数学选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系课时作业

课时跟踪检测（二十）  圆与圆的位置关系

[A级　基础巩固]

1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)

A．外离　　　　　　　  B．相切

C．相交     D．内含

解析：选C　法一(几何法)：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则连心线的长|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．

法二(代数法)：联立方程

解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．

2．圆x2＋4x＋y2＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝r2有三条公切线，则半径r＝(　　)

A．5     B．4

C．3     D．2

解析：选C　两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，3)，半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，∴两圆相外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3.

3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A．x＋y＋3＝0     B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0     D．4x－3y＋7＝0

解析：选C　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.

4．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．E＝－4，F＝8     B．E＝4，F＝－8

C．E＝－4，F＝－8     D．E＝4，F＝8

解析：选C　由题意联立两圆方程得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.

5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2－4x－2y＋4＝0交于P，Q两点，则(　　)

A．两圆有两条公切线

B．PQ垂直平分线段OM

C．直线PQ的方程为2x＋y－4＝0

D．线段PQ的长为

解析：选ACD　对于A：因为圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2－4x－2y＋4＝0交于P，Q两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B：如图，数形结合可知PQ垂直线段OM但不平分线段OM，故错误；对于C：圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的方程相减得：2x＋y－4＝0，所以直线PQ的方程为2x＋y－4＝0，故正确；对于D：圆心O到直线PQ的距离为：d＝＝，所以线段PQ的长为|PQ|＝2＝2＝，故正确；故选A、C、D.

6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．

解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，

即a2＋b2>3＋2.

答案：a2＋b2>3＋2

7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________．

解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，又a>0，结合图像(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1⇒a＝1.

答案：1

8．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．

解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.

答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0

9．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1).

(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；

(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．

解：(1)设圆O1，圆O2的半径分别为r1，r2，

∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，

∴r2＝|O1O2|－r1＝ －2＝2(－1)，

∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.

(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，

圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.

∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝ ＝，解得r＝4或20.

∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.

(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；

(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，

圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1，0)，半径长为r2＝1，

两圆的圆心距d＝ ＝2，

又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，

所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．

(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：

圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.

假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，

则圆心距d＝＜3－1，

即(m＋1)2＜0，此不等式无解．

故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．

[B级　综合运用]

11．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最小值是(　　)

A．1　　　　　　　　　　  B．2

C．3     D．4

解析：选A　由题意知圆C1的圆心C1(－3，1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆外离，从而|MN|的最小值为5－2－2＝1.故选A.

12．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(　　)

A．0.5 h     B．1 h

C．1.5 h     D．2 h

解析：选B　如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，∴时间为1 h．

13．(多选)已知圆C1：(x－2cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，则下列说法正确的是(　　)

A．对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切

B．对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线

C．当θ＝时，圆C1被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为

D．P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4

解析：选ACD　由已知C1(2cosθ，2sinθ)，C2(0，0)，|C1C2|＝＝2等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；θ＝时，C1(，1)，C1到已知直线l的距离为d＝＝，则弦长为2 ＝，C正确；由于|C1C2|＝2，∴|PQ|max＝|C1C2|＋1＋1＝4，P，C1，C2，Q共线时取最大值，D正确．故选A、C、D.

14．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，

(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，，

(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.

(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.

(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.

故两圆的公共弦的长为2＝2.

[C级　拓展探究]

15．某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路  km和2 km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？

解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系(图略).

由题意，得A(，)，B(0，2)，

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，得 或由实际意义知a＝0，b＝，

∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0，0)，

∴观景点应设在B景点在小路的投影处．