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初中数学2.3 数轴课后复习题
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这是一份初中数学2.3 数轴课后复习题，共24页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6890" 【题型1 数轴上点的平移】 PAGEREF _Tc6890 \h 1
\l "_Tc594" 【题型2 数轴上点表示的数】 PAGEREF _Tc594 \h 3
\l "_Tc28893" 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】 PAGEREF _Tc28893 \h 4
\l "_Tc22819" 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】 PAGEREF _Tc22819 \h 5
\l "_Tc24075" 【题型6 数轴与方程思想的运算】 PAGEREF _Tc24075 \h 12
\l "_Tc18905" 【题型7 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc18905 \h 13
\l "_Tc15313" 【题型8 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc15313 \h 17
\l "_Tc5872" 【题型9 数轴上点的规律问题】 PAGEREF _Tc5872 \h 20
【题型1 数轴上点的平移】
【例1】（2022•惠安县校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，如图所示．
（1）将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 ；
（2）将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少？
（3）怎样移动A、B、C中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？
【变式1-1】（2022•沂水县一模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，1，将点A向右平移2个单位长度，得到点C（点C不与点B重合），若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【变式1-2】（2022•乳山市期中）已知点A，B在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列问题：
（1）将点A在数轴上向左平移13个单位长度后记为A1，A1表示的数是 ，将点B在数轴上向右平移1个单位长度后记为B1，B1表示的数是 ；
（2）在（1）的条件下，将点B1向 移动 个单位长度后记为B2，则B2表示的数与A1表示的数互为相反数；
（3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5个单位长度，则点B2表示的数是多少？
【变式1-3】（2022•工业园区期末）【理解概念】
对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以2，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移3个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B、C、D、E、F经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′、C′、D′、E′、F′．
【巩固新知】
（1）若点A表示的数为﹣1，则点A′表示的数为 ．
（2）若点B′表示的数为9，则点B表示的数为 ．
【应用拓展】
（3）若点C表示的数为5，且CD′＝3CD，求点D表示的数；
（4）已知点E在点F的左侧，将点E′、F′再次进行“倍移”后，得到的点分别为E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的长．
【题型2 数轴上点表示的数】
【例2】（2022秋•三元区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14）
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【变式2-1】（2022秋•德惠市校级月考）东方红中学位于东西方向的一条路上，一天我们学校的李老师出校门去家访，他先向西走100米到聪聪家，再向东走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：
（1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50米）．
（2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西20米所表示的数是多少？
（4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？
【变式2-2】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【变式2-3】（2022•南安市模拟）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】
【例3】（2022秋•岳池县期中）有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜1b；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【变式3-1】（2022秋•新郑市期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是-53
D．小刚在小颖的南边
【变式3-2】（2022秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（ ）
A．线段AM上，且靠近点AB．线段AB上，且靠近点B
C．线段BM上，且靠近点BD．线段BM上，且靠近点M
【变式3-3】（2022秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n的值一定小于0
B．|3m+n|的值一定小于2
C．1m-n的值可能比2000大
D．1m+1n的值不可能比2000大
【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】
【例4】（2022秋•盱眙县期中）已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”．
请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ ．
（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为 ；
（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值．
【变式4-1】（2022秋•江夏区校级月考）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝ ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【变式4-2】（2022•长汀县期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 所表示的点是{M，N}的奇点；数 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？
【变式4-3】（2022•湖里区校级期中）已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点．
（1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．
①若点M运动到原点O时，此时点M 【A，B】的好点（填是或者不是）
②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间
（3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【题型5 数轴上的行程问题】
【例5】（2022秋•东阿县期末）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动．当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？
【变式5-1】（2022秋•市中区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
【变式5-2】（2022•越秀区二模）甲、乙两个昆虫分别在数轴原点和+8的A处，分别以1单位长度/s，1.5单位长度/s速度同时相向而行．
（1）第一次相遇在数轴上何处；
（2）若同时沿数轴的负方向而行，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？
（3）在（1）的条件下，两个昆虫分别到达点A和O处后迅速返回第二次相遇于数轴何处？
【变式5-3】（2022春•南关区校级月考）一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为﹣10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．
（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．
（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？
（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM＝1：2．若干秒后，C点在﹣12处，求此时N点在数轴上的位置．
【题型6 数轴与方程思想的运算】
【例6】（2022秋•越秀区校级期中）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知3a＝4b﹣3，则代数式c﹣5d的值是（ ）
A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8
【变式6-1】（2022秋•余姚市期末）数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示：
（1）完成填空：c﹣a＝ ，d﹣c＝ ，d﹣a＝ ；
（2）比较a+d和b+c的大小；
（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．
【变式6-2】（2022秋•武昌区校级月考）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，请在图中标出原点O，并求出3c+d﹣2a的值．
【变式6-3】（2022•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点 ．
【题型7 数轴上的动点定值问题】
【例7】（2022秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 ； 运动1秒后线段AB的长为 ；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为 和 ；
（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值； 若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝ cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为 ；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【变式7-2】（2022秋•黄陂区期末）数轴上A，B，C三点对应的数a，b，c满足（a+40）2+|b+10|＝0，B为线段AC的中点．
（1）直接写出A，B，C对应的数a，b，c的值．
（2）如图1，点D表示的数为10，点P，Q分别从A，D同时出发匀速相向运动，点P的速度为6个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回到A又折返向C点运动；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P，Q两点相遇点在数轴上对应的数．
（3）如图2，M，N为A，C之间两点（点M在N左边，且它们不与A，C重合），E，F分别为AN，CM的中点，求AC-MNEF的值．
【变式7-3】（2022•荔湾区期末）数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．
（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB＝16，ON＝2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；
（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD＝4AC，若点M为直线AB上一点，且AM﹣BM＝OM，求ABOM的值．
【题型8 数轴上的折叠问题】
【例8】（2022秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
【变式8-1】（2022秋•苏州期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 ．
【变式8-2】（2022秋•丰城市期中）操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示），
操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使﹣2表示的点与6表示的点重合，请你回答以下问题：
①﹣5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为20，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数各是多少
③已知在数轴上点M表示的数是m，点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30，求m的值．
【变式8-3】（2022秋•邗江区校级月考）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①数7对应的点与数 对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
（3）点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由．
【题型9 数轴上点的规律问题】
【例9】（2022秋•茅箭区校级月考）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互为相反数．
（1）求a，b，c的值．（2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数．
（3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．
【变式9-1】（2022秋•成都期末）在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是11-a，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是12，则点A2016在数轴上表示的数是 ．
【变式9-2】（2022秋•翁牛特旗期中）已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点．
（1）数轴上A、B两点的距离为 8 ．
（2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数．
（3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4．
①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则k的值是多少？
②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是__ （请直接写答案）．
【变式9-3】（2022秋•海淀区校级期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数中，最小的数是 ；
（2）若使点B所表示的数最大，则需将点C至少向 移动 个单位；
（3）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 个单位；
（4）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 种，其中移动所走的距离和最少的是 个单位；
（5）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第101次时，应跳________-步，落脚点表示的数是 ；跳了第n次（n是正整数）时，落脚点表示的数是 ．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6890" 【题型1 数轴上点的平移】 PAGEREF _Tc6890 \h 1
\l "_Tc594" 【题型2 数轴上点表示的数】 PAGEREF _Tc594 \h 3
\l "_Tc28893" 【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】 PAGEREF _Tc28893 \h 4
\l "_Tc22819" 【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】 PAGEREF _Tc22819 \h 5
\l "_Tc24075" 【题型6 数轴与方程思想的运算】 PAGEREF _Tc24075 \h 12
\l "_Tc18905" 【题型7 数轴上的动点定值问题】 PAGEREF _Tc18905 \h 13
\l "_Tc15313" 【题型8 数轴上的折叠问题】 PAGEREF _Tc15313 \h 17
\l "_Tc5872" 【题型9 数轴上点的规律问题】 PAGEREF _Tc5872 \h 20
【题型1 数轴上点的平移】
【例1】（2022•惠安县校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，如图所示．
（1）将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 ；
（2）将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少？
（3）怎样移动A、B、C中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？
【变式1-1】（2022•沂水县一模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，1，将点A向右平移2个单位长度，得到点C（点C不与点B重合），若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【变式1-2】（2022•乳山市期中）已知点A，B在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列问题：
（1）将点A在数轴上向左平移13个单位长度后记为A1，A1表示的数是 ，将点B在数轴上向右平移1个单位长度后记为B1，B1表示的数是 ；
（2）在（1）的条件下，将点B1向 移动 个单位长度后记为B2，则B2表示的数与A1表示的数互为相反数；
（3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5个单位长度，则点B2表示的数是多少？
【变式1-3】（2022•工业园区期末）【理解概念】
对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以2，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移3个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B、C、D、E、F经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′、C′、D′、E′、F′．
【巩固新知】
（1）若点A表示的数为﹣1，则点A′表示的数为 ．
（2）若点B′表示的数为9，则点B表示的数为 ．
【应用拓展】
（3）若点C表示的数为5，且CD′＝3CD，求点D表示的数；
（4）已知点E在点F的左侧，将点E′、F′再次进行“倍移”后，得到的点分别为E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的长．
【题型2 数轴上点表示的数】
【例2】（2022秋•三元区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14）
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【变式2-1】（2022秋•德惠市校级月考）东方红中学位于东西方向的一条路上，一天我们学校的李老师出校门去家访，他先向西走100米到聪聪家，再向东走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：
（1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50米）．
（2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西20米所表示的数是多少？
（4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？
【变式2-2】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（ ）
A．3B．3.1C．πD．3.2
【变式2-3】（2022•南安市模拟）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】
【例3】（2022秋•岳池县期中）有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜1b；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【变式3-1】（2022秋•新郑市期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是-53
D．小刚在小颖的南边
【变式3-2】（2022秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（ ）
A．线段AM上，且靠近点AB．线段AB上，且靠近点B
C．线段BM上，且靠近点BD．线段BM上，且靠近点M
【变式3-3】（2022秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n的值一定小于0
B．|3m+n|的值一定小于2
C．1m-n的值可能比2000大
D．1m+1n的值不可能比2000大
【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】
【例4】（2022秋•盱眙县期中）已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”．
请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ ．
（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为 ；
（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值．
【变式4-1】（2022秋•江夏区校级月考）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝ ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【变式4-2】（2022•长汀县期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 所表示的点是{M，N}的奇点；数 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？
【变式4-3】（2022•湖里区校级期中）已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点．
（1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．
①若点M运动到原点O时，此时点M 【A，B】的好点（填是或者不是）
②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间
（3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【题型5 数轴上的行程问题】
【例5】（2022秋•东阿县期末）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动．当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？
【变式5-1】（2022秋•市中区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
【变式5-2】（2022•越秀区二模）甲、乙两个昆虫分别在数轴原点和+8的A处，分别以1单位长度/s，1.5单位长度/s速度同时相向而行．
（1）第一次相遇在数轴上何处；
（2）若同时沿数轴的负方向而行，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？
（3）在（1）的条件下，两个昆虫分别到达点A和O处后迅速返回第二次相遇于数轴何处？
【变式5-3】（2022春•南关区校级月考）一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为﹣10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．
（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．
（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？
（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM＝1：2．若干秒后，C点在﹣12处，求此时N点在数轴上的位置．
【题型6 数轴与方程思想的运算】
【例6】（2022秋•越秀区校级期中）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知3a＝4b﹣3，则代数式c﹣5d的值是（ ）
A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8
【变式6-1】（2022秋•余姚市期末）数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示：
（1）完成填空：c﹣a＝ ，d﹣c＝ ，d﹣a＝ ；
（2）比较a+d和b+c的大小；
（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．
【变式6-2】（2022秋•武昌区校级月考）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，请在图中标出原点O，并求出3c+d﹣2a的值．
【变式6-3】（2022•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点 ．
【题型7 数轴上的动点定值问题】
【例7】（2022秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 ； 运动1秒后线段AB的长为 ；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为 和 ；
（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值； 若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA＝ cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为 ；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【变式7-2】（2022秋•黄陂区期末）数轴上A，B，C三点对应的数a，b，c满足（a+40）2+|b+10|＝0，B为线段AC的中点．
（1）直接写出A，B，C对应的数a，b，c的值．
（2）如图1，点D表示的数为10，点P，Q分别从A，D同时出发匀速相向运动，点P的速度为6个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回到A又折返向C点运动；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P，Q两点相遇点在数轴上对应的数．
（3）如图2，M，N为A，C之间两点（点M在N左边，且它们不与A，C重合），E，F分别为AN，CM的中点，求AC-MNEF的值．
【变式7-3】（2022•荔湾区期末）数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．
（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB＝16，ON＝2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；
（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD＝4AC，若点M为直线AB上一点，且AM﹣BM＝OM，求ABOM的值．
【题型8 数轴上的折叠问题】
【例8】（2022秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
【变式8-1】（2022秋•苏州期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 ．
【变式8-2】（2022秋•丰城市期中）操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示），
操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使﹣2表示的点与6表示的点重合，请你回答以下问题：
①﹣5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为20，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数各是多少
③已知在数轴上点M表示的数是m，点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30，求m的值．
【变式8-3】（2022秋•邗江区校级月考）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①数7对应的点与数 对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
（3）点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由．
【题型9 数轴上点的规律问题】
【例9】（2022秋•茅箭区校级月考）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互为相反数．
（1）求a，b，c的值．（2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数．
（3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．
【变式9-1】（2022秋•成都期末）在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是11-a，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是12，则点A2016在数轴上表示的数是 ．
【变式9-2】（2022秋•翁牛特旗期中）已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点．
（1）数轴上A、B两点的距离为 8 ．
（2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数．
（3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4．
①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则k的值是多少？
②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是__ （请直接写答案）．
【变式9-3】（2022秋•海淀区校级期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数中，最小的数是 ；
（2）若使点B所表示的数最大，则需将点C至少向 移动 个单位；
（3）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 个单位；
（4）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 种，其中移动所走的距离和最少的是 个单位；
（5）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第101次时，应跳________-步，落脚点表示的数是 ；跳了第n次（n是正整数）时，落脚点表示的数是 ．
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