数学九年级上册2.1 圆精品课后测评

第2章   对称图形----圆

2.1  圆

知识点01  圆的定义

1. 圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫

圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”

【微点拨】

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

【微点拨】

①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

【即学即练1】1．圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（   ）

A．圆是曲线图形

B．同一圆中所有直径都相等

C．圆有无数多条对称轴

D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小

知识点02  点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内 d ＜ r ；

点P在圆上 d = r ；

点P在圆外 d ＞r.

 “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.

【微点拨】

点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；

【即学即练2】2．已知的直径为8，点P在同一平面内，，则点P与的位置关系是（    ）

A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断

知识点03  与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
【微点拨】

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
【微点拨】

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【微点拨】

①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.

【微点拨】

同圆或等圆的半径相等.

5.圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角.

【微点拨】

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.

【即学即练3】3．对于圆周率的研究，我国古代数学家们也做出了巨大贡献，如东汉初年的一本著作中就有“径一周三”的古率记载，这本著作是（    ）

A．《九章算术》 B．《海岛算径》

C．《周髀算经》 D．《孙子算径》

知识点04  确定圆的条件

（1）经过一个已知点能作无数个圆；

（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；

（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.

（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.

外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

【微点拨】

（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.

（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.

【即学即练4】4．已知是的弦，的半径为r，下列关系式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

考法01  判断点和圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内 d ＜ r ；

点P在圆上 d = r ；

点P在圆外 d ＞r.

 “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.

【典例1】如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ）

A． B．4 C． D．5

考法02  已知圆内一点求过该点的最长弦

直径是圆中最长的弦，我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦（即直径）；另一类是不经过圆心的弦，如图1，AB是⊙O中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA，OB，根据三角形的三边关系都有OA+OB>AB，即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。当然，经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径。

【典例2】如图，圆的弦中最长的是（   ）

A． B． C． D．

题组A  基础过关练

1．的半径为2，线段，则点P与的位置关系是（    ）

A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定

2．以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C关于的位置关系是（    ）

A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．不能确定

3．已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（  ）

A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O内

4．☉O的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与☉O的位置关系是(　　)

A．点P在☉O内 B．点P的☉O上

C．点P在☉O外 D．点P在☉O上或☉O外

5．点在半径为的外，则点到圆心的距离与的关系是（    ）

A． B． C． D．

6．已知的半径为5，点在内，则的长可能是（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

7．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　　）

A．1 B．2 C．3 D．无数

题组B  能力提升练

1．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（　　）

A．2 B．2 C． D．

2．圆外一点P到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（    ）

A．4 B．5 C．2或5 D．2

3．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（　　　）

A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定

4．数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（    ）

A．或 B． C． D．

5．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝8cm．Q为直线BC上一动点，如果以5cm为半径的⊙Q与矩形ABCD的各边有4个公共点，那么线段OQ长的取值范围是________．

6．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．

7．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为_____．

题组C  培优拔尖练

1．如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（   ）

A．2 B．3 C． D．

2．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是CD中点，若小正方形的边长为4cm，则该半圆的直径PQ的长为（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

3．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）

A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2

4．在Rt△ABC中，，AC=3，BC=4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（    ）

A．或 B．或

C． D．或

5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．5

6．小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个△ACD，其作法步骤是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C；②以B为圆心，AB长为半径画弧交AB的延长线于点D；③连结AC，BC，CD．下列说法不正确的是（　　）

A．∠A＝60° B．△ACD是直角三角形

C．BC＝CD D．点B是△ACD的外心

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　）

A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4