苏科版七年级上册2.4 绝对值与相反数导学案及答案

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知识精讲
知识点01 相反数
定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
【微点拨】
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
【即学即练1】1．的相反数是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】
依据相反数的定义求解即可．
【详解】
解：-3的相反数是3．
故选：C．
知识点02 多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．
【微点拨】
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
【即学即练2】2．在下列各数：，，，0，－（＋3），－|－2015|中，负数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
先化简各数，再与0比较即可．
【详解】
解：：，－（＋3）=-30，－|－2015|=-20150，
负数有，－（＋3），－|－2015|，
负数的个数是3．
故选择：C．
知识点03 绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【微点拨】
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【即学即练3】3．已知关于x的方程mx|m|+1＝0是一元一次方程，则m的取值是（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】
根据一元一次方程的定义得出m≠0且|m|=1，求出m即可．
【详解】
解：∵关于x的方程mx|m|+1＝0是一元一次方程，
∴m≠0且|m|＝1，
解得：m＝±1，
故选：A．
知识点04 有理数的大小比较
数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【微点拨】
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
【即学即练4】4．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】
根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．
【详解】
解：∵，
∴，
∴最小的数是-2；
故选A．
能力拓展
考法01 化简绝对值
根据题设条件
只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．
借助数轴
①零点的左边都是负数，右边都是正数．
②右边点表示的数总大于左边点表示的数．
③离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．
3、采用零点分段讨论法
①求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．
②分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．
③在各区段内分别考察问题．
④将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．
【典例1】a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出b＜c＜0＜a，，再分别判断各式．
【详解】
解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得b＜c＜0＜a，．
∴①，故错误；
②，故正确；
③，故正确；
④，故正确；
故选：B．
考法02 绝对值的意义
绝对值的实质：
正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )
A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b
(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)
解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．
所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．
三. 绝对值的性质：
1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法
1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
【典例2】绝对值小于3的负整数有（ ）
A．3个B．2个C．4个D．1个
【答案】B
【分析】
一个负数绝对值是它的相反数，即可解得．
【详解】
解：绝对值小于3的负整数是，共个．
故选B．
【分析】
本题考查的是绝对值有关知识，掌握一个负数绝对值是它的相反数是解题关键 ．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各组数中互为相反数的是( )
A．2与B．32与-23C．-1与(-1)2D．与
【答案】C
【分析】
先根据乘方的运算法则及绝对值的定义求出各选项的值,再根据相反数的定义进行解答.
【详解】
A. 2与互为倒数,故本选项错误;
B. 32=9与-23=-8，他们不互为相反数,故本选项错误;
C.-1的相反数是1, (-1)2=1,故本选项正确;
D.|-2|=2,其相反数是-2,故本选项错误.
故选C.
2．若|a|=2，|b|=5，则a+b为（ ）
A．±3B．±7C．3或7D．±3或±7
【答案】D
【分析】
首先根据绝对值的性质,推出a、b的值,即a =±2,b =±5, 然后分情况进行代入求值即可.
【详解】
解:∵|a|=2, |b|=5=5,∴a=±2,b=±5,
当a=2,b=5时,a+ b =7,
当a=2,b=-5时,a+b=-3,
当a=-2,b=5时,a+b=3,
当a=-2, b =-5时,a+b=-7,
∴a+b的值为±3或±7.
所以D选项是正确的.
3．－0.5的相反数是（ ）
A．0.5B．－0.5C．2D．－2
【答案】A
【详解】
解：－0.5的相反数是0.5．故选A．
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与3C．与D．与
【答案】C
【分析】
根据互为相反数的两个数的绝对值相等，符号相反，逐项判断即可．
【详解】
解：∵与的绝对值不相等，
∴与不互为相反数，选项A不符合题意；
∵|-3|=3，
∴|-3|与3不互为相反数，选项B不符合题意；
∵与的绝对值相等，符号相反，
∴与互为相反数，选项C符合题意；
∵=，选项D不符合题意．
故选：C．
5．的相反数是（ ）
A．B．C．3D．0.3
【答案】C
【分析】
依据相反数的定义求解即可．
【详解】
解：-3的相反数是3．
故选：C．
6．在有理数中绝对值等于它本身的数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无限个
【答案】D
【分析】
根据正数和0的绝对值是其本身，分析可得答案．
【详解】
解：根据正数和0的绝对值是其本身，即有无数个数的绝对值等于它本身，
故选：D．
7．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】
解：的相反数是；
故选：D．
题组B 能力提升练
1．绝对值不小于1且不大于3.5的整数有（ ）
A．7个B．6个C．4个D．3个
【答案】B
【分析】
根据绝对值的意义，可得答案．
【详解】
解：绝对值不小于1且不大于3.5的整数是-1，-2，-3，1，2，3共6个，
故选B．
2．若有理数a，b互为相反数，则下列等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据相反数的意义可直接进行求解．
【详解】
解：由有理数a，b互为相反数，则有，
故选B．
3．在-1，0， ，-4这四个数中，绝对值最大的数是（ ）．
A．-1B．C．-4D．0
【答案】C
【分析】
根据绝对值、有理数大小比较的性质计算，即可得到答案．
【详解】
，
，
∵，
∴，即绝对值最大的数是：-4，
故选：C．
4．在下列数：，，，，0，中，负数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】
利用正负数的定义进行解答即可．
【详解】
∵+（-2.1）=-2.1，=-9
∴在，，，，0，这六个数中，负数有，，，，共4个，
故选：D．
5．在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为__________．
【答案】
【分析】
由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．
【详解】
解：∵b＞a＞0，c＜0，
∴，
∴
．
故答案为：．
6．如果一个量的实际值为a，测量值为b，我们把称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为5.0cm，测量得4.8cm，则测量所产生的绝对误差是_____cm，相对误差是_____cm．
【答案】0.2 0.04
【分析】
按照给出的定义计算即可.
【详解】
解：∵a=5，b=4.8，
∴绝对误差是
=|5-4.8|
=0.2（cm），
∴相对误差是
=
=0.04（cm）.
故答案为0.2cm，0.04cm .
7．若｜x2｜2x6，则x=____；
【答案】4
【分析】
分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．
【详解】
解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x2｜2x6变形为：
-(x-2)=2x-6
去括号整理得，-3x=-8
解得，（不符合题意，舍去）
当x>2，即x-2>0时，方程｜x2｜2x6变形为：
x-2=2x-6
移项合并得，x=4．
故答案为：4．
题组C 培优拔尖练
1．在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
根据三点与1的位置关系即可判断①；对于②，根据a、b、c的位置关系化简方程左端，判断是否等于右端即可；对于③，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；对于④，首先判断1−bc的符号，然后和a比较即可 ．
【详解】
①∵a<1，b<1，c<1
∴a-1<0，b-1<0，c-1<0
∴，故①正确；
②∵a∴a-b<0，b-c<0，a-c<0
∴，
∴，故②正确；
③∵a+b<0，b+c>0，a+c<0
∴，故③正确；
④∵a<-1
∴|a|>1
∵0∴0∴1-bc<1
∴|a|>1-bc，故④错误；
故选B
2．已知整数、、、、…满足下列条件：，，，，…，（为正整数）依此类推，则的值为（）
A．－1009B．－2019C．－1010D．－2020
【答案】C
【分析】
依次计算、、、、…，得到规律性答案，即可得到的值.
【详解】
，
=-1，
=-2，
=-2，
，
，
，
由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-（n为偶数），
∴，
∴的值为－1010，
故选：C.
3．若，则代数式在的最小值是( )
A．B．C．D．一个与有关的整式
【答案】C
【分析】
根据x的范围化简为30-x，再结合x的范围，求得它的最小值即可.
【详解】
∵，
∴x-p≥0，x-15≤0，x-p-15≤0，
∴
故当x=15时，的最小值为30-15=15，
故答案为C.
4．满足的整数对共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】
先判断出|ab|=0，|a-b|=1或|a-b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．
【详解】
∵|ab|+|a-b|=1，
∴0≤|ab|≤1，0≤|a-b|≤1，
∵a，b是整数，
∴|ab|=0，|a-b|=1或|a-b|=0，|ab|=1
①当|ab|=0，|a-b|=1时，
Ⅰ、当a=0时，b=±1，
∴整数对（a，b）为（0，1）或（0，-1），
Ⅱ、当b=0时，a=±1，
∴整数对（a，b）为（1，0）或（-1，0），
②当|a-b|=0，|ab|=1时，
∴a=b，∴a2=b2=1，
∴a=1，b=1或a=-1，b=-1，
∴整数对（a，b）为（1，1）或（-1，-1），
即：满足|ab|+|a-b|=1的所有整数对（a，b）为（0，1）或（0，-1）或（1，0）或（-1，0）或（1，1）或（-1，-1）．
∴满足|ab|+|a-b|-1=0的整数对（a，b）共有6个．
故选C．
5．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（ ）
A．1B．2C．－1D．－2
【答案】D
【分析】
根据题意求出a、b、c、d、e的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
a是最小的正整数，a=1；
b是绝对值最小的数，b=0；
c是相反数等于它本身的数，c=0；
d是到原点的距离等于2的负数，d=-2；
e是最大的负整数，e=-1；
a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2
故选D
6．设实数、、满足（），且，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据ac＜0可知，a，c异号，再根据a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可确定a，b，-c在数轴上的位置，而|x-a|+|x-b|+|x+c|表示数轴上的点到a，b，-c三点的距离的和，根据数轴即可确定．
【详解】
∵ac＜0
∴a，c异号
∴a＜0，c＞0
又∵a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|
∴a＜b＜-c＜0＜c
|x-a|+|x-b|+|x+c|表示到a，b，-c三点的距离的和．当x在表示b点的数的位置时距离最小，即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是a与-c之间的距离，即-c-a．
故选D．
7．下列说法正确的个数有（ ）①已知且则数在数轴上距离原点较近的是②若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数；③一定是负数；④若则是非正数．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
①根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可；
②通过绝对值的性质即可求解；
③本题可通过特殊值法求解；
④通过绝对值的性质即可求解．
【详解】
解：①∵a+b＜0且a＞0，b＜0，
∴|a|＜|b|，
∴数a、b在数轴上距离原点较近的是a，故①正确；
②正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故②正确；
③a=0时，-|a|=0，故③错误；
④若|a|+a=0，则a是非正数，故④正确．
故选B．
课程标准
课标解读
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
1、相反数和绝对值的表示方法
2、数轴的几何意义表示，在数轴上分析绝对值和相反数性质
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0