人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.4 圆与圆的位置关系优秀课件ppt

课程目标

学科素养

A..理解圆与圆的位置关系的种类.

B.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.

C.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.

D.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.

1.数学抽象：圆与圆的位置关系

2.逻辑推理：判断圆与圆的位置关系

3.数学运算：判断圆与圆的位置关系

4.数学建模：圆和圆的方程解决实际问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    创设问题情境，探究新知

在日常生活中，可以见到很多有关圆与圆的位置关系的形象，如图所示，

       前面我们已经借助直线与圆的方程研究了他们之间的位置关系，那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢？

判断圆

圆与圆位置关系的判定

1.几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两个圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:

2.代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),

C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0),

联立方程

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

1.判断

（1）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　)

（2）若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(　　)

（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. (　　)

答案:(1)×　(2)√  （3）×

二、典例解析

例1(1)圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2-2y=0的位置关系是(　　)

  A.外离        B.相交    C.外切             D.内切

(2)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为　　　　　. 

解析:(1)两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1和x2+(y-1)2=1,对应圆心坐标为O1(1,0),半径为1,和圆心坐标O2(0,1),半径为1,则圆心距离|O1O2|=,则0<|O1O2|<2,即两圆相交,故选B.

(2)两圆的圆心分别为O1(-2,2),O2(2,5),半径分别为r1=1,r2=4,

所以|O1O2|==5=r1+r2,所以两圆相外切.

答案:(1)B　(2)外切

                      判断两圆的位置关系常用两种方法

    几何法和代数法,但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来刻画,此种方法形象直观,关键是明确圆心和半径,再套用圆与圆位置关系的关系式进行求解或判断.

跟踪训练1  已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时,

分别满足下列情况:

(1)圆C1与圆C2外切;   (2)圆C1与圆C2内含.

解:易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;

圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心C2(-1,m),半径r2=2.

(1)如果圆C1与圆C2外切,则=3+2,

所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.

(2)如果圆C1与圆C2内含,则<3-2,

所以m2+3m+2<0,解得-2<m<-1.

例2  已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.

(1)判断两圆是否相交,若相交,求出公共弦所在的直线方程,若不相交,请说明理由;

(2)求公共弦的长度.

解:(1)相交.将两圆方程配方化为标准方程,则

C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,

∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交.

将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.

∴圆C1的圆心坐标为(1,-5),半径为r1=5,

圆C2的圆心坐标为(-1,-1),半径为r2=.

∴|C1C2|=2,r1+r2=5,

|r1-r2|=|5|,

(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0

的距离为d==3,

∴公共弦长为l=2=2=2.

方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程

组解得

∴|AB|==2,即公共弦长为2.

(2)方法一:由(1)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0

的距离为d==3,

∴公共弦长为l=2=2=2.

方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组

解得

∴|AB|==2,即公共弦长为2.

跟踪训练2 (1)若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则(　　)

A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8 D.E=4,F=8

 (2)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦长为　　　　　. 

解析:(1)

②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+y-=0,

由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,

得解得

(2)由题意将两圆的方程相减,可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x+y-1=0.

又圆C3的圆心坐标为(1,1),

其到直线l的距离为d=,设圆C3的半径为r,由条件知,r2-d2=,

所以弦长为2×.

答案:(1)C　(2)

例3(1)对于任意实数λ,曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点　　　　　. 

解析:曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0可化为(x2+y2+6x-16)+λ(x2+y2-4x-6)=0,

∴x2+y2+6x-16=0且x2+y2-4x-6=0,

可得恒过定点(1,3)和(1,-3).

答案:(1,3)和(1,-3)

(2)求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x-2y-4=0的交点且与直线y=x相切的圆的方程.

解:设所求圆的方程为x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.

联立

得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.因为所求圆与直线y=x相切,

所以Δ=0,即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,

故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.

1.当经过两圆的交点时,圆的方程可设为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系数法求出λ即可.

2.当给出的方程结构中参数比较分散时,要注意将含参数的合并在一起,进而讨论过定点或交点问题.

跟踪训练3 求圆心在直线x-y-4=0上,且过圆x2+y2-4x-6=0和圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.

解:方法一:设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),

即x2+y2-x-y-6=0,

所以圆心坐标为.

又圆心在直线x-y-4=0上,

所以-4=0,即λ=-.

所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.

方法二:由

得两圆公共弦所在直线的方程为y=x.

由解得

所以两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点坐标分别为A(-1,-1),B(3,3),

线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y-1=-(x-1).由

即所求圆的圆心坐标为(3,-1),半径为=4.

所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.

通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法。

通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中掌握判断圆与圆位置关系的方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过圆与圆位置关系的综合问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是(　　)

A.外切     B.内切     C.相交  D.外离

解析:圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36,圆心坐标为(7,1),半径为r1=6,圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为(3,-2),半径为r2=1,所以圆心距d==5=6-1=r1-r2,所以两圆内切.

答案:B

2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0       C.3x-y-9=0          D.4x-3y+7=0

解析:AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入,即可排除A,B,D.

答案:C

3.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为　　　　　. 

解析:两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2,

由题意得=3+2,解得m=2或-5.

答案:2或-5

4.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦长为　　　　　. 

解析:由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x-y+1=0,得点C1(1,0)到

直线l的距离为d=,圆C1的半径为r1=3,所以圆C1与圆C2

的公共弦长为2=2=2.

答案:2

5.已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.

解:由两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为x-y=0.∵圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1,圆心C1(-2,0),C2(-1,-1),

∴两圆心连线所在直线的方程为,

即x+y+2=0.

由得所求圆的圆心坐标为(-1,-1).又圆心C1(-2,0)到公共弦所在直线x-y=0的距离d=,

∴所求圆的半径r==1,

∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1.

6.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2},若A∩B中有且仅有一个元素,求a的值.

解:由A∩B中有且仅有一个元素,可知两圆相切,

所以|O1O2|=5=|a|+2或5=||a|-2|,

解得a=±3或a=±7.

综上所述,a的值为±3或±7.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。