2021学年4.4 对数函数第1课时导学案

4.4.1  对数函数的概念

4.4.2 对数函数的图象和性质  第1课时

【学习目标】

【自主学习】

一．对数函数的概念

一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是       .

二.对数函数的图象与性质

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

三．反函数

指数函数      (a>0，且a≠1)与对数函数y＝             互为反函数．

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对数函数的定义域为R.(　　)

(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．(　　)

(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　)

(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　)

【经典例题】

题型一  对数函数的概念

点拨：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

例1 指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.

【跟踪训练】1  (1)对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为              .

(2)已知函数f(x)＝(2m2－m)logax＋m－1是对数函数，则m＝     .

题型二　对数型函数的定义域

点拨：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.

例2　求下列函数的定义域.

(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；

(2)y＝log2(16－4x).

【跟踪训练】2  求下列函数的定义域．

(1)y＝；            (2)y＝；

(3)y＝；   (4)y＝log(x＋1)(2－x)．

题型三 对数函数的图象

点拨：

1.对数函数的底与图象变化的关系：

在第一象限内，底数越大，图象越靠近x轴．

2.对数型函数过定点问题：

求函数y＝m＋loga fxa>0，且a≠1的图象过的定点时，只需令fx＝1求出x，即得定点为（x，m）.

例3 对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是________．

(2)y＝loga＋2图象恒过定点坐标是________．

【跟踪训练】3 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．

【当堂达标】

1.（多选）下列函数为对数函数的是(　　)

A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)

B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)

C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)

D.y＝logax(a＞0且a≠1)

2.函数y＝lg(3x－2)的定义域是(　 　)

A．[1，＋∞)　　　　　 B．(1，＋∞)

C．[，＋∞) D．(，＋∞)

3.已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于(　　)

A.0     B.1    C.2     D.3

4.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)

5.已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

6.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

【参考答案】

【自主学习】

(0，＋∞) 

(0，＋∞)  (1,0)  (－∞，0)   [0，＋∞)  (0，＋∞)   (－∞，0]   x轴

y＝ax    logax(a>0且a≠1)

【小试牛刀】

(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

【经典例题】

例1  解：(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．

【跟踪训练】1（1） y＝log2x  解析：设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，∴a4＝16，

∴a＝2，∴y＝log2x.

（2）1 解析：因为函数f(x)是对数函数，则解得m＝1.

例2 解：(1)由得－3<x<3，

∴函数的定义域是(－3,3).

(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，

由指数函数的单调性得x<2，

∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2).

【跟踪训练】2  解：(1)定义域为(0，＋∞)．

(2)由解得<x≤1，∴定义域为.

(3)由解得<x≤，∴定义域为.

(4)由解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．

例3 (1) a>b>c>d 解析：在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d.

 (2)(－2,2) 解析：令＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝loga＋2过定点(－2,2)．

【跟踪训练】3  

(1)C解析：∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.

(2)(0，－2) 解析：因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).

【当堂达标】

1.CD 解析：由对数函数定义可知选CD. 

2. D 解析：要使函数y＝lg(3x－2)有意义，应满足3x－2>0，∴x>，故选D．

3.C 解析：∵f(a)＝log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，∴a＝2.

4.C 解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)

5.(4，－1) 解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.

6.解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝

所以函数y＝log5|x|的图象如下图所示．