4.3 实数-八年级数学上册同步精品讲义

第4章 实数
4.3 实数
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课程标准
课标解读
1. 了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类
2. 了解实数与数轴上点的一一对应关系
3. 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小
1. 在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类
2. 了解有理数、无理数以及实数的有关概念，理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值几何概念
3. 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴表示大小
知识精讲

知识点01 实数的概念及分类
1、实数的分类



2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
【微点拨】
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【即学即练1】1．在下列实数中，是无理数的为（　　）
A． B． C．1.01001 D．
知识点02 实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
【即学即练2】2．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 平方根、算术平方根和立方根
1、 平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。



3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【即学即练3】3．下列各数中无理数有（ ）
－1.732，，π，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
知识点04 实数大小的比较
1、 数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【微点拨】
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即学即练4】4．如图，，，是正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于，，大小关系的正确判断是（ ）．

A． B． C． D．
知识点05 实数的运算
1、加法交换律： 
2、加法结合律 ：
3、乘法交换律： 
4、乘法结合律 ：
5、乘法对加法的分配律： 
6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
【微点拨】1、有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
2、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
【即学即练5】5．已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
能力拓展

考法01 实数的大小比较
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
【典例1】在﹣，0，﹣1，1这些数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
考法02 实数的分类
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【典例2】在5，，，0.8四个数中，无理数是（　　　）
A．5 B． C． D．0.8
分层提分

题组A 基础过关练
1．下列各数：0，3.14，﹣π， ，，0.121221222122221…（每两个1之间每次增加一个2），其中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列实数：，0，，﹣1.5，，2.161161116⋯，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在下列各数中，无理数是（　　　）
A．0 B． C． D．2
4．在下列实数中，无理数是（ ）
A．3 B． C． D．0
5．在四个实数中，最小数的是（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣
6．在下列各数：，0.3030030003…（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列各数中无理数有（ ）个．
，，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题组B 能力提升练
1．下列说法正确的是（ ）
A．是有理数 B．5的平方根是
C．2＜＜3 D．数轴上不存在表示的点
2．与最接近的整数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．在-1.4141，，，，，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下： 利用以上运算的规律写出 f（n）＝___________ （n 为正整数）；f（1）•f（2）•f（3）…f（100）＝___________ ．
6．观察下列等式：1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，…，根据你发现的规律，则第20个等式为_____．
7．设，，，…，．设，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．
题组C 培优拔尖练
1．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
3．估算的运算结果应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
4．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
5．一列数， ， ，…… ，其中=﹣1， =， =，……， =，则×××…×=（　　）
A．1 B．-1 C．2017 D．-2017
6．定义运算，比如2⊗3=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⨂（﹣3）=；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b=b⊗a；④a⊗（b+c）=a⊗c+b⊗c，其中正确是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
7．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）

A． B． C． D．