人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角优秀复习练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角优秀复习练习题，共9页。

一、选择题


1.（2020全国高二课时练）若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ( )


A.30°B.45°C.60°D.90°


【答案】D


【解析】因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.


2．（2020福建宁德高二期中）已知为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（ ）


A． B． C． D．


【答案】A


【解析】 设棱长为 ，则侧面与底面所成角的余弦值为 ，选A.


3.（2020湖南师大附中高二期中）如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是( )





A.6B.427C.77D.7


【答案】B


【解析】如图,取AC的中点D,连接OD,PD,





∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,∵OA=OC,D为AC的中点,


∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,


∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD,∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角.


∵△PAB是边长为2的正三角形,


∴PO=3,OA=OC=1,OD=22,则PD=(3)2+(22) 2 =142.∴sin∠PDO=POPD=3142=427.


4.(2020山东泰安一中高二月考)正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为( )


A.30°B.45°C.60°D.90°


【答案】B


【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,





则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,12,12,


∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD的法向量,


∴cs=22,∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.


5．（多选题）（2020·六盘山高级中学高二期末）如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论正确的是（ ）





A．与所成角为 B．三棱锥的体积为定值


C．平面 D．二面角是定值


【答案】BCD


【解析】选项A，AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD AC⊥面DD1B1B，即得AC⊥BE，此命题错误；选项B, 由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确；选项C，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上且EF与平面ABCD无公共点，故EF∥平面ABCD，此命题正确；选项D，由于E、F为线段B1D1上有两个动点，故二面角A﹣EF﹣B的平面角大小始终是二面角A﹣B1D1﹣B的平面角大小，为定值，故正确；故选BCD


6．（多选题）（2020浙江温州高二期中）已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（和）组成的三角形，如下图所示，其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题中正确的是（ ）





A．在线段上存在一定点，使得平面


B．存在某个位置，使得直线平面


C．存在某个位置，使得直线与所成角为


D．对于任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角


【答案】ABD


【解析】对于，当为的中点时，可得，平面，平面，即有平面，故正确；对于，由于，当，且，可得直线平面，故正确；





对于，假设存在某个位置，使得直线与所成角为，由，过作，可得，设，，，，


可得，，，，


与矛盾，故不正确；对于，过作平面，垂足为，连接，过作，垂足为，连接，可得为与平面所成角，为二面角的平面角，，，而，可得，


则任意位置，二面角始终不小于直线与平面所成角，故正确．故选：ABD．


二、填空题


7．（2020全国高二课时练习）若两个平面α,β的法向量分别是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是_____.


【答案】


【解析】设这两个平面所成的锐二面角为θ,则csθ=,所以锐二面角的度数是60°.故答案为


8.（2020福建三明二中高二课时练）已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为_________.


【答案】


【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.





设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,12,12,∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cs=22,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.


9.（2020全国高二课时练）请根据所给的图形,把空白之处填写完整.


(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).


如图①,已知:a∥α, ,


求证: .


(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.


如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD, , ,


求证:AB⊥β.


证明:在β内引直线 ,垂足为B,则 是二面角 的平面角,


由α⊥β,知 ,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条 直线,所以AB⊥β.





【答案】（1）a⊂β,α∩β=b;a∥b；（2）AB⊂α,AB⊥CD, BE，∠ABE，α-CD-β，AB⊥BE, BE和CD


【解析】(1)已知:a∥α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.


(2)如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,


求证:AB⊥β.


证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,


则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,


由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,


BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.


10.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为 .


【答案】255


【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系.





设BC=1,则A0,0,32,B0,-12,0,D32,0,0.


所以OA=0,0,32,BA=0,12,32,BD=32,12,0.


由于OA=0,0,32为平面BCD的一个法向量,


设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n·BA=0,n·BD=0,所以12y+32z=0,32x+12y=0,


取x=1,则y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),


所以cs=55,所以sin=255.


三、解答题


11.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.





(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;


(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.


【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cs|=|SC·AB||SC||AB|=33,故cs θ=63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.


(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SC·n=0,SD·n=0⇒x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cs α=|m·n||m||n|=63,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为63.





12.如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.





(1)证明:PA⊥BD;


(2)设PD=AD,求二面角A - PB - C的余弦值.


【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.


从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.


又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,


所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.


(2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.





则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1). AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).


设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),


则n·AB=0,n·PB=0,即-x+3y=0,3y-z=0,因此可取n=(3,1,3).


设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则m·PB=0,m·BC=0,即3b-c=0,-a=0,


可取m=(0,-1,-3),cs=-427=-277.


由图形知二面角A -PB -C大小为钝角,


故二面角A -PB -C的余弦值为-277.