第二章 平面解析几何-2.3圆及其方程 2.3.4圆与圆的位置关系（课件PPT）

2.3　圆及其方程2.3.4　圆与圆的位置关系第二章 平面解析几何重点：两圆位置关系的判断难点：通过联立两圆方程来研究两圆位置关系1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法.2.了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用. 圆与圆的位置关系 |r1-r2|圆与圆的位置关系的判断例1 已知直线3x+4y+4＝0与圆M：x2+y2-2ax＝0（a>0）相切，则圆M和圆N：（x-1）2+（y-1）2＝1的位置关系是 （　　）A.相离　　 B.外切　　 C.相交　　 D.内切【解题提示】　根据直线与圆M相切，可利用圆心到直线距离等于半径求得参数a，再根据圆心距与两半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系. 【变式训练】1.圆A：x2+y2＝1与圆B：x2-4x+y2-5＝0的公共点个数为 （　　）A.0　　 B.3　　 C.2　　 D.1 解析：圆A：x2+y2＝1的圆心为A（0，0），半径为1；圆B：x2-4x+y2-5＝0，即（x-2）2+y2＝9的圆心为B（2，0），半径为3.圆心距|AB|＝2＝3-1，所以两圆的位置关系为内切，故只有一个公共点.【变式训练】2.设r>0，两圆（x-1）2+（y+3）2＝r2与x2+y2＝16的位置关系可能是 （　　）A.相离　　　　　　 B.相交或外离C.内切或内含或相交　　 D.外切或外离  【方法技巧】判断两圆位置关系的方法1.几何法：由圆心距|C1C2|和两圆的半径的和与差之间的关系来判断， （1）两圆外离|C1C2|>r1+r2；（2）两圆外切|C1C2|＝r1+r2；（3）两圆相交|r1-r2|<|C1C2|0两圆相交； （2）Δ＝0两圆外切或内切； （3）Δ<0两圆外离或内含.<2>由圆与圆的位置关系求参数例2 已知圆（x-a）2+y2＝9（a>5）上存在点M，使得|OM|＝2|MQ|（O为原点）成立，Q（2，0），则实数a的取值范围是　　　　.【解题提示】　根据条件中|OM|＝2|MQ|计算出点M的轨迹方程，然后转化为圆与圆的位置关系，求出实数a的取值范围. 【变式训练】1.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x-a）2+（y-a-2）2＝1与圆C2：x2+y2-2x-3＝0有公共点，则实数a的取值范围是　　　　.  【变式训练】2.若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m＝0相切，则实数m＝（　　）A.9　　 B.-11　　 C.-11或-9　　 D.9或-11D 【方法技巧】根据圆与圆的位置关系求参数的步骤1.化圆的方程为标准方程，求出圆心和半径；2.根据两圆的位置关系，转化为圆心距与两圆半径的和与差的关系；3.解方程（组）或不等式（组），求解参数值或取值范围.<3>由圆与圆的位置关系求圆的方程例3 ［2020·江苏宿迁高一期末］以（3，4）为圆心，且与圆x2+y2＝1外切的圆的标准方程为　　　　　　　. 【变式训练】求与圆C：x2+y2-2x-4y＝0外切于点P（2，4），且半径为 的圆M的方程. 题型二 两圆的公切线问题例4 与圆O1：x2+y2+4x-4y+7＝0和圆O2：x2+y2-4x-10y+13＝0都相切的直线条数是（　　）A.2　　 B.3　 C.4　　 D.1【解题提示】　求出两圆的圆心坐标和半径，计算出两圆的圆心距，与两圆半径的和与差比较，判断出两圆的位置关系.【解析】　圆O1：x2+y2+4x-4y+7＝0的圆心坐标为（-2，2），半径为1，圆O2：x2+y2-4x-10y+13＝0的圆心坐标为（2，5），半径为4，两圆心之间的距离d＝5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条.【答案】　B1.［2020·江西宜春高三检测］若圆C：x2+y2＝5-m与圆E：（x-3）2+（y-4）2＝16有三条公切线，则m的值为（　　）A.2　　　　　　B. 　　　　　　C.4　　　　　　D.6【变式训练】 C【变式训练】解析：圆C1：x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径为1；圆C2：（x-4）2+y2＝25，圆心为（4，0），半径为5.圆心距为4＝5-1，故两圆内切.易知切点为（-1，0），圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为x＝-1，即x+1＝0.2. ［2020·安徽六安高一检测］已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x-4）2+y2＝25，则两圆公切线的方程为　　　　.x+1＝0　【方法技巧】两圆的公切线条数的判断两圆的公切线条数与两圆位置关系的对应如下：（1）两圆外离两圆有4条公切线；（2）两圆外切两圆有3条公切线；（3）两圆相交两圆有2条公切线；（4）两圆内切两圆有1条公切线；（5）两圆内含两圆没有公切线.题组三　两圆的公共弦问题例5 已知圆C：x2+y2-2x+4my+4m2＝0，圆C1：x2+y2＝25，直线l：3x-4y-15＝0.（1）求圆C1：x2+y2＝25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l.【解题提示】　（1）根据圆心到直线的距离、半径与弦长的一半满足勾股定理求出弦长；（2）利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，利用直线平行列方程求得m的值. 若圆（x-a）2+（y-b）2＝b2+1始终平分圆（x+1）2+（y+1）2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是（　 　）A.a2-2a-2b-3＝0 　 B.a2+2a+2b+5＝0C.a2+2b2+2a+2b+1＝0 　 D.3a2+2b2+2a+2b+1＝0【变式训练】解析：∵ 圆（x-a）2+（y-b）2＝b2+1始终平分圆（x+1）2+（y+1）2＝4的周长，∴ 过两圆交点的直线过圆（x+1）2+（y+1）2＝4的圆心（-1，-1）.两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为（2+2a）x+（2+2b）y-a2-1＝0，将点（-1，-1）的坐标代入可得-2-2a-2-2b-a2-1＝0，即a2+2a+2b+5＝0.B【方法技巧】1.两圆相交时，两圆的公共弦所在直线方程的求法若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为两圆方程的差，即（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2＝0.2.两圆相交时公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；（2）几何法：根据圆的几何性质，公共弦所在直线与过两圆圆心的直线垂直，求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距满足勾股定理求解.题组四　圆系方程例6 圆心在直线x-y-4＝0上且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为 （　　）A.x2+y2-x+7y-32＝0 　　B.x2+y2-x+7y-16＝0C.x2+y2-4x+4y+9＝0 　　D.x2+y2-4x+4y-8＝0【解题提示】　设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ（x2+y2+6y-28）＝0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4＝0，求出λ即可. 1. ［2020·湖北荆州高二检测］已知圆系方程（x-m）2+（y-2m）2＝5（m∈R），这些圆的公切线方程为　　　　　　　.【变式训练】 2x-y±5＝02.已知一个圆经过两圆x2+y2+4x+y＝-1与x2+y2+2x+2y+1＝0的交点，且有最小面积，求此圆的方程.【变式训练】 【方法技巧】过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）＝0（λ≠-1）（其中不含有圆C2，因此注意检验圆C2是否满足题意以防丢解）.当λ＝-1时，圆系方程表示直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2＝0（当两圆是同心圆时，此直线不存在）：①若两圆相交，则l为两圆公共弦所在直线；②若两圆相切，则l为公切线；③若两圆相离，则l为与两圆圆心连线垂直的直线.