高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质精品复习练习题

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第2讲：三角函数的图象与性质(重点题型方法与技巧)
目录
类型一：解三角不等式
类型二：三角函数的周期问题
类型三：三角函数的奇偶性问题
类型四：三角函数的对称性问题
类型五：三角函数的单调性问题
类型六：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题
角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
角度3：分式型求值域或最大(小)值
类型七：新定义问题













类型一：解三角不等式
典型例题
1．（2022·湖北·沙市中学高一期末）函数的定义域为_____________ ．
【答案】
【详解】由题意得：，故，则
故答案为：
2．（2021·江苏·高一专题练习）函数的定义域是___________．
【答案】，
【详解】由得：，
所以，.
故答案为：，
3．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】由题意，.
故答案为：.

类型二：三角函数的周期问题
典型例题
1．（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A选项，为偶函数，故A错误；
B选项，，则，
故为偶函数，故B错误；
C选项，，最小正周期，且为奇函数，故C正确；
D选项，为奇函数，最小正周期，故D错误．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为
         
         
         
所以，
故选: B.
3．（2022·河北·高三阶段练习）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
所以的最小正周期．
故选：C．
4．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）下列函数中，以为最小正周期的偶函数为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又，所以周期为，故正确；
对于B，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
但，不是周期函数，故错误；
对于C，，定义域关于原点对称，，为奇函数，故错误；
对于D，，定义域关于原点对称，，为偶函数，
又周期为，故错误；
故选：A.
5．（2022·全国·高一课时练习）给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（    ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【详解】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．

对于③，的最小正周期．
对于④，的最小正周期．
故选：A．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．
故选：C
2．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A：最小正周期为，故A错误；
对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确；
对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误；
对于D：，则，
故为偶函数，故D错误.
故选：B
3．（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B：的最小正周期，故B正确；
对于C：的最小正周期，故C错误；
对于D：的最小正周期，故D错误；
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小正周期为的函数的个数是（    ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为；对于②，，其周期；对于③，其周期为；对于④，，其周期．所以共有2个函数的周期为．
故选：B．
类型三：三角函数的奇偶性问题
典型例题
1．（2022·北京·北理工附中高三阶段练习）函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由三角函数的性质可知若的图象关于轴，
则，即，，
故函数的图象关于轴对称的充分必要条件是，，
故选：C．
2．（2022·安徽·蚌埠二中高三阶段练习）已知是周期为的奇函数，则可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，
对于A，，，
为偶函数，A错误；
对于B，，，
为偶函数，B错误；
对于C，，
，
不是的周期，C错误；
对于D，，，
为奇函数；
又的最小正周期，满足题意，D正确.
故选：D.
3．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，函数，最小正周期为，且是偶函数；
不满足题意
对于B，函数，最小正周期为，不满足题意；
对于C，函数，最小正周期为，不满足题意；
对于D，函数，最小正周期为，且是奇函数.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，则常数的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】依题意，是奇函数，
函数是奇函数，所以是奇函数，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
5．（2022·天津市武清区杨村第一中学高三阶段练习）已知函数（，为常实数），且，则______．
【答案】
【详解】因为，定义域关于原点对称，
设，
，
则是奇函数，
因为，所以，所以．
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数是偶函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：对于A：为奇函数，故A错误；
对于B：定义域为，且，
故为奇函数，即B错误；
对于C：定义域为，且，
所以为奇函数，故C错误；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，故D正确；
故选：D
2．（2022·山东威海·三模）已知函数为偶函数，则(    )
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】∵f(x)定义域为R，且为偶函数，
∴，
，．
当时，为偶函数满足题意．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（    ）
A．5 B．3 C．1 D．0
【答案】A
【详解】依题意，令，则是奇函数，，
于是得，
所以.
故选：A
4．（2022·辽宁·北镇市满族高级中学高三阶段练习）函数是偶函数，则____________．
【答案】
【详解】因为是偶函数，故,解得，，所以.
故答案为：.
类型四：三角函数的对称性问题
典型例题
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的一个对称中心是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在函数中，由得，，
所以函数的对称中心是，
显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足.
故选：C
2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）关于函数，有下述四个结论：
①的一个周期为；          ②的图象关于直线对称；
③的一个零点为；     ④在上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（    ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【详解】，①正确；，则的图象关于对称，②错误；，，③正确；由可得，单调递减，④错误.
故选：A.
4．（多选）（2022·辽宁·沈阳市第三十中学高一期中）曲线的对称中心可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】由，，
得，，
当时，，故D正确；
当时，，故B正确；
当时，，故C正确；
由得，故A不正确.
故选：BCD
5．（2022·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）写出一条直线的方程，使得曲线与曲线都关于该直线对称：____________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】令，解得，所以曲线的对称轴为①，
令，解得，所以曲线的对称轴为②，
是①②公共解中的一个.
故答案为：（答案不唯一）.
同类题型演练
1．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））若函数对任意的，有，则（    ）
A．±2 B．±1 C．0 D．2
【答案】A
【详解】因为，所以函数图像关于对称，因此有，
所以，
故选:A.
2．（2022·安徽·高三开学考试）函数的图象的一个对称中心为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，
故选：D
3．（多选）（2022·贵州·六盘水市第二中学高二阶段练习）将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为(    )
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】平移后得到函数解析式为，
∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，
∴，
∴，∴．
当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．
故选：BD．
4．（2022·山东·高三阶段练习）写出函数的一个对称中心__________ .
【答案】（只需满足即可）.
【详解】解：令，可得，
所以，函数的对称中心坐标为.
故答案为：（只需满足即可）.
类型五：三角函数的单调性问题
典型例题
1．（2022·浙江·高三阶段练习）同时具有以下性质：“①最小正周期是π：②在区间上是增函数”的一个函数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：对于A，函数的最小正周期，故A不符合题意；
对于B，函数的最小正周期，
当，，所以函数在区间上是增函数，故B符合题意；
对于C，函数的最小正周期，
当，，所以函数在区间上是减函数，故C不符题意；
对于D，函数的最小正周期，
当，，所以函数在区间上不具有单调性，故D不符题意.
故选：B.
2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.
故选：A
3．（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）函数的单调递增区间是（    ）
A．， B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数，令，，解得，．
所以函数的单调递增区间是.
故选：B
4．（多选）（2022·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）若函数在上单调，则的取值可以为（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】若，则，依题意可得，则．
对照四个选项：ABC符合题意.
故选：ABC
5．（多选）（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）若函数在区间上单调，则的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】方法一：当时，，
在区间上单调，
或，
或；
由得：；又，；，
又，，，又，；
由得：；又，，，
又，，，即；
综上所述：.
方法二：，
当时，；
在上单调，，；
由，知：或，解得：或，
.
故选：AC.
6．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，.
求函数的单调递增区间.
【答案】

由的单调递增区间为，
且，则，
解得，
函数的单调递增区间为.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数f（x）＝cos（x∈[0，π]）的单调递增区间为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，
解得：
∵x∈[0，π]，∴，
∴函数f（x）在[0，π]的单调递增区间为.
故选：C.
2．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数，则（    ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．的图象关于对称 D．在上单调递增
【答案】D
【详解】对于A，由正切函数性质知：的最小正周期，A错误；
对于B，由得：，
的定义域为，B错误；
对于C，令，解得：，
又，的图象关于点对称，C错误；
对于D，当时，，此时单调递增，D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的单调递减区间为______.
【答案】
【详解】令，解得，
令得，所以函数在上的单调递增区间为.
故答案为：.
4．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【详解】，令，
得，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
5．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数单调递增区间为________.
【答案】
【详解】令，
解得，
故的单调递增区间为．
故答案为：．
6．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）设函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)，，
(2)最大值2，最小值
（1）
∵函数，∴的最小正周期为，
令，，
求得，
故函数的单调增区间为，．
（2）
当时，，
∴，
故当，即时，函数取得最大值2，
当，即时，函数取得最小值为．
类型六：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题
角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
典型例题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(1)
∵

∴，
即所求单调递增区间为：；
(2)


，其中 ，
即.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.
【答案】(1)，;
(2)，.
（1）

由函数的最小正周期为,则，故，令，解得，故的单调递增区间为.
（2）， 则的最大值为，此时有，即，故，解得，所以当取得最大值时的取值集合为.
3．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求的值及函数的最小正周期；
(2)设，当时，求的值域.
【答案】(1)，最小正周期
(2)
（1）
解：函数，
，
最小正周期；
（2）
解：
，
，
，
，
的值域为.
4．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：

0











0

0



(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)最大值为，最小值为
（1）
根据五点法的表格，所以
所以的最小正周期
令，
解之得
又，所以或
即在上的单调递减区间为，
（2）
由于
所以
所以
所以
当即时，函数的最小值为;
当即时，函数的最大值为.
5．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)先将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移个单位，得到函数的图象．求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
（1）
化简得：
令，，
解得，，
所以函数的增区间为．
（2）
将的图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，得
，
再将每个点的横坐标缩短为原来的一半，得，
再将函数图象向上平移个单位，得到函数，
令，则的取值范围是，
则的取值范围是，
所以的取值范围是．
同类题型演练
1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知函数 的最大值为 ．
（1）求常数 的值．
（2）求函数 的单调递减区间．
（3）若 ，求函数 的值域．
【答案】（1）；（2）单调递减区间为，；（3）
【详解】

.
（1）由，解得.
（2）由，
则，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，，
（3）由，则，
所以，
所以，
所以函数 的值域为.
2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．
【答案】(1)；
(2)．
（1）
因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
（2）
由（1）可得．
因为，所以，
所以，
所以，
即在区间内的值域为．
3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
（1）
令，解得,
所以的单调递增区间为
（2）
当时，则，
故当 时，取最大值，为，
当 时，取最小值，为，
4．（2022·北京·北师大实验中学高三开学考试）已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
（1）
=
.
（2）

.
因为，所以，
所以，
所以
所以的最大值为，最小值为.
5．（2022·江苏·无锡市堰桥高级中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域.
【答案】(1)最小正周期为π，，k∈Z
(2)[－1,2]
（1）
因为f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
（2）
函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin；
再把所得到的图象向左平移个单位长度，
得到g(x)＝2sin
＝2sin＝2cos 4x，
当时，，
所以当x＝0时，g(x)max＝2，
当x＝－时，g(x)min＝－1.
∴y＝g(x)在区间上的值域为．
角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
典型例题
1．（2022·江西九江·高一期末）函数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为___________.
【答案】##
【详解】设，则，，
，
∴时，，即．
故答案为：．
4．（2022·广东·佛山一中高一阶段练习）函数，在区间上的最大值是_____.
【答案】##
【详解】

，
由于，
所以当时取得最大值.
故答案为：
5．（2022·山东德州·高一期中）已知函数．
(1)求；
(2)求函数的最值及相应的x值．
【答案】(1)
(2)，时，或，时，
(1)
.
(2)


因为，
所以当，即，时，
当，即或，时，
6．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
由，得,
又，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值,
所以实数的取值范围为．
（2）
由,恒成立，
得,恒成立．
设，,
所以当时，取得最小值4，所以；
设，,
所以当时，取得最大值3，所以,
综上，实数的取值范围为．
7．（2021·全国·高一课时练习）已知，求函数的最值．
【答案】，．
【详解】因为，
令，
则．
因此，当时，该函数取得最小值；
当时，该函数取得最大值．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数（）的最大值是（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】．
令，则．而在上单增，
所以当时，．
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为___________.
【答案】
【详解】；
令，则
故答案为：．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）函数的最大值为___________.
【答案】
【详解】，
当时，.
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_____.
【答案】
【详解】，
令，所以原式，
当时，能取到最小值，
当时，能取到最大值，
所以值域为.
故答案为：.
5．（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域是______．
【答案】
【详解】，



故答案为：
6．（2021·全国·高一课时练习）函数的值域为____________
【答案】
【详解】解：因为
令，则
所以，所以，故函数的值域为
故答案为：
7．（2021·全国·高一专题练习）已知，求的值域．
【答案】
【详解】令，又，
∴，故函数化为，且对称轴为．
∴当时，．
当时，．
∴的值域为．
角度3：分式型求值域或最大(小)值
典型例题
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【详解】， ，设，
得：，
即，化得：，
即，（其中）.
化得：，解此不等式得：.
故答案为：
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．
【答案】
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
3．（2022·江西·模拟预测（文））函数的最大值为________．
【答案】##
【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
故答案为：
4．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）函数的定义域为_________，值域为_________.
【答案】     ；     .
【详解】解：由题意可得，即，
所以且，即.
所以函数的定义域为；
令，则，
当时，=，当，即时，等号成立；
当时，=，当，即时，等号成立；
所以函数的值域为：.
故答案为：；.
类型七：新定义问题
典型例题
1．（2022·全国·高一课时练习）在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（    ）
A．1461 B．1459 C．1430 D．1427
【答案】A
【详解】解：因为最小正周期，
所以一个回归年对应的天数约为365.248，则四个回归年对应的天数为，
故选：A
2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，，
即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，
即，
因为，所以令，即，
故选：C
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图象可知，函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
对于A，，所以是偶函数，当时，令，则，得，则当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以A不合题意，
对于B，因为，所以是奇函数，所以不合题意，
对于C，因为，所以是偶函数，当时，令，则，得，所以当时，函数的第一个零点为，当时，，，所以，所以符合题意，
对于D，因为，所以是奇函数，所以不合题意，
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习（文））以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（    ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】由题意，函数，
所以，
所以，
所以由拉格朗日中值定理得：，即，
所以，
由于时，
所以在无解，在上有2解.
所以函数在区间上的中值点的个数为2个.
故选：B.
5．（2022·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”．
(1)写出当时，函数，图像上所有正格点的坐标；
(2)若函数，，与函数的图像有正格点交点，求的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由．
(3)对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，4；
(3)．
（1）
解因为，所以，
所以函数的正格点为，…，，…
（2）
作出两个函数图像．如图，

可知函数，与函数的图像只有一个“正格点”交点．
∴，
又可得．
根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4个．
（3）
由（2）知，
所以，所以，故；
当时，不等式不能恒成立；
当时，由下图可知，

由，解得.