初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程精品同步测试题

第5章 二次函数

5.4二次函数与一元二次方程

知识点01  二次函数与一元二次方程的情况

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
 

【微点拨】

二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．

抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．

抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．

当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；

当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；

当方程组无解时两函数图象没有交点．

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．

【微点拨】

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

【即学即练1】观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（       ）

A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间

【即学即练2】如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（       ）

A． B． C． D．0

知识点02  抛物线与x轴的两个交点的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

∴ 

即  （△＞0）

【即学即练3】若，是方程（c为常数）两个不相等的实数根，且满足，则c的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

知识点03  抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

注：a＜0的情况请同学们自己完成．

【微点拨】

抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

【即学即练4】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是(     )

A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7

考法01  二次函数图像与坐标轴的交点问题

【典例1】 关于二次函数的三个结论，①图象与y轴的交点为；②对任意实数m，都有与对应的函数值相等；③图象经过点；其中，正确结论是（       ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

考法02  根据二次函数的图像确定相应方程根的情况

【典例2】抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（        ）

A． B．

C． D．

题组A  基础过关练

1．抛物线与轴的交点坐标为（       ）

A．(-3，0) B．(0，-3) C． D．

2．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（       ）

A．－4 B．4 C．5 D．－5

3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，ax2＋bx＋c≥4；③若点（-2，m）,（3，n）在抛物线上，则m<n；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一根为－1，则另一根为5．其中正确的是（        ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

4．二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴交点的情况是（       ）

A．没有公共点 B．有一个公共点

C．有两个公共点 D．与a的值有关

5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）

A．两个正根 B．两个负根

C．一个正根，一个负根 D．0和一个正根

6．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．

7．二次函数y＝ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足下表：

则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为______．

8．若函数的图象与关于的函数的图象有交点，则的取值范围是_________．

9．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．

10．已知二次函数．

（1）求抛物线开口方向及对称轴．

（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．

题组B  能力提升练

1．若抛物线y=与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（       ）

A．24 B．36 C．48 D．96

2．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为(     )

A． B． C． D．

3．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(     )

A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3

4．在平面直角坐标系中，点在y轴负半轴上，则下列a的值中，符合条件的是（       ）

A．0 B．1 C．－1 D．2

5．如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点、点，则①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．

7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．

8．抛物线上部分点的横坐标是，纵坐标的对应值如表：       

由表可知，抛物线与轴的一个交点是（1，0），则与轴另一个交点的坐标是____．

9．已知二次函数的图像的顶点为，与x轴交于点，根据图像回答下列问题：当x_______时，y随x的增大而减小：方程的两个根是___________．

10．如图，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．

(1)求该抛物线相应的函数表达式；

(2)判断的形状，并说明理由．

题组C  培优拔尖练

1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　）

A．abc＞0 B．3a+c＞0

C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（       ）

A．4 B． C． D．

3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

4．二次函数，其中，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有3个交点；②当时，都有y随x的增大而增大；③若当时，都有y随x的增大而减小，则；④该函数图象与直线的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论是（       ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①③④

5．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（       ）

A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2 B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1

C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2 D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2

6．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____．

7．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．

8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＋b＋c＝0．下列四个结论：

①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；

②若抛物线经过点（－1，0），则b＝0；

③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；

④点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＞x2＞1时，y1＞y2．

其中正确的是____________（填写序号）．

9．如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，（点 位于点 的左侧）， 为顶点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．

(1)求线段 的长；

(2)沿直线 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 ，若点 在反比例函数 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．

10．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；

(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；

(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；

(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．

11．已知抛物线，a、b、c为实数．

(1)当且时

①若抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式；

②若中，恒有，求c的取值范围；

(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于；直线与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值．

12．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=a（x-m）（x-n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y=h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．

(1)若a=-1，m=1，n=3，

①求线段AB的长；

②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；

(2)若点A在直线BC的上方，

①求m 的取值范围；

②令h=m²，一定存在一个a的值，对于任何符合（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2-x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．