苏科版七年级上册6.5 垂直学案设计

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知识精讲
知识点01 垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
【微点拨】
垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
【即学即练1】1．如图，直线与相交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据对顶角相等得到∠AED，根据垂直的定义求出∠AEF，相加可得结果．
【详解】
解：∵∠CEB=50°，
∴∠AED=50°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF=50°+90°=140°，
故选B．
知识点02 垂线的画法
过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
【微点拨】
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
【即学即练2】2．如图，点在直线外，点、在直线上，若，，则点到直线的距离可能是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】A
【分析】
如图作⊥直线于，直线外一点，与直线上的任意点连接所形成的的线段中，点到直线的距离最短，结合选项，再根据直角三角形的性质推断出点到直线的距离．
【详解】
如图作⊥直线于，
∴为点到直线的距离，
∵，，
∴，
∴只有A选项符合题意，
故选：A．
知识点03 垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
【微点拨】
（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
【即学即练3】3．如图，如果直线直线a，直线直线a，那么与重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
【答案】A
【分析】
利用垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答．
【详解】
解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：A．
【即学即练4】4．如图，点是直线外一点，，，，都在直线上，于，下列线段最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可求解．
【详解】
因为点是直线外一点，，，，都在直线上，于，
所以，根据垂线段的性质可知：线段最短．
故选：C．
能力拓展
考法01 点到直线的距离
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【典例1】点P是直线l外一点，A为垂足，，且，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于B．等于C．大于D．不确定
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】
解：根据点到直线的距离的定义得出P到直线l的距离是等于，
故选：B．
考法02 垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
【典例2】如图，连接直线外一点P与直线上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥，这些线段PO，PA1，PA1，PA3，…中，最短的线段是（ ）
A．POB．PA1C．PA2D．PA3
【答案】A
【分析】
由点到直线的距离，垂线段最短，可得答案．
【详解】
解：∵PO⊥，
∴最短的线段是线段PO，
故选：A．
分层提分
题组A 基础过关练
1．我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)，如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有( )
A．2对B．3对C．4对D．6对
【答案】C
【分析】
根据互为垂角的定义即可求解，以及OC⊥AB于点O，OE⊥OD，即可找到图中互为垂角的角.
【详解】
解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，
|∠EOB-∠DOB|=90°，|∠EOB-∠EOC|=90°，|∠AOD-∠COD|=90°，
|∠AOD-∠AOE|=90°；
所以互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
故选：C.
2．如图，∠ABC＝90°，D是∠ABC内一点，DA⊥AB于点A，DC⊥BC于点C，连结BD．若AD＝3，CD＝4，BD＝5，则点D到直线BC的距离h是（ ）
A．h＝3B．h＝4C．h＝5D．4＜h＜5
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】
解：∵DC⊥BC于点C，且DC＝4，
∴点D到直线BC的距离h是线段DC的长，即h＝4，
故选：B．
3．如图，从位置P到直线公路MN有四条小道，其中路程最短的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【答案】B
【分析】
根据垂线的性质即可得到结论．
【详解】
解：根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，
故选：B．
4．如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线B．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．垂线段最短D．同一平面内，只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案．
【详解】
解：A、点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂线上，故本选项错误；
B、直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于OL，故本选项正确；
C、在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，故本选项错误；
D、此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；
故选：B．
5．如图，CO⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，下列结论不正确的是（ ）
A．∠1+∠2＝90°B．∠2+∠3＝90°C．∠1+∠3＝90°D．∠3+∠4＝90°
【答案】C
【分析】根据垂直的性质得到∠BOC=∠AOC=90°，然后结合图形可得结论．
【详解】
解：如图，∵CO⊥AB，
∴∠BOC=∠1+∠2=∠3+∠4=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴结论不正确的是：∠1+∠3=90°，
故选：C．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，在下列各条件中，能说明的有
；；；；．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，据此判定即可．
【详解】
解：，；
，，，；
和是对顶角，而，不能说明；
不能说明；
，，，；
则能说明的有，共3个．
故选B．
7．如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路就能满足小路最短，这样做的依据是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥AB于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故选：C．
题组B 能力提升练
1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线l的距离为（ ）
A．等于1B．小于1C．不大于1D．不小于1
【答案】C
【分析】
根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．
【详解】
解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离h≤PA，即h≤1．
故选：C．
2．在△ABC中，BC=7，AC=4，CP⊥AB，垂足为点P，则CP的长可能是（ ）
A．3B．4C．6D．7
【答案】A
【分析】
根据垂线段最短得出结论．
【详解】
解：如图，根据垂线段最短可知：PC≤4，
∴CP的长可能是3，
故选：A．
3．如图，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据垂直的定义可得∠AOC=90°，再根据角的和差计算即可．
【详解】
解：∵，
∴∠AOC=90°，
∵，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+52°=142°．
故选：C．
4．在中，，，过点C作，垂足为P，则CP长的最大值为
A．5B．4C．3D．6
【答案】C
【分析】
根据垂线段最短可以知道点C到直线AB上任意一点的距离一定小于等于AC的长．
【详解】
解：根据垂线段最短可知：，
长的最大值为3．
故选：C．
5．如图，射线OC的端点O在直线AB上，于点O，且OE平分，OF平分，若，则__________．
【答案】60°
【分析】
直接利用垂线的定义得出∠COE=90°，再利用角平分线的定义得出∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥OC于点O，
∴∠COE=90°，
∵∠BOC=70°，
∴∠BOE=∠COE-∠BOC=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=20°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-20°=160°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOE=80°，
∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=80°-20°=60°，
故答案为：60°．
6．如图，已知于，，则的余角是__．
【答案】，
【分析】
根据垂直的定义和余角的定义，找和相加得90°的角即可．
【详解】
解：于，，
，
，
的余角是：，．
答案：，．
7．在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，，射线，则的度数为________．
【答案】50°或130°
【分析】
先根据垂直的定义求出∠DOE=90°，然后根据对顶角相等求出∠DOB的度数，再根据角的和差求出∠BOE的度数．
【详解】
解：如图1：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵，
∴∠DOB=°，
∴∠BOE=90°-40°=50°，
如图2：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE =90°，
∵，
∴∠DOB=°，
∴∠BOE=90°+40°=130°，
故答案为：50°或130°．
题组C 培优拔尖练
1．下列说法不正确的是（ ）
A．对顶角相等B．两点确定一条直线
C．一个角的补角一定大于这个角D．垂线段最短
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A、对顶角相等，故该项不符合题意；
B、两点确定一条直线，故该项不符合题意；
C、一个角的补角一定不大于这个角，故该项符合题意；
D、垂线段最短，故该项不符合题意；
故选：C．
2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．与互为补角D．的余角等于
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D．
【详解】
∵于点O，
∴∠AOE=,
∵OF平分，
∴∠2=，故A正确；
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，故B正确，
∵,
∴与互为补角，故C正确；
∵，
∴的余角=，故D错误，
故选：D．
3．如图，∠1＝20º，⊥，点、、 在同一条直线上，则∠2的度数为（ ）
A．70ºB．20ºC．110ºD．160º
【答案】C
【分析】
由⊥和∠1＝20º求得∠BOC＝70º，再由邻补角的定义求得∠2的度数．
【详解】
∵⊥和∠1＝20º，
∴∠BOC＝90 º-20 º＝70º，
又∵∠2+∠BOC＝180 º（邻补角互补），
∴∠2＝110º．
故选：C．
4．如图，在三角形中，，，点是线段上任意一点，连接，则线段的长不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】
根据垂线段最短即可判断．
【详解】
∵
∴点A到线段CB最短的最短距离为AC=4
∴AD的长最短为4
故选A．
5．已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有( )条．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
根据点到直线的距离的概念画出图形进行判断即可.
【详解】
解：①如图1，在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；
②作线段AB的垂线l，将线段AB分成2、3两部分．
故选：B．
6．如图，，则的长度可能是( )
A．3B．5C．3或5D．4.5
【答案】D
【分析】
根据垂线段最短可得3＜BD＜5．
【详解】
解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5，BC=3，
∴BC＜BD＜AB，
即3＜BD＜5．
故选：D．
7．下列说法：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行； ④同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】B
【分析】
根据对顶角相等但相等的角不一定是对顶角可得①错误；根据垂线的性质可判断②正确； 根据平行公理，可判断③正确；根据余角的性质，分析即可判断④．
【详解】
①相等的角是对顶角；错误；
②平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；故②正确；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；故③正确；
④同角或等角的余角相等，故④正确；
故选B.
课程标准
课标解读
1、 学生能通过量两条线段，两条直线之间的交角是否为直角初步形成垂直概念。
2、 通过画直角、折出相交成直角的折痕建立垂直的表象。
3、 能用语言、符号表示两条线段、直线互相垂直。
1理解互相垂直是两条直线相交成直角时的一种特殊的位置关系；垂直的关键是：两条直线"相交成直角"，而直角是学生已学的知识，因此，"直角"是新、旧知识的衔接点。
2.熟练地过一点画出一条直线的垂线或平行线，并会度量点到直线距离.