九年级上册2.2 圆的对称性优秀随堂练习题

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第2章 对称图形----圆
2.2 圆的对称性
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课程标准
课标解读
1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；
2.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法.
1、由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
3、通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；
知识精讲

知识点01 圆的对称性
1、 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
2、 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
【微点拨】
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
【即学即练1】1．下列说法不正确的是（ ）
A．圆周角的度数等于所对弧的度数的一半 B．圆是中心对称图形，也是轴对称图形
C．垂直于直径的弦必被直径平分 D．劣弧是大于半圆的弧
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形定义，圆的基本概念及定理即可判断出来．
【详解】
解：根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，而这条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，所以A正确；
圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，圆心是它的对称中心,它有无数条对称轴，过圆心的直线都是它的对称轴，所以B正确；
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦,所以C正确；
劣弧是小于半圆的弧，所以D不正确；
故选D．
知识点02 弧、弦、圆心角的关系
1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【微点拨】
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
【即学即练2】2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）


A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】
连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】
解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．

知识点03 垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【微点拨】
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【知识拓展】
1、根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
2、在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【即学即练3】3．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ）
A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm
【答案】C
【分析】
根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【详解】
解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理，，
即，
解得：，
所以铅球的直径为：cm，
故选：C．

【即学即练4】4．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）

A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
【答案】C
【分析】
连接，设圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：连接，

，
，
∵AB＝8cm，
，
设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
故选：．
能力拓展

考法01 利用垂径定理求值
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
【典例1】如图，在中，弦，，，，，则的半径为（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OA，OC，根据垂径定理得CN=6，AM=9，设的半径为x，根据勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】
解：连接OA，OC，

∵，，
∴，
∵，，
∴CN=6，AM=9，
设的半径为x，
∵，
∴，解得：或（舍去），
经检验是方程的根，且符合题意，
∴的半径为．
故选C．
考法02 垂径定理的推论
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3） 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为

【典例2】学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】
根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
分层提分

题组A 基础过关练
1．P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】
解：在过点P的所有⊙O的弦中，


如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
2．如图，因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以CD⊥EF，根据是（　　）

A．垂直于弦的直径平分这条线 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等
【答案】C
【分析】
根据垂径定理的推论即可得出答案.
【详解】
因为⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，所以
理由是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
故选：C.
3．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆; B．任何三角形有且仅有一个外接圆
C．平分弦的直径必垂直弦; D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
【答案】B
【分析】
根据圆的性质逐一判断即可.
【详解】
A. 若三点在同一条直线上时，不能确定圆，故A错误；
B. 根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，故B正确；
C. 两条直径互相平分，但不一定垂直，故C错误;
D. 等腰直角三角形的外心是斜边的中点，故D错误.
故选B.
4．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是( )
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
【答案】C
【分析】
先根据勾股定理计算出AC的长，再比较AC与2.5的大小，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
解：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，
∴AC==，
∵r=2.5＞，
∴点C在⊙A内．
故选：C．
5．过圆上一点可以做圆的最长弦（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【解析】
圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条.
故选：A.
6．下列叙述中不正确的是（　　）
A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧
【答案】B
【分析】利用轴对称的性质、中心对称图形、以及弦、弧的概念进行判断后即可得到答案．
【详解】
解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；
B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误；
C.连接圆上两点的线段叫弦，正确；
D.圆上两点间的部分叫弧，正确；
故选：B．
7．在⊙Ｏ中，弦AB、CD互相垂直，且垂足E点将CD分为3cm和7cm的两段，那么圆心O到AB的距是（　　 ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，如图所示， 过O分别作OM⊥CD、ON⊥AB于M、N，由ON⊥AB可知ON是点O到AB的距离，再结合CD⊥AB、OM⊥CD、ON⊥AB，可知四边形EMON是矩形，即只需求出EM即可；接下来利用垂径定理，结合OM⊥CD，再由已知条件即可解答此题.

【详解】
根据题意画出图形，如图所示，过O分别作OM⊥CD、ON⊥AB于M、N，

∵点E将CD分成3cm和7cm两部分，
∴CE=3cm，DE=7cm，CD=10cm.
∵OM⊥CD，
∴CM=DM=12CD=5cm，
∴EM=CM-CE=2cm.
∵CD⊥AB，OM⊥CD，ON⊥AB，
∴∠MEN=∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴ON=EM=2.
∵ON⊥AB，
∴ON是点O到AB的距离.
即点O到AB的距离是2cm.
故选B.
题组B 能力提升练
1．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
【答案】B
【分析】
分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
【详解】
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．


2．⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（  ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．
【详解】
解：∵弦AB所对的劣弧为120°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
又OC⊥AB，
∴OC=OA=1；
故选：B．

3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（ ）

A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】
当CD∥AB时，PM有最大值，连接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC的长即可得到答案.
【详解】
当CD∥AB时，PM有最大值，
连接OC、OM，
∵直径AB=10，
∴OC=5，
∵M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CD∥AB，CP⊥AB，
∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°，
∴四边形OPCM是矩形，
∴PM=OC=5，即m=5，
故选：C.

4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x轴上、点C在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为（　　）

A．2 B．2﹣2 C．4 D．2﹣4
【答案】B
【分析】作圆，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP-DP求解．
【详解】
作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：

∵A（，0），B（3，0），
∴E（2，0），
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2，1），
∵C（0，5），
∴PC==2，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP），
∴CD最小值为：2-2．
故选B．
5．在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为____
【答案】1或7cm
【分析】
先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3+4=7cm，AB、CD位于圆心同侧4-3=1cm．
【详解】
解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵ AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB=AB=3cm，
∵OB=5cm，
EO= 4cm，
同理，OF=3cm，
∴EF=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF=7cm，
∴EF=1cm或EF=7cm．
故答案为：1或7cm．

6．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为_____cm．
【答案】或
【分析】
根据A点所在的位置分类讨论：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上．
【详解】
①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB，


∵AB=AC
∴点A在BC的中垂线上
∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线
∴AO垂直平分BC
∵⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm
∴OA=OB=5，OD=3
∴AD=8
根据勾股定理：
∴再根据勾股定理：；
②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB，

∵AB=AC
∴点A在BC的中垂线上
∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线
∴AO垂直平分BC
∵⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm
∴OA=OB=5，OD=3
∴AD=2
根据勾股定理：
∴再根据勾股定理：；
综上所述：或．
7．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．

【答案】
【分析】
先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．
【详解】
由题意，有以下两个临界位置：
（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合，

连接OD，
由折叠的性质得：，
，
在中，，
由垂径定理得：；
（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时，
又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，
；
综上，折痕CD的长度取值范围是，
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】
解：取DE的中点O，过点O作OG⊥MN于点G，作CH⊥AB于点H.
∴，
当弦心距OG最短时，MN取最大值，
∴当点C，O，G三点共线时，即当点O在CH上时，MN取最大值，
连接OM.
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，

∴CH==2.4
∴OH=2.4-1.5=0.9，
∴OM=1.5，
则在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，
根据垂径定理，MN=2MH=2.4.
故选D.

2．点为半径是6的上两点，点B为弧的中点，以线段为邻边作菱形，使点D落在内（不含圆周上），则下列结论：①直线必过圆心O；②菱形的边长a的取值范围是；③若点D与圆心O重合，则；④若，则菱形的边长为或．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【分析】
①根据垂径定理的推论即可解决问题；②当是直径时，边长最大，最大值为，故②错误；③如图2中，当点与点重合时，易知，都是等边三角形，由此即可解决问题；④分两种情形分别求解即可判定；
【详解】
解：如图1中，连接、交于点．

四边形是菱形，
垂直平分线段，
直线经过圆心，设直线交于．故①正确，
当是直径时，边长最大，最大值为，故②错误，
如图2中，当点与点重合时，易知，都是等边三角形，
，
．故③正确，

如图3中，当点在的延长线上时，

，，
，
，，
，
，
当点在线段上时，同法可得，
或，故④错误；
故选：C．
3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为EC-OC．
【详解】
解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．

4．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（ ）

A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）
【答案】C
【分析】
设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
【详解】
解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+，MC=ON
在中，
由勾股定理得：



x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．

5．如图，已知的半径为，是直径的延长线上一点，，是的一条弦，，以，为相邻两边作平行四边形，当、点在圆周上运动时，线段长的最大值为(　　　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OC，设CD交PE于点K，连接OK，求出OK，OP的值，利用三角形的三边关系即可解答．
【详解】
连接OC，设CD交PE于点K，连接OK，如图1．
∵四边形PCED是平行四边形，
∴EK=PK，CK=DK，
∴OK⊥CD，
在Rt△COK中，OC=5，CK=3，
∴OK4．
∵OP=OB+PB=7，
∴7﹣4≤PK≤7+4，
∴3≤PK≤11，
∴当A、K、B、P在一条直线上时，如图2，PK的值最大，为11．
∵PE=2PK，
∴PE的最大值为22．
故选：B．

6．如图，在平面直角坐标系中有一半径为5的和点，B、D为夹在两坐标轴正半轴之间的劣弧（含交点）上的两点，且，以，为边作矩形，则对角线的最小值是（ ）

A． B． C．5 D．4
【答案】B
【分析】
连接BD，根据矩形的性质可得：AC＝BD，ED＝EB，连接OE，如图1，由垂径定理得：OE⊥DE，则OE的大小决定BD的大小，即AC的大小，所以如图2中当O、A、E共线时，此时OE最大，DE最小，即AC最小，然后设DE＝a，在直角△ODE中根据勾股定理即可列出关于a的方程，解方程即可求出a，进而可求出AC的长．
【详解】
解：如图1，连接BD，交AC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，E是BD的中点，
连接OE，∴OE⊥BD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，∴OE的大小决定DE的大小，即BD的大小，AC的大小，
∴当OE最大时，DE最小，即AC最小，
如图2，当O、A、E共线时，此时OE最大，DE最小，即AC最小，
∵A（2，1），∴OA＝，
∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE，
设DE＝a，则OE＝+a，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2＝DE2+OE2，
∴，即a2+a﹣10＝0，解得：a＝﹣2（舍去）或，
∴AC＝BD＝2a＝2.
故选：B．

7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A．点（0，3） B．点（2，3）
C．点（5，1） D．点（6，1）
【答案】C
【详解】
∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．