高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 2.5.2 圆与圆的位置关系(含解析)

2．5.2　圆与圆的位置关系

学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．

知识点　两圆的位置关系及其判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：

(2)代数法：设两圆的一般方程为

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，

联立方程得

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

思考　根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？

答案　不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．

1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　)

2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)

3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　×　)

4．若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　√　)

一、两圆位置关系的判断

例1　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？

解　将两圆的一般方程化为标准方程，

C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，

C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，

圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；

圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)．

从而|C1C2|＝＝5.

当1＋＝5，k＝34时，两圆外切．

当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．

当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，

即14＜k＜34时，两圆相交．

当1＋＜5或|－1|＞5，

即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．

反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．

(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．

跟踪训练1　(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

答案　B

解析　两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r<<R＋r，所以两圆相交，选B.

(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．

答案　4

解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.

半径之和为3＋1＝4，因为5>4，

所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．

二、两圆的公共弦问题

例2　已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度．

解　(1)将两圆方程配方化为标准方程，则

C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，

C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，

∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，

圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝.

∴|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，

|r1－r2|＝|5－|，

∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，

∴两圆相交．

(2)将两圆方程相减，

得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.

(3)方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为

d＝＝3，

∴公共弦长为l＝2＝2＝2.

方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

解得或

∴|AB|＝＝2.

即公共弦长为2.

反思感悟　两圆的公共弦问题

(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

跟踪训练2　(1)两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　)

A．5  B．5  C．10  D．10

答案　D

(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________．

答案　

解析　由题意将两圆的方程相减，

可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为

x＋y－1＝0.

又圆C3的圆心坐标为(1,1)，

其到直线l的距离为d＝＝，

设圆C3的半径为r，

由条件知，r2－d2＝－＝，

所以弦长为2×＝.

圆系方程的应用

典例　(1)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．

解　方法一　设经过两圆交点的圆系方程为

x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，

即x2＋y2－x－y－6＝0，

所以圆心坐标为.

又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，

即λ＝－.

所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.

方法二　由

得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.

由解得

所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，

线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．

由得

即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，

半径为＝4.

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.

(2)求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程．

解　设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.

联立得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.

因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，

故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.

[素养提升]　(1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．

(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．

1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)

A．相离   B．相交

C．外切   D．内切

答案　B

解析　化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交．

2．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　)

A．2   B．－5

C．2或－5   D．不确定

答案　C

解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，

圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.

依题意有＝3＋2，

即m2＋3m－10＝0，

解得m＝2或m＝－5.

3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A．x＋y＋3＝0   B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0   D．4x－3y＋7＝0

答案　C

解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.

4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________．

答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36

解析　设圆C的半径为r，

圆心距为d＝＝5，

当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，

当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，

∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16

或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.

5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.

答案　1

解析　将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，

圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.

1．知识清单：

(1)两圆的位置关系．

(2)两圆的公共弦．

2．方法归纳：几何法、代数法．

3．常见误区：将两圆内切和外切相混．

1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　)

A．相交   B．外切

C．内切   D．外离

答案　C

解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，

所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．

2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　)

A．(1,0)和(0,1)   B．(1,0)和(0，－1)

C．(－1,0)和(0，－1)   D．(－1,0)和(0,1)

答案　C

解析　由

解得或

所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．

3．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＜1   B．m＞121

C．1≤m≤121   D．1＜m＜121

答案　C

解析　圆C1的方程可化为x2＋y2＝m(m>0)，则圆心为C1(0,0)，半径r1＝；

圆C2的方程可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，则圆心为C2(－3,4)，半径r2＝6.

∵圆C1与圆C2有公共点，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，

即|－6|≤≤＋6，

∴解得1≤m≤121.

4．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　)

A．内切   B．相交

C．外离   D．外切

答案　CD

解析　两圆的圆心距为d＝＝，

两圆的半径之和为r＋4，

因为<r＋4，

所以两圆不可能外切或外离，故选CD.

5．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　)

A．4条   B．3条

C．2条   D．1条

答案　C

解析　圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，

O1(3，－8)，r＝11，

圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，

∴|O1O2|＝ ＝13，

∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，

∴两圆相交．∴公切线有2条．

6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____________．

答案　a2＋b2>3＋2

解析　由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1.

因为两圆外离，所以>＋1，

即a2＋b2>3＋2.

7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______．

答案　x＋3y＝0

解析　圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.

又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.

8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．

答案　x2＋y2－x－y－＝0

解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，

故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.

9．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．

解　设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，

因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，

将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0，

作O1H⊥AB，H为垂足，则AH＝AB＝，

所以O1H＝＝＝.

由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为

＝，得r＝4或r＝20，

故圆O2的方程为

(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

解　两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，

(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，

半径分别为和.

(1)当两圆外切时，

＝＋，

解得m＝25＋10.

(2)当两圆内切时－＝5，

解得m＝25－10.

(3)两圆的公共弦所在直线方程为

(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，

即4x＋3y－23＝0，

∴公共弦长为2＝2.

11．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A．(x－5)2＋(y－7)2＝25

B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15

C．(x－5)2＋(y－7)2＝9

D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9

答案　D

解析　设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，

∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；

若动圆与已知圆内切，则＝4－1，

∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.

12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)

A．4  B．4  C．8  D．8

答案　C

解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，

∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．

设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，

则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，

即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，

整理得x2－10x＋17＝0，

∴a＋b＝10，ab＝17.

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，

∴|C1C2|＝＝＝8.

13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2，0)∪(0,2)   B．(－2，2)

C．(－1,0)∪(0,1)   D．(－1,1)

答案　A

解析　∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，

∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．

|OC|＝，

由2－1<|OC|<2＋1，得1<<3，

∴0<|a|<2，

∴－2<a<0或0<a<2.

14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．

答案　4

解析　连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，

在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，

∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，

∴|AB|＝4.

15．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________．

答案　x2＋y2－3x＋y－1＝0

解析　设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，

则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，

把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，

所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.

16．已知动点P与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．

解　(1)设P(x，y)，

则＝2，即OP|2，

所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，

整理得(x＋1)2＋y2＝4.

所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)因为点Q的坐标为(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，

所以，圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2.

因为圆Q与圆C有公共点，

又圆Q与圆C的两圆心距为

＝＝，

所以≤≤2＋t，

即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，

解得－3＋2≤t≤3.

所以，实数t的取值范围是.