4.1 平方根-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第4章 实数
4.1 平方根
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课程标准
课标解读
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
1.了解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根
知识精讲

知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【微点拨】
当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【即学即练1】1．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．－2是4的平方根 D．的算术平方根是4
知识点02 平方根的性质


【微点拨】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
【即学即练2】2．有理数14的算术平方根是（ ）
A．7 B．14 C． D．
知识点03 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即学即练3】3．已知，，那么＝（ ）
A．0.04147 B．0.4147 C．0.01311 D．0.1311
能力拓展

考法01 平方根和算术平方根的区别和联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
【典例1】下列命题错误的是（　　　）
A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根
C．平方根等于它本身的数是0 D．的算术平方根是
考法02 求一个数的平方根
如何手算求-一个数的平方根：
述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下:
1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为-段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数;
2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位.上的数(竖式中的3);
3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);
4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(3x20除256，所得的最大整数是4，即试商是4);
5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数，就把试商减小再 试(竖式中(20*3+4)x4= 256，说明试商4就是平方根的第二位数);
【典例2】16的算术平方根是( )
A．4 B．-4 C． D．8
分层提分

题组A 基础过关练
1．化简的结果为（ ）
A． B．2 C．4 D．16
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．0没有平方根 B．1的算术平方根是 C．4的平方根 D．的平方根是
3．的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．9
4．的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
5．实数8的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
6．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．若一个数的平方等于9，则这个数等于（ ）
A． B．3 C． D．81
题组B 能力提升练
1．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）
A．1或9 B．3 C．1 D．81
2．已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
3．下列各数没有平方根的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．5
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．算术平方根等于自身的数只有1
C．直角三角形的两锐角互余 D．如果，那么
5．若与互为相反数，则=____．
6．方程的根是__________．
7．已知，则整数________．
题组C 培优拔尖练
1．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
3．满足>0.99的最小整数n的值是( )
A．48 B．49 C．50 D．51
4．若的三边a、b、c满足，则的面积是（　　　）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的有（ ）个
①同位角相等；②三角形的内角和是180º；③＜；④如果a²=b²，那么a=b．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列说法中，正确的是 （ ）
A．64的平方根是8 B．的平方根是4和－4
C．没有平方根 D．4的平方根是2和－2