广西专版2023_2024学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时用空间向量研究直线平面的垂直关系课件新人教版选择性必修第一册

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1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时　用空间向量研究直线、平面的垂直关系课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.会用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与直线、直线与平面及平面与平面的垂直问题.3.通过本节课学习,提升学生数学运算、直观想象以及逻辑推理的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知空间中直线、平面的垂直 答案:C解析:∵平面α⊥平面β,∴n·m=0.将选项代入验证,可知C满足.故选C.课堂·重难突破一 证明线线垂直规律总结 利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤:(1)基向量法①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;②把两条直线的方向向量用基底表示;③利用向量的数量积运算,计算出两条直线的方向向量的数量积为0,得到方向向量垂直;④由方向向量垂直得到两条直线垂直.(2)坐标法①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;②根据所求出的点的坐标求出两条直线的方向向量的坐标;③计算出两条直线的方向向量的数量积为0,得到方向向量垂直;④由方向向量垂直得到两条直线垂直.学以致用1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求证:AC⊥BC1.证明:在△ABC中,∵AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∴AC,BC,C1C两两互相垂直.如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),二 证明线面垂直典例剖析2.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.证明:如图,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,互动探究(变问法)本例条件不变,试问:在线段A1B1上,是否存在点P,使得AP⊥平面A1B1D?若存在,说明点P的位置;若不存在,说明理由. 规律总结 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一:(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积,由数量积为0,得到线线垂直.(5)利用线面垂直的判定定理,得到线面垂直.方法二:(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)根据直线的方向向量与平面的法向量共线,得到线面垂直.学以致用2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P为DD1的中点.求证:PB1⊥平面PAC.证明:如图,以D为原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(1,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),B1(1,1,2),三 证明面面垂直证明:如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,规律总结向量法证明:面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明:的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.学以致用3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在线段AE上求一点M,使得A1M⊥平面AED.(1)证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),令y=1,则z=-2.所以n1=(0,1,-2)为平面AED的一个法向量.同理,n2=(0,2,1)为平面A1FD1的一个法向量.因为n1·n2=0+2-2=0,所以n1⊥n2,所以平面AED⊥平面A1FD1.随堂训练1.(多选题)已知两条直线的方向向量分别为a,b,则下列选项能使这两条直线垂直的为(　　)A.a=(1,0,0),b=(0,-3,0)B.a=(0,1,0),b=(1,0,1)C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1)D.a=(1,0,1),b=(-1,0,1)答案:ABD2.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面α的一个法向量为n=(-2,0,-4),则(　　)A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交答案:B解析:由题意可知,a∥n,故l⊥α.3.已知平面α的一个法向量为m=(1,2,0),平面β的一个法向量为n=(2,-1,0),则平面α与平面β的位置关系是(　　)A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能确定答案:C解析:∵m·n=0,∴m⊥n,∴α⊥β.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)A.AC B.BD C.A1D D.A1A答案:B5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,DA⊂平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC.又底面ABCD为正方形,所以DA⊥DC.如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,