第二章 直线和圆的方程（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

班级              姓名             学号             分数           

第二章 直线和圆的方程 （B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，解得或a＞3，

则实数a的取值范围是，

故选：C.

2．直线经过点和以为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

画出图象如下图所示，

由图可知，直线l的斜率满足或

所以直线的斜率的取值范围是.

故选：D

3．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】到点的距离为2的点在圆上，

所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，

即两圆相交，故，

解得或，

所以实数a的取值范围为，

故选：A．

4．设圆，圆，则圆，的公切线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【解析】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．

故选：B．

5．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（       ）

A．2， B．－2， C．－2， D．2，

【答案】A

【解析】易知，则直线的斜率为-2，

所以，即．又AB的中点坐标为，

代入，得.

故选：A.

6．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.

当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.

设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.

故选：C.

7．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（       ）

A． B．10 C． D．5

【答案】A

【解析】圆的方程可化为，则 ，

因为，

故点在圆内，

过点的最长弦一定是圆的直径，当时，最短，

此时，

则，

故选：A．

8．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】可化为，

故圆N的圆心为，半径为，

由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，

所以且，故，

当的坐标为时，，

在△NAB中，，

又，在上单调递减，

故为锐角，且当时，最大，

又在上单调递增，

所以当最大时，取得最大值，且最大值为，

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（       ）

A．若两圆内切，则r＝9

B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2

C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3

D．若两圆有三条公切线，则r＝2

【答案】ABC

【解析】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．

对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；

对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，

（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）

分别设两圆的圆心为,则

如图，所以，解得r＝3，故C正确；

对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．

故选：ABC

10．（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（       ）

A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直

【答案】ABC

【解析】直线的斜率为，过定点，

直线的斜率为，过点．

若直线与相交，则，而，

即可以成立，A正确；

若直线与重合，则，且，而，

可以有，B正确；

若直线与平行，则且，而，

可以有，C正确；

若直线与垂直，则，则，

与矛盾，直线与不可能垂直，D错误．

故选：ABC．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，圆，则（       ）

A．若c=0，则点O在圆C上

B．直线l与坐标轴围成的三角形的面积为

C．若点O在圆C内部，则c的取值范围为（0，+∞）

D．若，则圆C与OAB中与平行的中位线相切

【答案】ACD

【解析】对于，圆，令，恰符合；

对于B，由已知，，三角形面积为；

对于C，点O在圆C内部，则，即；

对于D，圆，

,,中点为，中点为，

与平行的中位线方程为，即，

圆心到此中位线的距离为，

此条中位线与圆相切.

故选：ACD.

12．在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（       ）

A．的周长为

B．（不重合时）平分

C．面积的最大值为6

D．当时，直线与轨迹相切

【答案】ABD

【解析】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为．

对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；

对于B中，因为，所以，所以，

延长到，使，连结，如图所示，

因为，所以，所以，

所以，，

因为，所以，所以，

即平分，所以B正确．

对于C中，由的面积为，

要使得的面积最大，只需最大，

由由点的轨迹为，可得，

所以面积的最大值为，所以C错误；

对于D中，当时，或，

不妨取，则直线，即，

因为圆心到直线的距离为，

所以，即直线与圆相切，所以D正确．

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.

【答案】

【解析】由，得，

所以圆的圆心为，半径为，

因为圆，所以圆的圆心为，半径为，

因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，

即，解得，

所以的值为.

故答案为：.

14．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．

【答案】

【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，

所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，

所以，

所以直线的方程为，即；

方法2：设，，则由，可得，

同理可得，

所以直线的方程为.

故答案为：

15．过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________．

【答案】

【解析】由已知得直线 l的方程为，则，，

由此可得直线PR和QS的方程分别为和，

点到直线的距离为，同理，

直线和直线的距离为，

故

,

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：.

16．已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为____．

【答案】

【解析】由平行线距离公式得：，

设，则，

所以

，

设点，如下图：

则有：

即当三点共线时等号成立)，

综上，．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

已知圆过点，．

(1)求圆心所在直线的方程；

(2)求周长最小的圆的标准方程；

(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；

(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．

【解析】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，

∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，

∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．

（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，

即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．

则所求圆的标准方程为．

（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，

又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，

∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），

∴半径，

∴所求圆的标准方程是．

（4）设圆心的坐标为（m，2），

由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，

∴圆的半径，

∴所求圆的标准方程为．

18．（12分）

已知圆：，直线：，点．

(1)判断直线与圆的位置关系；

(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；

(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．

【解析】（1）因为直线：过定点，

又，所以在圆内，

所以直线与圆相交；

（2）设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；

（3）设，，因为，所以，

所以，化简得． ①

又消去并整理得，

所以②，． ③

由①②③联立，解得，

所以直线的方程为或．

19．（12分）

已知直线和点，．

(1)在直线l上求一点P，使的值最小；

(2)在直线l上求一点P，使的值最大．

【解析】（1）设A关于直线l的对称点为，则，

解得，故，

又∵P为直线l上的一点，则，

当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，

点P即是直线与直线l的交点．

由 ，解得，

故所求的点P的坐标为．

（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，

此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,

又∵直线AB的方程为，

∴由 ，解得，

故所求的点P的坐标为．

20．（12分）

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．

(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求当取得最小值时直线l的方程．

【解析】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，

∴直线l的斜率，

则设直线l的方程为，，

令，得；令，得．

∴．

∵，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立．

∴面积的最小值为6．

此时直线l的方程为，即．

（2）设，，，．

∵A，P，B三点共线，∴，整理得，

∴，当且仅当，即时等号成立，

∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．

21．（12分）

已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值．

【解析】（1）设圆C的方程为，

∴，解得，

∴圆C的方程为，其标准方程为．

（2）设，．由题意得直线l的方程为，

由，得，

∴，

∴，

∴，

.

即为定值0．

22．（12分）

已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上，该圆与直线相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．

(1)求圆C的标准方程．

(2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）设圆C的方程为，

由题意，知，解得或，

又圆C的面积，∴，，

∴圆C的标准方程为．

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意．

当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为，，，

由，得，

∵直线l与圆C相交于不同的两点，

∴，

解得或．

，，

∵线段OD过线段AB的中点，且线段AB与OD互相平分，

∴点D的坐标为，即，

又MC的斜率为，∴，解得．

由于，故不存在这样的直线l．