2024版新教材高中数学第六章平面向量及其应用单元素养水平监测新人教A版必修第二册

这是一份2024版新教材高中数学第六章平面向量及其应用单元素养水平监测新人教A版必修第二册，共12页。
第六章　单元素养水平监测(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，3)，且点A(－2，5)，则点B的坐标为(　　)A．(1，8)　　　　 　　B．(－1，8)　　　 　　　C．(3，－2)　　　 　　　D．(－3，2)2．化简 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝(　　)A．0 B．0 C． eq \o(AE,\s\up6(→)) D． eq \o(EA,\s\up6(→))3．若A(－2，3)，B(2，m)，C(6，5)为平面直角坐标系的三点，且A，B，C三点共线，则m＝(　　)A．－4 B．4 C．－6 D．64．在△ABC中，A＝ eq \f(π,3)，BC＝6，AB＝2 eq \r(6)，则C＝(　　)A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,4)或 eq \f(3π,4)5．已知平面向量a，b的夹角为 eq \f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|的值为(　　)A． eq \r(3) B．4 C． eq \r(7) D．2 eq \r(3)6．已知|a|＝3，|b|＝5，设a，b的夹角为135°，则b在a上的投影向量是(　　)A．－ eq \f(5\r(2),6)a B． eq \f(5\r(2),6)a C．－ eq \f(3\r(2),10)a D． eq \f(3\r(2),10)a7．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　　)A．钝角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形8．点M在边长为4的正△ABC内(包括边界)，满足 eq \o(CM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up6(→))＋λ eq \o(CB,\s\up6(→))(λ∈R)，则 eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(BM,\s\up6(→))的取值范围是(　　)A．[－4，4] B．[0，4] C．[0，6] D．[－6，6]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列关于平面向量的命题正确的是(　　)A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．两个非零向量a，b垂直的充要条件是：a·b＝0C．若向量 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa10．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)，则(　　)A．| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(5)B．△AOB是直角三角形C．以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为(4，4)D．与 eq \o(OA,\s\up6(→))垂直的单位向量的坐标为( eq \f(2\r(5),5)，－ eq \f(\r(5),5))或(－ eq \f(2\r(5),5)， eq \f(\r(5),5))11．已知点O是△ABC的重心，则下列说法中正确的有(　　)A． eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝0 B． eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))C． eq \o(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))) D． eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,6)( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝2a cos B，b＝2 eq \r(2)，△ABC的面积为S，则(　　)A．B＝ eq \f(π,3) B．B＝ eq \f(π,6) C．S的最大值为2 eq \r(3) D．S的最大值为6三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量a＝(x＋1，2)，b＝(2x，3)，若a∥b，则x＝________．14．在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝m eq \o(AD,\s\up6(→))＋n eq \o(EC,\s\up6(→))，则m－n＝________．15．已知向量a，b满足|a|＝4，|b|＝1，|a＋2b|＝2 eq \r(3)，则向量a，b的夹角为________．16．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10 eq \r(3)米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝________，塔高为________米．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题10分)已知a＝(1，2)，b＝(1，－1).(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．18．(本小题12 分)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点．(1)若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量 eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(AC,\s\up6(→))表示向量 eq \o(AP,\s\up6(→))；(2)求 eq \o(AP,\s\up6(→))·( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))的值．19．(本小题12 分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B＝2sin C，a2＝c2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC的周长l.20．(本小题12 分)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°.若CD＝2 eq \r(6)，AD＝8，________，求AB的长．从①BD＝6，∠ADC＝75°.②cos ∠ADB＝ eq \f(3,5)，∠CBD＝45°.③S△ABD＝12 eq \r(3)，∠CBD＝45°这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(本小题12 分)已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC 的面积．22．(本小题12 分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b(1－2sin2 eq \f(C,2))＝ eq \f(1,2)c.(1)求∠B；(2)若b＝6，求△ABC周长的取值范围．第六章　单元素养水平监测1．解析：设点B的坐标为(x，y)，则 eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)－(－2，5)＝(1，3)，所以(x，y)＝(1，3)＋(－2，5)＝(－1，8)，即点B的坐标为(－1，8).故选B.答案：B2．解析： eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝0，故选B.答案：B3．解析：依题意， eq \o(AB,\s\up6(→))＝(4，m－3)， eq \o(AC,\s\up6(→))＝(8，2)，因为A，B，C三点共线，则 eq \o(AB,\s\up6(→))∥ eq \o(AC,\s\up6(→))，因此4×2＝8(m－3)，解得m＝4，所以m＝4.故选B.答案：B4．解析：由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，所以 eq \f(6,\f(\r(3),2))＝ eq \f(2\r(6),sin C)，sin C＝ eq \f(\f(\r(3),2)×2\r(6),6)＝ eq \f(\r(2),2)，由于c0，则cos B＝ eq \f(1,2)，由B∈(0，π)可得，B＝ eq \f(π,3)，故A正确，B错误；由余弦定理，cos B＝ eq \f(1,2)＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，b＝2 eq \r(2)，则ac＝a2＋c2－8≥2ac－8，解得ac≤8，当且仅当a＝c＝2 eq \r(2)时取等号，S＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(\r(3),4)ac≤2 eq \r(3)，故C正确，D错误．故选AC.答案：AC13．解析：因为a∥b，所以2×2x＝3(x＋1)，故x＝3.答案：314．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，E为BD中点，∴E为AC中点，∴ eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CB,\s\up6(→))＝2 eq \o(EC,\s\up6(→))－ eq \o(BC,\s\up6(→))＝2 eq \o(EC,\s\up6(→))－ eq \o(AD,\s\up6(→))，∴m＝－1，n＝2，∴m－n＝－1－2＝－3.答案：－315．解析：设a与b的夹角为θ，|a＋2b|＝2 eq \r(3)，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝16＋4×4×1×cos θ＋4＝12，解得cos θ＝－ eq \f(1,2)，θ∈[0，π]，故θ＝ eq \f(2π,3).答案： eq \f(2π,3)16．解析：由题意，得∠CPD＝∠EDP－∠DCP＝2θ－θ＝θ，∴PD＝CD＝30，又∠DPE＝∠AEP－∠EDP＝4θ－2θ＝2θ，∴PE＝DE＝10 eq \r(3)，在△PDE中，由余弦定理的推论得，cos 2θ＝ eq \f(PD2＋DE2－PE2,2PD·DE)＝ eq \f(302＋（10\r(3)）2－（10\r(3)）2,2×30×10\r(3))＝ eq \f(\r(3),2)，∴2θ＝ eq \f(π,6)，∴θ＝ eq \f(π,12)，4θ＝ eq \f(π,3)，∵sin 4θ＝ eq \f(PA,PE)，∴PA＝PE·sin 4θ＝10 eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＝15.答案： eq \f(π,12)　1517．解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，故cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－1,\r(5)×\r(2))＝－ eq \f(\r(10),10).(2)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，故2a＋b＝(3，3)，ka－b＝(k－1，2k＋1)，又向量2a＋b与ka－b垂直，则3(k－1)＋3(2k＋1)＝0，解得k＝0.18．解析：(1)因为 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BP,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→)).(2)取BC中点D，则 eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(AD,\s\up6(→))，且AD⊥BC，∴ eq \o(AP,\s\up6(→))·( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝2 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(AD,\s\up6(→))＝2| eq \o(AD,\s\up6(→))|2.又因为AB＝AC＝3，BC＝4，所以AD＝ eq \r(32－22)＝ eq \r(5)，所以∴ eq \o(AP,\s\up6(→))·( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝2| eq \o(AD,\s\up6(→))|2＝10.19．解析：(1)因为sin B＝2sin C，a2＝c2＋bc，由正弦定理，得b＝2c，a2＝c2＋bc＝3c2，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以3c2＝4c2＋c2－4c2·cos A，所以3c2＝5c2－4c2·cos A，∴cos A＝ eq \f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝ eq \f(π,3).(2)由(1)可得a＝ eq \r(3)c，b＝2c，故c＝ eq \f(a,\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3)，b＝ eq \f(4\r(3),3)，∴l＝2＋ eq \f(2\r(3),3)＋ eq \f(4\r(3),3)＝2＋2 eq \r(3).20．解析：若选①，在△BCD中，∵CD＝2 eq \r(6)，BD＝6，∠BCD＝120°，∴由正弦定理可知 eq \f(BD,sin ∠BCD)＝ eq \f(CD,sin ∠CBD)，解得sin ∠CBD＝ eq \f(\r(2),2)，又∵∠CBD∈(0， eq \f(π,2))，∴∠CBD＝45°，即∠CDB＝180°－120°－45°＝15°，∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝60°，在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝8，BD＝6.由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，解得AB＝2 eq \r(13).若选②，在△BCD中，CD＝2 eq \r(6)，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BCD)＝ eq \f(CD,sin ∠CBD)，解得BD＝6，在△ABD中，cos ∠ADB＝ eq \f(3,5)，AD＝8，BD＝6，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，即AB＝ eq \f(2\r(265),5).若选③，在△ABD中，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，CD＝2 eq \r(6)，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BCD)＝ eq \f(CD,sin ∠CBD)，解得BD＝6，在△ABD中，由S△ABD＝ eq \f(1,2)AD·BD sin ∠ADB＝12 eq \r(3)，解得sin ∠ADB＝ eq \f(\r(3),2)，则∠ADB＝60°或120°，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，当∠ADB＝60°时，解得AB＝2 eq \r(13)，当∠ADB＝120°时，解得AB＝2 eq \r(37)，综上所述：AB＝2 eq \r(13)或2 eq \r(37).21．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C得：a2－b2－bc＝c2.由余弦定理得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－ eq \f(1,2)，又0