高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系一等奖教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系一等奖教案设计，共11页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆与圆的位置关系


学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。











重点：圆与圆的位置关系及判定方法


难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题





多媒体











针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。


课程目标
学科素养
A..理解圆与圆的位置关系的种类.


B.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.


C.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.


D.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
1.数学抽象：圆与圆的位置关系


2.逻辑推理：判断圆与圆的位置关系


3.数学运算：判断圆与圆的位置关系


4.数学建模：圆和圆的方程解决实际问题



教学过程
教学设计意图


核心素养目标
创设问题情境，探究新知


在日常生活中，可以见到很多有关圆与圆的位置关系的形象，如图所示，





前面我们已经借助直线与圆的方程研究了他们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？





判断圆C1: x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=1的位置关系，并说明理由。








圆与圆位置关系的判定


1.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两个圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:





位置


关系
外离
外切
相交
内切
内含

图示






d与r1,r2


的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<


dd=|r1-r2|
d<|r1-r2|




2.代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),


C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0),


联立方程x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,


则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:


方程组解的个数
2
1
0

两圆的公共点的个数
2
1
0

两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含

1.判断


（1）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )


（2）若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( )


（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. ( )


答案:(1)× (2)√ （3）×


二、典例解析


例1(1)圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2-2y=0的位置关系是( )


A.外离 B.相交 C.外切 D.内切


(2)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为 .


解析:(1)两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1和x2+(y-1)2=1,对应圆心坐标为O1(1,0),半径为1,和圆心坐标O2(0,1),半径为1,则圆心距离|O1O2|=2,则0<|O1O2|<2,即两圆相交,故选B.


(2)两圆的圆心分别为O1(-2,2),O2(2,5),半径分别为r1=1,r2=4,


所以|O1O2|=(-2-2)2+(2-5)2=5=r1+r2,所以两圆相外切.


答案:(1)B (2)外切


判断两圆的位置关系常用两种方法


几何法和代数法,但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来刻画,此种方法形象直观,关键是明确圆心和半径,再套用圆与圆位置关系的关系式进行求解或判断.


跟踪训练1 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时,


分别满足下列情况:


(1)圆C1与圆C2外切; (2)圆C1与圆C2内含.


解:易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;


圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心C2(-1,m),半径r2=2.


(1)如果圆C1与圆C2外切,则(m+1)2+(m+2)2=3+2,


所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.


(2)如果圆C1与圆C2内含,则(m+1)2+(m+2)2<3-2,


所以m2+3m+2<0,解得-2

例2 已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.


(1)判断两圆是否相交,若相交,求出公共弦所在的直线方程,若不相交,请说明理由;


(2)求公共弦的长度.


解:(1)相交.将两圆方程配方化为标准方程,则


C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,


∴|r1-r2|<|C1C2|

将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.


∴圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径为r1=52,


圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为r2=10.


∴|C1C2|=25,r1+r2=52+10,


|r1-r2|=|52-10|,


(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0


的距离为d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35,


∴公共弦长为l=2r12-d2=250-45=25.


方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程


组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,解得x=-4,y=0或x=0,y=2,


∴|AB|=(-4-0)2+(0-2)2=25,即公共弦长为25.


(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0


的距离为d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35,


∴公共弦长为l=2r12-d2=250-45=25.


方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,


解得x=-4,y=0或x=0,y=2,


∴|AB|=(-4-0)2+(0-2)2=25,即公共弦长为25.


跟踪训练2 (1)若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则( )


A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8


C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8


(2)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254所截得的弦长为 .


解析:(1)x2+y2-2x+F=0,①x2+y2+2x+Ey-4=0,②


②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+E4y-F+44=0,


由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,


得E4=-1,-F+44=1,解得E=-4,F=-8.


(2)由题意将两圆的方程相减,可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0.


又圆C3的圆心坐标为(1,1),


其到直线l的距离为d=|1+1-1|12+12=22,设圆C3的半径为r,由条件知,r2-d2=254-12=234,


所以弦长为2×232=23.


答案:(1)C (2) 23


例3(1)对于任意实数λ,曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 .


解析:曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0可化为(x2+y2+6x-16)+λ(x2+y2-4x-6)=0,


∴x2+y2+6x-16=0且x2+y2-4x-6=0,


可得恒过定点(1,3)和(1,-3).


答案:(1,3)和(1,-3)


(2)求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.


解:设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.


联立y=x,x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0,


得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.因为所求圆与直线y=x相切,


所以Δ=0,即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,


故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.


1.当经过两圆的交点时,圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出λ即可.


2.当给出的方程结构中参数比较分散时,要注意将含参数的合并在一起,进而讨论过定点或交点问题.


跟踪训练3 求圆心在直线x-y-4=0上,且过圆x2+y2-4x-6=0和圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.


解:方法一:设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),


即x2+y2-41+λx-4λ1+λy-6=0,


所以圆心坐标为21+λ,2λ1+λ.


又圆心在直线x-y-4=0上,


所以21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13.


所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.


方法二:由x2+y2-4x-6=0,x2+y2-4y-6=0,


得两圆公共弦所在直线的方程为y=x.


由y=x,x2+y2-4y-6=0,解得x1=-1,y1=-1,x2=3,y2=3.


所以两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点坐标分别为A(-1,-1),B(3,3),


线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y-1=-(x-1).由y-1=-(x-1),x-y-4=0,得x=3,y=-1,


即所求圆的圆心坐标为(3,-1),半径为(3-3)2+[3-(-1)]2=4.


所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.












通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法。

























































































通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。








































































































在典例分析和练习中掌握判断圆与圆位置关系的方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。























通过圆与圆位置关系的综合问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。



三、达标检测


1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是( )


A.外切 B.内切 C.相交 D.外离


解析:圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36,圆心坐标为(7,1),半径为r1=6,圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径为r2=1,所以圆心距d=(7-3)2+[1-(-2)]2=5=6-1=r1-r2,所以两圆内切.


答案:B


2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )


A.x+y+3=0B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0


解析:AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入,即可排除A,B,D.


答案:C


3.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为 .


解析:两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2,


由题意得(m+2)2+(-1-m)2=3+2,解得m=2或-5.


答案:2或-5


4.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为 .


解析:由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,得点C1(1,0)到


直线l的距离为d=|1-0+1|12+(-1)2=2,圆C1的半径为r1=3,所以圆C1与圆C2


的公共弦长为2r12-d2=232-(2)2=27.


答案:27


5.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.


解:由两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-y=0.∵圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C1(-2,0),C2(-1,-1),


∴两圆心连线所在直线的方程为y-0-1-0=x+2-1+2,


即x+y+2=0.


由x-y=0,x+y+2=0,得所求圆的圆心坐标为(-1,-1).又圆心C1(-2,0)到公共弦所在直线x-y=0的距离d=|-2-0|2=2,


∴所求圆的半径r=(3)2-(2)2=1,


∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1.


6.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2},若A∩B中有且仅有一个元素,求a的值.


解:由A∩B中有且仅有一个元素,可知两圆相切,


所以|O1O2|=5=|a|+2或5=||a|-2|,


解得a=±3或a=±7.


综上所述,a的值为±3或±7.






通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。