3，n＝2，k＝4，
∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．
【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；
②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；
③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；
④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．
【变式2-4】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，−72，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【分析】根据负有理数，分数，以及非负数的定义判断即可得到结果．
【解答】解：负有理数集合：﹣50%，﹣3，−72，﹣3.14，﹣92；
分数集合：﹣50%，0.628，−72，﹣3.14，5.9；
非负数集合：0.628，0，5.9．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类法是解本题的关键．
【变式2-5】（2022秋•沈丘县期末）把下列各数填入它所属的集合内：
15，−19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3，π，80%，5．
（1）分数集合{ …}；
（2）自然数集合{ …}；
（3）非正整数集合{ …}；
（4）非负有理数集合{ …}；
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【解答】解：15，−19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3，π，80%，5．
（1）分数集合{−19，215，﹣5.32，2.3，80%…}；
故答案为：−19，215，﹣5.32，2.3，80%；
（2）自然数集合{15，0，5…}；
故答案为：15，0，5；
（3）非正整数集合{﹣5，0…}；
故答案为：﹣5，0；
（4）非负有理数集合{15，215，0，2.3，80%，5…}．
故答案为：15，215，0，2.3，80%，5．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数，掌握相关定义是解答本题的关键．
题型三 无理数的概念
【例题3】（2023春•肇源县期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．3.14C．227D．π2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数是π2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【变式3-1】（2023•湖北二模）在实数﹣1，0，0.5，3.14159…中，无理数是（ ）
A．﹣1B．0C．0.5D．3.14159…
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【解答】解：A．﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．3.14159…是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键．
【变式3-2】（2022秋•禅城区期末）下列各数中是无理数的是（ ）
A．2πB．0.33333.
C．0D．﹣0.1010010001
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可．
【解答】解：A、2π是无理数，则此项符合题意；
B、0.33333.是无限循环小数，属于有理数，则此项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，则此项不符合题意；
D、﹣0.1010010001是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了无理数，熟记无理数的定义是解题关键．
【变式3-3】（2023春•新罗区期中）在3.14159…，101999，0，π，中，这5个数中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数数是无限不循环小数，根据定义判断即可．
【解答】解：在3.14159…，101999，0，π，中，3.14159…和π是无理数．
故选：A．
【点评】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
【变式3-4】（2022秋•阜宁县期中）下列各数：3.14，721，0.010010001，π2，0.317⋅．其中是无理数的为 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：在实数3.14，721，0.010010001，π2，0.317⋅中，无理数为π2．
故答案为：π2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式3-5】在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这些数中，无理数有 个．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这些数中，
无理数有π4，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这2个数，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
题型四 数轴的定义
【例题4】下列各图中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向，可得答案．
【解答】解：A、原点、单位长度、正方向都符合条件，故A正确；
B、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故B错误；
C、没有正方向，故C错误；
D、正方向标错，应该是向右为正方向，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，注意数轴的三要素：原点、单位长度、正方向．
【变式4-1】下列图形中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，根据数轴的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、左边的数比右边的数大，故本选项不符合题意；
B、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意；
C、没有原点，不是数轴，故本选项不符合题意；
D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【变式4-2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可．
【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，
图（1）没有原点，故（1）不正确；
图（2）满足数轴的定义，故（2）正确；
图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误；
图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴的画法，明确数轴的三要素，并数形结合进行识别，是解题的关键．
题型五 数轴上的点与数的关系
【例题5】如图示，数轴上点A所表示的数为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．以上均不对
【分析】根据点A在数轴上位置即可判断．
【解答】解：由图可得：
数轴上点A所表示的数为：﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，找准点A在数轴上位置是解题的关键．
【变式5-1】﹣3在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在﹣4表示的点的左边
B．在﹣2表示的点和原点之间
C．由1表示的点向左平移4个单位长度得到
D．和原点的距离是﹣3
【分析】比较﹣3和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．
【解答】解：A、﹣3＞﹣4，则﹣3在﹣4的右边，故A选项错误；
B、﹣3＜﹣2＜0，则﹣3在﹣2的左边，故B选项错误；
C、点1向左平移4个单位得到﹣3，故C选项正确；
D、﹣3和原点的距离是3，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了利用数轴表示有理数的大小，理解数轴上右边的数总是大于左边的数是解题的关键．
【变式5-2】（2023•白城模拟）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5B．﹣0.5C．﹣1.5D．﹣2.5
【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可．
【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，
则表示的数可能是﹣0.5．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
【变式5-3】下列说法正确的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上所有的点都表示有理数
C．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3
D．数轴上表示﹣a的点一定在原点左边
【分析】根据有理数都能用数轴表示可判断A项正确，根据实数与数轴一一对应可得出B项错误，根据绝对值得几何意义可判断C项错误，根据﹣a在a＜0时，也可以表示正数可得D项错误．
【解答】解：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故A项符合题意，
数轴不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，故B项不符合题意，
数轴上距离原点2个单位长度的点所表示的数为3或﹣3，故C项不符合题意，
当a＜0时，﹣a＞0，此时﹣a在原点右边，故D项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查数轴与点的关系，灵活判断，适当的给出反例是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【分析】计算出圆的周长即可知道点O′所表示的数，而圆的周长＝π×直径．
【解答】解：圆的周长＝π×1＝π，
所以O′对应的数是π，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是求出圆的周长．
【变式5-5】与原点距离为5.5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 .
【分析】根据数轴的知道，与原点距离为5.5个单位长度的点在数轴上有左右两边各有一个，所以有两个点，它们分别是+5.5和﹣5.5．．
【解答】解：由分析知：与原点距离为5.5个单位长度的点有2个，
它们分别表示有理数+5.5和﹣5.5．
故答案为2；+5.5；﹣5.5．
【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是把数和点对应起来．
【变式5-6】在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
【分析】根据数轴即可得到各点表示的数．
【解答】解：A、B、C、D、E各点分别表示﹣3，﹣1.5，0，0.5，3．
【点评】本题考查了数轴，体现了数形结合的数学思想，掌握数轴上的点所表示的数是解题的关键．
【变式5-7】画一条数轴，并画出表示下列各数的点：
0，﹣114，﹣2.1，+0.25，134．
【分析】根据数轴上的点表示有理数的方法，画数轴标出各有理数对应的位置即可．
【解答】解：
【点评】此题考查了用数轴表示有理数的能力，关键是能将有理数在数轴准确位置表示出来，非常直观，体现了数形结合的优点．
题型六 利用数轴求两点之间的距离
【例题6】在数轴上表示数﹣2和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．2019B．2021C．2022D．2023
【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为2个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2023．
【解答】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是2个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为2+2021=2023，
故选：D．
【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．
【变式6-1】在数轴上表示5的点与表示﹣4的点之间的距离是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣4
【分析】由数轴上表示数5和﹣4的点到原点的距离分别为5个单位长度和4个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为9．
【解答】解：点A在原点的右侧，到原点的距离是5个单位长度，点B在原点的左侧，到原点的距离是4个单位长度，B两点之间的距离为5+4=9，
故选：A．
【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．
【变式6-2】如图，点A表示﹣4，点D表示﹣5．
（1）在数轴上标出原点O；
（2）指出点B所表示的数；
（3）若C，B两点到原点的距离相等，且C，B两点在原点的两侧，则点C表示什么数？
【分析】点B与原点相距3个单位长度，且在原点的右边，表示正数．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）点B所表示的数为3；
（3）点C表示的数为﹣3．
【点评】本题考查数轴的定义，掌握数轴的特征是解题关键．
【变式6-3】如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
A： ；B： ；C： ．
（2）A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
【分析】（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数；
（2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答；
（3）由于AC＝10，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可．
【解答】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是﹣6、1、4，
故答案为﹣6、1、4；
（2）根据图示知AB的距离是7；AC的距离是10，
故答案为：7；10；
（3）∵A、C的距离是10，
∴点B到点A和点C的距离都是5，
此时将点B向左移动2个单位即可．
【点评】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键．
【变式6-4】点A、B在数轴上的位置如图所示．
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ；
（2）若点C在数轴上，且点B与点C的距离是3，求点A与点C的距离．
【分析】（1）根据图形可求出点B和点A表示的数；
（2）根据题意可分为两种情况：点C在点B的左边和点C在点B的右边．
【解答】解：（1）由数轴可知，点A表示﹣4，点B表示﹣1，
故答案为：﹣4，﹣1；
（2）①当点C在点B的左边时，
∵点B与点C的距离为3，
∴点C表示的数是﹣4，此时点A与点C的距离是0；
②当点C在点B的右边时，
∵点B与点C的距离为3，
∴点C表示的数是2，此时点A与点C的距离是6；
综上，点A与点C的距离是0或6．
【点评】本题主要考查数轴上表示数的两点间的距离，根据题意分析解决．
题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数
念
【例题7】（2022秋•甘肃期末）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1B．5C．1或﹣5D．1或5
【分析】在数轴上表示出P点，找到与点P距离3个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点﹣2的左侧或右侧．
【解答】解：如图：
根据数轴可以得到在数轴上与点P距离3个长度单位的点所表示的数是：﹣5或1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
【变式7-1】数轴上+5表示的点位于原点 边距原点 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示 ，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是 ．
【分析】根据数轴的特点及距离的定义解答即可．
【解答】解：数轴上+5表示的点位于原点 右边距原点 5个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示﹣4，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是+6．
故答案为：右，5，﹣4，+6．
【点评】本题考查了数轴的知识，比较简单，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边的数都大于0，左边的数都小于0；（2）数轴上各点到原点的距离是这个数的绝对值．
【变式7-2】（2023•上城区二模）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1cm），刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．﹣2.5B．﹣3.5C．﹣6D．﹣6.5
【分析】利用两点间的距离，求得刻度尺上5.5cm的点到原点的距离即可．
【解答】解：∵刻度尺上的0cm对应数轴上的3，
∴刻度尺上6.5cm对应的数到3的距离也是6.5cm，
∴到原点的距离是6.5﹣3＝3.5（cm），
∵在原点左侧，
∴对应的数是﹣3.5．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴上的点，解题的关键是计算出点到原点的距离．
【变式7-3】点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，A、C两点间的距离是2，A、B两点到原点的距离相等．若点C所表示的数为﹣3，则点B所表示的数为（ ）
A．4B．5C．6D．3
【分析】根据C表示的数是﹣3和AC＝2可得点A表示的数是﹣5，再根据A、B两点到原点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵C表示的数是﹣3，AC＝2，
∴点A表示的数是﹣5，
∵A、B两点到原点的距离相等，
∴点B所表示的数为5，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和两点的距离，熟练掌握数轴上两点的距离是关键．
【变式7-4】（2022秋•定陶区期末）在数轴上与表示﹣2的点距离等于3的点所表示的数是（ ）
A．1B．﹣1或5C．﹣5D．﹣5或1
【分析】根据题意分该点在﹣2的左侧以及右侧两种情况进一步求解即可．
【解答】解：当该点在﹣2左侧时，该点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5；
当该点在﹣2右侧时，该点表示的数为：﹣2+3＝1；
综上所述，该点表示的数为﹣5或1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数轴，熟练掌握相关概念是解题关键．
【变式7-5】画出数轴，并解答下列问题：
（1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣212，﹣1；
（2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数．
【分析】（1）画出数轴，在数轴上表示各数即可求解；
（2）先在数轴上标出表示﹣1的点A，再写出将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示：将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5．
【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确在数轴上表示各数的点的位置．
题型八 利用数轴比较数的大小
【例题8】（2023•朔州模拟）在−113，﹣5，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．−113B．﹣5C．0D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣5＜−113＜0＜1，
∴在−113，﹣5，0，1这四个数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【变式8-1】（2023•晋安区校级模拟）四个数﹣1，0，1，13中最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．13
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；
【解答】解：∵1＞13＞0＞﹣1，
∴四个数﹣1，0，1，13中最大的数是1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；
【变式8-2】如图，点A在数轴上对应的数为a，则（ ）
A．a＜﹣a＜﹣1B．﹣a＜a＜﹣1C．﹣a＜﹣1＜aD．﹣1＜﹣a＜a
【分析】直接利用数轴得出a的取值范围，进而比较大小即可．
【解答】解：如图所示：a＞0，a＞1，
则﹣a＜﹣1，
故﹣a＜﹣1＜a．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确利用数轴是解题关键．
【变式8-3】（2022秋•冷水滩区月考）请在数轴上表示下列有理数，并用“＞”连接下列各数：
2.5，−32，﹣3，0，﹣0.5．
【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可．
【解答】解：如图所示：
故2.5＞0＞﹣0.5＞−32＞−3．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
【变式8-4】（2023春•松北区校级月考）在数轴上表示下列各数：3，0，12，﹣2.5，﹣4．并将它们按从小到大的顺序用“＜”排列起来．
【分析】将各数在数轴上表示出来，然后根据数轴右边的数大于左边的数进行大小排列即可．
【解答】解：将各数在数轴上表示如图所示：
那么﹣4＜﹣2.5＜0＜12＜3．
【点评】本题考查实数与数轴，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式8-5】（2022秋•枣阳市期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．
（2）在数轴上表示下列各数：0，−413，﹣2，72．
（3）把（1）（2）中的六个有理数用“＜”号连接起来．
【分析】（1）根据数轴即可得到答案；
（2）在数轴上表示出各数即可得到答案；
（3）根据数轴上右边的数大于左边的数，即可得到答案．
【解答】解：（1）根据数轴可知，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是1，
故答案为：﹣4，1；
（2）在数轴上表示各数如下所示：
（3）各数大小关系排列如下：−413＜−4＜−2＜0＜1＜72．
【点评】本题考查了数轴，解题关键是熟练掌握用数轴表示有理数，熟记数轴上右边的数大于左边的数．
题型九 利用数轴解决实际问题
念
【例题9】（2022秋•安乡县期末）数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 ．
【分析】根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，据此可得．
【解答】解：根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，即A所表示的数为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上的点表示的数是解本题的关键．
【变式9-1】（2023春•崇川区校级月考）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 .
【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算．
【解答】解：∵圆的周长为2πr＝2π，
∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π．
故答案为：﹣2π．
【点评】本题考查数轴的概念，圆周长公式，关键是掌握数轴的三要素．
【变式9-2】（2023春•荔城区校级期中）如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（ ）
A．0.5+π或0.5﹣πB．1+2π或1﹣2π
C．1+π或1﹣πD．2+π或2﹣π
【分析】根据半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长为π，分两种情况，即可得答案．
【解答】解：由半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，
故滚动一周后A点与1之间的距离是π，
故当A点在1的左边时表示的数是1﹣π，
当A点在1的右边时表示的数是1+π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
【变式9-3】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km，到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向南为正方向，用1cm示1km，画出数轴并表示出A，B，C三个村庄的位置．
（2）C村离A村有 km
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【分析】（1）在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置即可；
（2）根据题意列出算式3﹣（﹣3），求出即可；
（3）根据题意得出算式3+2+8+3，求出即可．
【解答】解：（1）A，B，C三个村庄的位置如图，
（2）∵3+3＝6km，
∴C村到A村有6km；
故答案为：6；
（3）∵3+2+8+3＝16（km），
答：邮递员一共骑行了16km．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴和有理数的计算的应用，关键是能根据题意列出算式．
【变式9-4】（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得；
（2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则：
①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解．
【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴对称中心是原点，
∴﹣2表示的点与2表示的点重合，
（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，
∴对称中心是1表示的点，
∴5表示的点与数﹣3表示的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5，
∵对称点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5，
故答案为：2；﹣3．
【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键．
题型十 与数轴相关的探究题
际问题
念
【例题10】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有 个．
【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是11个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是10个．
【解答】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖10+1＝11个数；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数．
故答案为：11或10．
【点评】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画，但要注意画时，找个短线段即可．
【变式10-1】（2023•花都区一模）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（ ）
A．2015B．2014C．2015或2014D．2015或2016
【分析】根据数轴与实数的对应关系，分线段AB起点在整数点与不在整数点两种情况讨论．
【解答】解：依题意可知，
当线段AB起点在整数点时，能覆盖2016个数；
当线段AB起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖2015个数，
故选：D．
【点评】本题考查数轴与实数的对应关系，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式10-2】已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，…，移动第2022次到达点B，则点B在点A的（ ）
A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米
C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米
【分析】根据题意可知两次都是向右移动1厘米，再由2022÷2=1011，即可求解．
【解答】解：∵第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，
∴这两次向右移动1厘米，
∵第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，
∴这两次向右移动1厘米，
∴两次都是向右移动1厘米，
∵2022÷2=1011，
∴点B在点A的右侧1011厘米，
故选：D．
【点评】本题考查数字的变化规律，根据点的运动情况，探索出点A的运动规律是两次都是向右移动1厘米是解题的关键．
【变式10-3】定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB．
（1）某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数；
（2）若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数．
【分析】（1）以线段AB的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论．
（2）先用AB÷2，得出AB相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵数轴的单位长度是1cm，AB＝2020cm，
∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点．
∴线段AB共盖住了2021个整点．
若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点．
综上，线段AB盖住的整点的个数为2021或2020个．
（2）AB÷2＝1010（个单位），
∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点．
∴线段AB共盖住了1011个整点．
若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点．
综上，线段AB盖住的整点的个数为1011或1010个．
【点评】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论．
【变式10-4】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第7次和第2020次落下时，落点处离原点的距离分别是 个单位．
【分析】根据题意可以直接写出前几次落点在数轴上对应的数据，从而可以发现变化的规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
第1次落点在数轴上对应的数是1，
第2次落点在数轴上对应的数是-1，
第3次落点在数轴上对应的数是2，
第4次落点在数轴上对应的数是-2，
则它跳第7次落点在数轴上对应的数是4，
2020÷2=1010，
则第2020次落点在数轴上对应的数是-1010，
即当它跳第7次和第2020次落下时，落点处离原点的距离分别是4个单位长度、1010个单位长度，
故答案为：4，1010．
【点评】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
【变式10-5】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（ ）
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
【分析】根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解．
【解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列：
A.2020÷3=673…1，所以此时点A正好落在数轴上；
B.2021÷3=673…2，所以此时点B正好落在数轴上；
C.2022÷3=674，所以此时点C正好落在数轴上；
D.2023÷3=674…1，所以此时点A正好落在数轴上．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴，找规律，找到圆的滚动规律是解题的关键．
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
解题技巧提炼
无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．
解题技巧提炼
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.
解题技巧提炼
1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
解题技巧提炼
求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解.
解题技巧提炼
1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况.
2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度.
解题技巧提炼
比较数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小．
解题技巧提炼
数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系.
解题技巧提炼
根据线段的端点与数轴上的整数点是否重合分情况讨论,求较大范围内的整数点个数时，可类比较小范围内的情况.
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
解题技巧提炼
无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．
解题技巧提炼
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.
解题技巧提炼
1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
解题技巧提炼
求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解.
解题技巧提炼
1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况.
2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度.
解题技巧提炼
比较数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小．
解题技巧提炼
数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系.
解题技巧提炼
根据线段的端点与数轴上的整数点是否重合分情况讨论,求较大范围内的整数点个数时，可类比较小范围内的情况.
知识点一
有理数
◆1、有理数的概念： 我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
所有的整数都可以表示为分母为1的分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是
有理数．
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
知识点二
有理数的分类
①按有理数的定理分类：
有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按有理数的性质符合分类：
有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
知识点三
无理数
◆1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
◆2、常见的无理数的几种类型：
一般的无限不循环小数：如0.357894…
（2）看似有规律的循环实际上是无限不循环小数，如0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）．
（3）与圆周率π有关的式子，如 π2 ；
知识点四
数轴
◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
◆2、画数轴的步骤：
（1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点；
（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向；
（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···.
◆3、画数轴的注意事项：
(1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2) 直线一般是水平的；
(3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
知识点五
数轴上的点与数的关系
1、有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度．
知识点六
利用数轴比较数的大小
1.在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
2.正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．
题型一 有理数概念的辨析
【例题1】（2023•沙坪坝区校级开学）下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.5B．﹣2C．3πD．12
【变式1-1】（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（ ）
A．−12B．227C．π2D．80%
【变式1-2】（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【变式1-3】（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅，其中有理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-4】（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+116，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是 ．
【变式1-5】（2023春•闵行区期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个有理数中非负数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
题型二 有理数的分类
【例题2】（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（ ）个．
﹣1，2.5，+43，0，﹣π，120，﹣1.732，−27
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2022秋•卢龙县期中）在有理数﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非负整数有 个．
【变式2-2】（2022秋•隆回县期末）在−13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．5
【变式2-3】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-4】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，−72，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【变式2-5】（2022秋•沈丘县期末）把下列各数填入它所属的集合内：
15，−19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3，π，80%，5．
（1）分数集合{ …}；
（2）自然数集合{ …}；
（3）非正整数集合{ …}；
（4）非负有理数集合{ …}；
题型三 无理数的概念
【例题3】（2023春•肇源县期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．3.14C．227D．π2
【变式3-1】（2023•湖北二模）在实数﹣1，0，0.5，3.14159…中，无理数是（ ）
A．﹣1B．0C．0.5D．3.14159…
【变式3-2】（2022秋•禅城区期末）下列各数中是无理数的是（ ）
A．2πB．0.33333.
C．0D．﹣0.1010010001
【变式3-3】（2023春•新罗区期中）在3.14159…，101999，0，π，中，这5个数中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3-4】（2022秋•阜宁县期中）下列各数：3.14，721，0.010010001，π2，0.317⋅．其中是无理数的为 ．
【变式3-5】在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这些数中，无理数有 个．
题型四 数轴的定义
【例题4】下列各图中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】下列图形中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
题型五 数轴上的点与数的关系
【例题5】如图示，数轴上点A所表示的数为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．以上均不对
【变式5-1】﹣3在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在﹣4表示的点的左边
B．在﹣2表示的点和原点之间
C．由1表示的点向左平移4个单位长度得到
D．和原点的距离是﹣3
【变式5-2】（2023•白城模拟）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5B．﹣0.5C．﹣1.5D．﹣2.5
【变式5-3】下列说法正确的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上所有的点都表示有理数
C．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3
D．数轴上表示﹣a的点一定在原点左边
【变式5-4】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【变式5-5】与原点距离为5.5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 .
【变式5-6】在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
【变式5-7】画一条数轴，并画出表示下列各数的点：
0，﹣114，﹣2.1，+0.25，134．
题型六 利用数轴求两点之间的距离
【例题6】在数轴上表示数﹣2和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．2019B．2021C．2022D．2023
【变式6-1】在数轴上表示5的点与表示﹣4的点之间的距离是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣4
【变式6-2】如图，点A表示﹣4，点D表示﹣5．
（1）在数轴上标出原点O；
（2）指出点B所表示的数；
（3）若C，B两点到原点的距离相等，且C，B两点在原点的两侧，则点C表示什么数？
【变式6-3】如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
A： ；B： ；C： ．
（2）A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
【变式6-4】点A、B在数轴上的位置如图所示．
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ；
（2）若点C在数轴上，且点B与点C的距离是3，求点A与点C的距离．
题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数
念
【例题7】（2022秋•甘肃期末）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1B．5C．1或﹣5D．1或5
【变式7-1】数轴上+5表示的点位于原点 边距原点 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示 ，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是 ．
【变式7-2】（2023•上城区二模）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1cm），刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．﹣2.5B．﹣3.5C．﹣6D．﹣6.5
【变式7-3】点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，A、C两点间的距离是2，A、B两点到原点的距离相等．若点C所表示的数为﹣3，则点B所表示的数为（ ）
A．4B．5C．6D．3
【变式7-4】（2022秋•定陶区期末）在数轴上与表示﹣2的点距离等于3的点所表示的数是（ ）
A．1B．﹣1或5C．﹣5D．﹣5或1
【变式7-5】画出数轴，并解答下列问题：
（1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣212，﹣1；
（2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数．
题型八 利用数轴比较数的大小
【例题8】（2023•朔州模拟）在−113，﹣5，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．−113B．﹣5C．0D．1
【变式8-1】（2023•晋安区校级模拟）四个数﹣1，0，1，13中最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．13
【变式8-2】如图，点A在数轴上对应的数为a，则（ ）
A．a＜﹣a＜﹣1B．﹣a＜a＜﹣1C．﹣a＜﹣1＜aD．﹣1＜﹣a＜a
【变式8-3】（2022秋•冷水滩区月考）请在数轴上表示下列有理数，并用“＞”连接下列各数：
2.5，−32，﹣3，0，﹣0.5．
【变式8-4】（2023春•松北区校级月考）在数轴上表示下列各数：3，0，12，﹣2.5，﹣4．并将它们按从小到大的顺序用“＜”排列起来．
【变式8-5】（2022秋•枣阳市期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．
（2）在数轴上表示下列各数：0，−413，﹣2，72．
（3）把（1）（2）中的六个有理数用“＜”号连接起来．
题型九 利用数轴解决实际问题
念
【例题9】（2022秋•安乡县期末）数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 ．
【变式9-1】（2023春•崇川区校级月考）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 .
【变式9-2】（2023春•荔城区校级期中）如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（ ）
A．0.5+π或0.5﹣πB．1+2π或1﹣2π
C．1+π或1﹣πD．2+π或2﹣π
【变式9-3】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km，到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向南为正方向，用1cm示1km，画出数轴并表示出A，B，C三个村庄的位置．
（2）C村离A村有 km
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【变式9-4】（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
题型十 与数轴相关的探究题
际问题
念
【例题10】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有 个．
【变式10-1】（2023•花都区一模）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（ ）
A．2015B．2014C．2015或2014D．2015或2016
【变式10-2】已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，…，移动第2022次到达点B，则点B在点A的（ ）
A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米
C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米
【变式10-3】定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB．
（1）某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数；
（2）若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数．
【变式10-4】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第7次和第2020次落下时，落点处离原点的距离分别是 个单位．
【变式10-5】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（ ）
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》
2.3 数 轴
知识点一
有理数
◆1、有理数的概念： 我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
所有的整数都可以表示为分母为1的分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是
有理数．
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
知识点二
有理数的分类
①按有理数的定理分类：
有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按有理数的性质符合分类：
有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
知识点三
无理数
◆1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
◆2、常见的无理数的几种类型：
一般的无限不循环小数：如0.357894…
（2）看似有规律的循环实际上是无限不循环小数，如0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）．
（3）与圆周率π有关的式子，如 π2 ；
知识点四
数轴
◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.
◆2、画数轴的步骤：
（1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点；
（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向；
（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···.
◆3、画数轴的注意事项：
(1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2) 直线一般是水平的；
(3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
知识点五
数轴上的点与数的关系
1、有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度．
知识点六
利用数轴比较数的大小
1.在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
2.正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．
题型一 有理数概念的辨析
【例题1】（2023•沙坪坝区校级开学）下列各数不是有理数的是（ ）
A．1.5B．﹣2C．3πD．12
【分析】根据有限小数或无限循环小数是有理数，无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、1.5是有理数，故A不符合题意；
B、﹣2是有理数，故B不符合题意；
C、3π是无理数，故C符合题意；
D、12是有理数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无理数是无限不循环小数．
【变式1-1】（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（ ）
A．−12B．227C．π2D．80%
【分析】根据无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数，也不是分数，进而判断得出答案．
【解答】解：A．−12是分数，故此选项不合题意；
B．227是分数，故此选项不合题意；
C．π2是无理数，不是分数，故此选项符合题意；
D．80%是分数，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数，正确掌握分数的定义是解题关键．
【变式1-2】（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2B．2.5C．﹣2D．﹣2.5
【分析】根据负整数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是正整数，故选项不合题意；
B、2.5为正分数，故选项不合题意；
C、﹣2为负整数，故选项正确；
D、﹣2.5为负分数，故选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的相关概念及其分类方法，然后就可以熟练进行判断，难度适中．
【变式1-3】（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅，其中有理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．
【解答】解：−74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1⋅2⋅，其中有理数为：−74，1.010010001，833，0，0.1⋅2⋅，共5个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．
【变式1-4】（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+116，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是 ．
【分析】根据小于零的有理数是负有理数，可得答案．
【解答】解：负有理数是﹣1，﹣0.3，﹣2.7．
故答案为：﹣1，﹣0.3，﹣2.7．
【点评】本题考查了有理数，掌握小于零的有理数是负有理数是关键．
【变式1-5】（2023春•闵行区期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个有理数中非负数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为513，0，7.6，2，314%．
【解答】解：在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，−35，314%．这八个数中，
非负数为513，0，7.6，2，314%，有5个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数：整数与分数统称有理数．
题型二 有理数的分类
【例题2】（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（ ）个．
﹣1，2.5，+43，0，﹣π，120，﹣1.732，−27
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案．
【解答】解：负有理数有﹣1、﹣1.732、−27，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．
【变式2-1】（2022秋•卢龙县期中）在有理数﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非负整数有 个．
【分析】0和正整数即为非负整数，据此即可得出答案．
【解答】解：有理数﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非负整数为0，1，
则非负整数共2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式2-2】（2022秋•隆回县期末）在−13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．
【解答】解：∵227，0.12，14是正有理数，共3个；
0，14是非负整数，共2个；
−13，227，0.12，﹣1.5是分数，共4个，
∴m＝3，n＝2，k＝4，
∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．
【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；
②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；
③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；
④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．
【变式2-4】把下列各数填在相应的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，−72，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【分析】根据负有理数，分数，以及非负数的定义判断即可得到结果．
【解答】解：负有理数集合：﹣50%，﹣3，−72，﹣3.14，﹣92；
分数集合：﹣50%，0.628，−72，﹣3.14，5.9；
非负数集合：0.628，0，5.9．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类法是解本题的关键．
【变式2-5】（2022秋•沈丘县期末）把下列各数填入它所属的集合内：
15，−19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3，π，80%，5．
（1）分数集合{ …}；
（2）自然数集合{ …}；
（3）非正整数集合{ …}；
（4）非负有理数集合{ …}；
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【解答】解：15，−19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3，π，80%，5．
（1）分数集合{−19，215，﹣5.32，2.3，80%…}；
故答案为：−19，215，﹣5.32，2.3，80%；
（2）自然数集合{15，0，5…}；
故答案为：15，0，5；
（3）非正整数集合{﹣5，0…}；
故答案为：﹣5，0；
（4）非负有理数集合{15，215，0，2.3，80%，5…}．
故答案为：15，215，0，2.3，80%，5．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数，掌握相关定义是解答本题的关键．
题型三 无理数的概念
【例题3】（2023春•肇源县期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．3.14C．227D．π2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数是π2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【变式3-1】（2023•湖北二模）在实数﹣1，0，0.5，3.14159…中，无理数是（ ）
A．﹣1B．0C．0.5D．3.14159…
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【解答】解：A．﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．3.14159…是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键．
【变式3-2】（2022秋•禅城区期末）下列各数中是无理数的是（ ）
A．2πB．0.33333.
C．0D．﹣0.1010010001
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可．
【解答】解：A、2π是无理数，则此项符合题意；
B、0.33333.是无限循环小数，属于有理数，则此项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，则此项不符合题意；
D、﹣0.1010010001是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了无理数，熟记无理数的定义是解题关键．
【变式3-3】（2023春•新罗区期中）在3.14159…，101999，0，π，中，这5个数中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数数是无限不循环小数，根据定义判断即可．
【解答】解：在3.14159…，101999，0，π，中，3.14159…和π是无理数．
故选：A．
【点评】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
【变式3-4】（2022秋•阜宁县期中）下列各数：3.14，721，0.010010001，π2，0.317⋅．其中是无理数的为 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：在实数3.14，721，0.010010001，π2，0.317⋅中，无理数为π2．
故答案为：π2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式3-5】在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这些数中，无理数有 个．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这些数中，
无理数有π4，0.121121112……（每两个2之间增加一个1）这2个数，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
题型四 数轴的定义
【例题4】下列各图中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向，可得答案．
【解答】解：A、原点、单位长度、正方向都符合条件，故A正确；
B、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故B错误；
C、没有正方向，故C错误；
D、正方向标错，应该是向右为正方向，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，注意数轴的三要素：原点、单位长度、正方向．
【变式4-1】下列图形中，数轴画正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，根据数轴的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、左边的数比右边的数大，故本选项不符合题意；
B、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意；
C、没有原点，不是数轴，故本选项不符合题意；
D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【变式4-2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可．
【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，
图（1）没有原点，故（1）不正确；
图（2）满足数轴的定义，故（2）正确；
图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误；
图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴的画法，明确数轴的三要素，并数形结合进行识别，是解题的关键．
题型五 数轴上的点与数的关系
【例题5】如图示，数轴上点A所表示的数为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．以上均不对
【分析】根据点A在数轴上位置即可判断．
【解答】解：由图可得：
数轴上点A所表示的数为：﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，找准点A在数轴上位置是解题的关键．
【变式5-1】﹣3在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在﹣4表示的点的左边
B．在﹣2表示的点和原点之间
C．由1表示的点向左平移4个单位长度得到
D．和原点的距离是﹣3
【分析】比较﹣3和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．
【解答】解：A、﹣3＞﹣4，则﹣3在﹣4的右边，故A选项错误；
B、﹣3＜﹣2＜0，则﹣3在﹣2的左边，故B选项错误；
C、点1向左平移4个单位得到﹣3，故C选项正确；
D、﹣3和原点的距离是3，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了利用数轴表示有理数的大小，理解数轴上右边的数总是大于左边的数是解题的关键．
【变式5-2】（2023•白城模拟）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．0.5B．﹣0.5C．﹣1.5D．﹣2.5
【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可．
【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，
则表示的数可能是﹣0.5．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
【变式5-3】下列说法正确的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上所有的点都表示有理数
C．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3
D．数轴上表示﹣a的点一定在原点左边
【分析】根据有理数都能用数轴表示可判断A项正确，根据实数与数轴一一对应可得出B项错误，根据绝对值得几何意义可判断C项错误，根据﹣a在a＜0时，也可以表示正数可得D项错误．
【解答】解：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故A项符合题意，
数轴不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，故B项不符合题意，
数轴上距离原点2个单位长度的点所表示的数为3或﹣3，故C项不符合题意，
当a＜0时，﹣a＞0，此时﹣a在原点右边，故D项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查数轴与点的关系，灵活判断，适当的给出反例是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【分析】计算出圆的周长即可知道点O′所表示的数，而圆的周长＝π×直径．
【解答】解：圆的周长＝π×1＝π，
所以O′对应的数是π，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是求出圆的周长．
【变式5-5】与原点距离为5.5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 .
【分析】根据数轴的知道，与原点距离为5.5个单位长度的点在数轴上有左右两边各有一个，所以有两个点，它们分别是+5.5和﹣5.5．．
【解答】解：由分析知：与原点距离为5.5个单位长度的点有2个，
它们分别表示有理数+5.5和﹣5.5．
故答案为2；+5.5；﹣5.5．
【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是把数和点对应起来．
【变式5-6】在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
【分析】根据数轴即可得到各点表示的数．
【解答】解：A、B、C、D、E各点分别表示﹣3，﹣1.5，0，0.5，3．
【点评】本题考查了数轴，体现了数形结合的数学思想，掌握数轴上的点所表示的数是解题的关键．
【变式5-7】画一条数轴，并画出表示下列各数的点：
0，﹣114，﹣2.1，+0.25，134．
【分析】根据数轴上的点表示有理数的方法，画数轴标出各有理数对应的位置即可．
【解答】解：
【点评】此题考查了用数轴表示有理数的能力，关键是能将有理数在数轴准确位置表示出来，非常直观，体现了数形结合的优点．
题型六 利用数轴求两点之间的距离
【例题6】在数轴上表示数﹣2和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．2019B．2021C．2022D．2023
【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为2个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2023．
【解答】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是2个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为2+2021=2023，
故选：D．
【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．
【变式6-1】在数轴上表示5的点与表示﹣4的点之间的距离是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣4
【分析】由数轴上表示数5和﹣4的点到原点的距离分别为5个单位长度和4个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为9．
【解答】解：点A在原点的右侧，到原点的距离是5个单位长度，点B在原点的左侧，到原点的距离是4个单位长度，B两点之间的距离为5+4=9，
故选：A．
【点评】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．
【变式6-2】如图，点A表示﹣4，点D表示﹣5．
（1）在数轴上标出原点O；
（2）指出点B所表示的数；
（3）若C，B两点到原点的距离相等，且C，B两点在原点的两侧，则点C表示什么数？
【分析】点B与原点相距3个单位长度，且在原点的右边，表示正数．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）点B所表示的数为3；
（3）点C表示的数为﹣3．
【点评】本题考查数轴的定义，掌握数轴的特征是解题关键．
【变式6-3】如图，在数轴上有A、B、C这三个点．
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
A： ；B： ；C： ．
（2）A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？
【分析】（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数；
（2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答；
（3）由于AC＝10，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可．
【解答】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是﹣6、1、4，
故答案为﹣6、1、4；
（2）根据图示知AB的距离是7；AC的距离是10，
故答案为：7；10；
（3）∵A、C的距离是10，
∴点B到点A和点C的距离都是5，
此时将点B向左移动2个单位即可．
【点评】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键．
【变式6-4】点A、B在数轴上的位置如图所示．
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ；
（2）若点C在数轴上，且点B与点C的距离是3，求点A与点C的距离．
【分析】（1）根据图形可求出点B和点A表示的数；
（2）根据题意可分为两种情况：点C在点B的左边和点C在点B的右边．
【解答】解：（1）由数轴可知，点A表示﹣4，点B表示﹣1，
故答案为：﹣4，﹣1；
（2）①当点C在点B的左边时，
∵点B与点C的距离为3，
∴点C表示的数是﹣4，此时点A与点C的距离是0；
②当点C在点B的右边时，
∵点B与点C的距离为3，
∴点C表示的数是2，此时点A与点C的距离是6；
综上，点A与点C的距离是0或6．
【点评】本题主要考查数轴上表示数的两点间的距离，根据题意分析解决．
题型七 利用数轴上两点之间的距离求点表示的数
念
【例题7】（2022秋•甘肃期末）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（ ）
A．1B．5C．1或﹣5D．1或5
【分析】在数轴上表示出P点，找到与点P距离3个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点﹣2的左侧或右侧．
【解答】解：如图：
根据数轴可以得到在数轴上与点P距离3个长度单位的点所表示的数是：﹣5或1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
【变式7-1】数轴上+5表示的点位于原点 边距原点 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示 ，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是 ．
【分析】根据数轴的特点及距离的定义解答即可．
【解答】解：数轴上+5表示的点位于原点 右边距原点 5个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示﹣4，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是+6．
故答案为：右，5，﹣4，+6．
【点评】本题考查了数轴的知识，比较简单，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边的数都大于0，左边的数都小于0；（2）数轴上各点到原点的距离是这个数的绝对值．
【变式7-2】（2023•上城区二模）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1cm），刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．﹣2.5B．﹣3.5C．﹣6D．﹣6.5
【分析】利用两点间的距离，求得刻度尺上5.5cm的点到原点的距离即可．
【解答】解：∵刻度尺上的0cm对应数轴上的3，
∴刻度尺上6.5cm对应的数到3的距离也是6.5cm，
∴到原点的距离是6.5﹣3＝3.5（cm），
∵在原点左侧，
∴对应的数是﹣3.5．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴上的点，解题的关键是计算出点到原点的距离．
【变式7-3】点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，A、C两点间的距离是2，A、B两点到原点的距离相等．若点C所表示的数为﹣3，则点B所表示的数为（ ）
A．4B．5C．6D．3
【分析】根据C表示的数是﹣3和AC＝2可得点A表示的数是﹣5，再根据A、B两点到原点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵C表示的数是﹣3，AC＝2，
∴点A表示的数是﹣5，
∵A、B两点到原点的距离相等，
∴点B所表示的数为5，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和两点的距离，熟练掌握数轴上两点的距离是关键．
【变式7-4】（2022秋•定陶区期末）在数轴上与表示﹣2的点距离等于3的点所表示的数是（ ）
A．1B．﹣1或5C．﹣5D．﹣5或1
【分析】根据题意分该点在﹣2的左侧以及右侧两种情况进一步求解即可．
【解答】解：当该点在﹣2左侧时，该点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5；
当该点在﹣2右侧时，该点表示的数为：﹣2+3＝1；
综上所述，该点表示的数为﹣5或1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数轴，熟练掌握相关概念是解题关键．
【变式7-5】画出数轴，并解答下列问题：
（1）在数轴上表示下列各数：5，3.5，﹣212，﹣1；
（2）在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数．
【分析】（1）画出数轴，在数轴上表示各数即可求解；
（2）先在数轴上标出表示﹣1的点A，再写出将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示：将点A平移4个单位长度后得到的数是3或﹣5．
【点评】此题主要考查了数轴，关键是正确在数轴上表示各数的点的位置．
题型八 利用数轴比较数的大小
【例题8】（2023•朔州模拟）在−113，﹣5，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．−113B．﹣5C．0D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣5＜−113＜0＜1，
∴在−113，﹣5，0，1这四个数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【变式8-1】（2023•晋安区校级模拟）四个数﹣1，0，1，13中最大的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．13
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；
【解答】解：∵1＞13＞0＞﹣1，
∴四个数﹣1，0，1，13中最大的数是1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；
【变式8-2】如图，点A在数轴上对应的数为a，则（ ）
A．a＜﹣a＜﹣1B．﹣a＜a＜﹣1C．﹣a＜﹣1＜aD．﹣1＜﹣a＜a
【分析】直接利用数轴得出a的取值范围，进而比较大小即可．
【解答】解：如图所示：a＞0，a＞1，
则﹣a＜﹣1，
故﹣a＜﹣1＜a．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确利用数轴是解题关键．
【变式8-3】（2022秋•冷水滩区月考）请在数轴上表示下列有理数，并用“＞”连接下列各数：
2.5，−32，﹣3，0，﹣0.5．
【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可．
【解答】解：如图所示：
故2.5＞0＞﹣0.5＞−32＞−3．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
【变式8-4】（2023春•松北区校级月考）在数轴上表示下列各数：3，0，12，﹣2.5，﹣4．并将它们按从小到大的顺序用“＜”排列起来．
【分析】将各数在数轴上表示出来，然后根据数轴右边的数大于左边的数进行大小排列即可．
【解答】解：将各数在数轴上表示如图所示：
那么﹣4＜﹣2.5＜0＜12＜3．
【点评】本题考查实数与数轴，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式8-5】（2022秋•枣阳市期末）点A、B在数轴上的位置如图所示：
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．
（2）在数轴上表示下列各数：0，−413，﹣2，72．
（3）把（1）（2）中的六个有理数用“＜”号连接起来．
【分析】（1）根据数轴即可得到答案；
（2）在数轴上表示出各数即可得到答案；
（3）根据数轴上右边的数大于左边的数，即可得到答案．
【解答】解：（1）根据数轴可知，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是1，
故答案为：﹣4，1；
（2）在数轴上表示各数如下所示：
（3）各数大小关系排列如下：−413＜−4＜−2＜0＜1＜72．
【点评】本题考查了数轴，解题关键是熟练掌握用数轴表示有理数，熟记数轴上右边的数大于左边的数．
题型九 利用数轴解决实际问题
念
【例题9】（2022秋•安乡县期末）数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 ．
【分析】根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，据此可得．
【解答】解：根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，即A所表示的数为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上的点表示的数是解本题的关键．
【变式9-1】（2023春•崇川区校级月考）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 .
【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算．
【解答】解：∵圆的周长为2πr＝2π，
∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π．
故答案为：﹣2π．
【点评】本题考查数轴的概念，圆周长公式，关键是掌握数轴的三要素．
【变式9-2】（2023春•荔城区校级期中）如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（ ）
A．0.5+π或0.5﹣πB．1+2π或1﹣2π
C．1+π或1﹣πD．2+π或2﹣π
【分析】根据半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长为π，分两种情况，即可得答案．
【解答】解：由半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，
故滚动一周后A点与1之间的距离是π，
故当A点在1的左边时表示的数是1﹣π，
当A点在1的右边时表示的数是1+π．
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
【变式9-3】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km，到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向南为正方向，用1cm示1km，画出数轴并表示出A，B，C三个村庄的位置．
（2）C村离A村有 km
（3）邮递员一共骑了多少千米？
【分析】（1）在数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置即可；
（2）根据题意列出算式3﹣（﹣3），求出即可；
（3）根据题意得出算式3+2+8+3，求出即可．
【解答】解：（1）A，B，C三个村庄的位置如图，
（2）∵3+3＝6km，
∴C村到A村有6km；
故答案为：6；
（3）∵3+2+8+3＝16（km），
答：邮递员一共骑行了16km．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴和有理数的计算的应用，关键是能根据题意列出算式．
【变式9-4】（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得；
（2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则：
①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解．
【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴对称中心是原点，
∴﹣2表示的点与2表示的点重合，
（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，
∴对称中心是1表示的点，
∴5表示的点与数﹣3表示的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5，
∵对称点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5，
故答案为：2；﹣3．
【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键．
题型十 与数轴相关的探究题
际问题
念
【例题10】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有 个．
【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是11个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是10个．
【解答】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖10+1＝11个数；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数．
故答案为：11或10．
【点评】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画，但要注意画时，找个短线段即可．
【变式10-1】（2023•花都区一模）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（ ）
A．2015B．2014C．2015或2014D．2015或2016
【分析】根据数轴与实数的对应关系，分线段AB起点在整数点与不在整数点两种情况讨论．
【解答】解：依题意可知，
当线段AB起点在整数点时，能覆盖2016个数；
当线段AB起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖2015个数，
故选：D．
【点评】本题考查数轴与实数的对应关系，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式10-2】已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，…，移动第2022次到达点B，则点B在点A的（ ）
A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米
C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米
【分析】根据题意可知两次都是向右移动1厘米，再由2022÷2=1011，即可求解．
【解答】解：∵第一次向左移动1厘米，第二次向右移动2厘米，
∴这两次向右移动1厘米，
∵第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，
∴这两次向右移动1厘米，
∴两次都是向右移动1厘米，
∵2022÷2=1011，
∴点B在点A的右侧1011厘米，
故选：D．
【点评】本题考查数字的变化规律，根据点的运动情况，探索出点A的运动规律是两次都是向右移动1厘米是解题的关键．
【变式10-3】定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB．
（1）某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数；
（2）若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数．
【分析】（1）以线段AB的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论．
（2）先用AB÷2，得出AB相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵数轴的单位长度是1cm，AB＝2020cm，
∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点．
∴线段AB共盖住了2021个整点．
若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点．
综上，线段AB盖住的整点的个数为2021或2020个．
（2）AB÷2＝1010（个单位），
∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点．
∴线段AB共盖住了1011个整点．
若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点．
综上，线段AB盖住的整点的个数为1011或1010个．
【点评】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论．
【变式10-4】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第7次和第2020次落下时，落点处离原点的距离分别是 个单位．
【分析】根据题意可以直接写出前几次落点在数轴上对应的数据，从而可以发现变化的规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
第1次落点在数轴上对应的数是1，
第2次落点在数轴上对应的数是-1，
第3次落点在数轴上对应的数是2，
第4次落点在数轴上对应的数是-2，
则它跳第7次落点在数轴上对应的数是4，
2020÷2=1010，
则第2020次落点在数轴上对应的数是-1010，
即当它跳第7次和第2020次落下时，落点处离原点的距离分别是4个单位长度、1010个单位长度，
故答案为：4，1010．
【点评】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
【变式10-5】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（ ）
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
【分析】根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解．
【解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列：
A.2020÷3=673…1，所以此时点A正好落在数轴上；
B.2021÷3=673…2，所以此时点B正好落在数轴上；
C.2022÷3=674，所以此时点C正好落在数轴上；
D.2023÷3=674…1，所以此时点A正好落在数轴上．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴，找规律，找到圆的滚动规律是解题的关键．
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
解题技巧提炼
无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．
解题技巧提炼
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.
解题技巧提炼
1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
解题技巧提炼
求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解.
解题技巧提炼
1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况.
2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度.
解题技巧提炼
比较数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小．
解题技巧提炼
数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系.
解题技巧提炼
根据线段的端点与数轴上的整数点是否重合分情况讨论,求较大范围内的整数点个数时，可类比较小范围内的情况.
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
解题技巧提炼
无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数．
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．
解题技巧提炼
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可.
解题技巧提炼
1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数.
2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线.
解题技巧提炼
求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解.
解题技巧提炼
1、由于点的位置不确定，要借助数轴进行分类讨论，分在已知点的左侧和右侧两种情况.
2、确定符号和距离，确定距离时要表示所对应的点距原点几个单位长度.
解题技巧提炼
比较数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小．
解题技巧提炼
数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系.
解题技巧提炼
根据线段的端点与数轴上的整数点是否重合分情况讨论,求较大范围内的整数点个数时，可类比较小范围内的情况.
相关试卷
苏科版八年级数学上册专题2.1有理数、数轴【十大题型】同步练习(学生版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册专题2.1有理数、数轴【十大题型】同步练习(学生版+解析)，共27页。
苏科版七年级上册2.3 数轴免费达标测试： 这是一份苏科版七年级上册<a href="/sx/tb_c15003_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.3 数轴免费达标测试</a>，共8页。
初中数学人教版七年级下册6.3 实数当堂检测题： 这是一份初中数学人教版七年级下册<a href="/sx/tb_c77686_t7/?tag_id=28" target="_blank">6.3 实数当堂检测题</a>，共47页。试卷主要包含了3 实 数，7，237，π2，0，123456…，−32；，8282，2＝10，等内容，欢迎下载使用。
