数学第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时学案设计

4.4.2　对数函数的图象和性质

第1课时　对数函数的图象和性质(一)

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　对数函数的图象及性质

思考1：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx，…，为什么一定过点(1,0)?

(2)在下表中，？处y的范围是什么？

提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1,0)．

(2)

知识点2　反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__反函数__，它们定义域与值域正好__互换__.

思考2：函数y＝log2x与y＝()x互为反函数吗？

提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数．

基础自测

1．下列说法正确的个数是(　C　)

(1)对数函数的图象都过定点(0,1)．

(2)对数函数的图象都在y轴的右侧．

(3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.

A．0　　 B．1　　

C．2　　 D．3

[解析]　对于(1)，对数函数的图象都过定点(1,0)，不正确；对于(2)，由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以0<a<，正确．

2．函数y＝log2x在区间(0,2]上的最大值是(　B　)

A．2 B．1

C．0 D．－1

[解析]　y＝log2x在(0,2]上单调递增，

∴ymax＝1，故选B．

3．函数y＝log3x与y＝x的图象关于__x轴__对称．

4．(2020·河南永城实验中学高一期末测试)函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点__(2,0)__.

[解析]　令x－1＝1，∴x＝2，则y＝0，故函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,0)．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　利用对数函数的单调性比较大小

例1 比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln0.3，ln2；

(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；

(3)log30.2，log40.2；

(4)log3π，logπ3.

[分析]　(1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？

(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？

(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？

[解析]　(1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.

(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，

即log30.2＜log40.2.

(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.

[归纳提升]　1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．

(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

2．常见的对数不等式有三种类型：

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．

【对点练习】❶ 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　D　)

A．b＜a＜c　　　 B．c＜b＜a

C．c＜a＜b D．b＜c＜a

[解析]　因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，

因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，

所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.

题型二　对数函数的图象

例2 已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是(　B　)

A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2

C．a2<a1<a3<a4 D．a3<a4<a2<a1

[分析]　由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．

[解析]　在图中作一条直线y＝1.

由，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3,1)．

同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4,1)，(a1,1)，(a2,1)．

由图象可知a3<a4<a1<a2，故选B．

[归纳提升]　1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．

2．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．

(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或大于0且小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；

(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个大于0且小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．

3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．

【对点练习】❷ 已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是(　B　)

[解析]　由lga＋lgb＝0得ab＝1，

则f(x)与g(x)的单调性一致，故选B．

题型三　与对数函数相关的定义域和值域

角度1　求函数的定义域

例3 函数y＝的定义域是(　D　)

A．[1，＋∞) B．(，＋∞)

C．(1，＋∞) D．(，1]

[解析]　由题意得∴

∴<x≤1，故选D．

角度2　简单的值域问题

例4 若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为____.

[解析]　由题意得f(x)max＝logaa＝1，

f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，

∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝.

[归纳提升]　1.求对数型函数的定义域时常用的模型

2．与对数函数值域相关的问题

(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法．

(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．

【对点练习】❸ (1)函数y＝的定义域为__[－1，＋∞)__；

(2)若函数f(x)＝4＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝__4__.

[解析]　(1)要使函数有意义，须使

即解得x≥－1.

(2)∵y＝log2x是R上的增函数，

∴x＝a时f(x)取最大值，即f(x)max＝4＋log2a＝6，即a＝4.

课堂检测·固双基

1．(2020·山东金乡县高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　B　)

A．－2　　　　　　 B．2

C． D．－

[解析]　由题意得3＝loga8，

∴a3＝8，∴a＝2.

∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.

2．(2020·河北沧州市高一期中测试)函数y＝＋lg(2x＋1)的定义域(　D　)

A．(，3] B．(，3)

C．(－，3] D．(－，3)

[解析]　由题意得，∴－<x<3，故选D．

3．y＝2x与y＝log2x的图象关于(　B　)

A．x轴对称 B．直线y＝x对称

C．原点对称 D．y轴对称

[解析]　函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．

4．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　D　)

A．a>c>b B．b>c>a

C．c>b>a D．c>a>b

[解析]　a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D．

5．若loga＜1，则a的取值范围为__0＜a＜或a＞1__.

[解析]　loga＜1即loga＜logaa，当a＞1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga＜logaa总成立；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，

由loga＜logaa，得a＜，故0＜a＜.

故a的取值范围为0＜a＜或a＞1.