第二章 平面解析几何-2.4 曲线与方程（课件PPT）

2.4　曲线与方程　第二章 平面解析几何重点：曲线的方程、方程的曲线的概念，初步掌握求曲线方程的方法难点：曲线与方程的对应关系、求曲线方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.了解两条曲线交点的求法.4.了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点.5.掌握求曲线方程和由方程研究曲线性质的方法.一、曲线的方程与方程的曲线说明：1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形2.曲线与方程的关系即：曲线上所有的点与此曲线的方程的解能够一一对应坐标法二、求曲线的方程 求曲线方程的一般步骤（1）建系：建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写集合：写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p（M）}；（3）列方程：用坐标表示条件p（M），列出方程F（x，y）＝0；（4）化简：化方程F（x，y）＝0为最简形式；（5）证明：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.其中，（2）是求方程的重要一步，应仔细分析曲线特征，找到隐含条件，抓住与曲线上任意点M有关的等量关系，列出等式.（3）是将几何条件转化为代数方程，在这个过程中常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等.（4）中要注意化简过程中运算的合理性与准确性，避免“漏解”和“增解”.对于（5），从理论上讲是必要的，但实际上常被省略掉.如遇特殊情况，可适当予以说明.例如，某些点的坐标虽然适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x，y的取值予以剔除.由曲线的方程研究曲线的性质（1）研究曲线的组成和范围问题，即看一下所求的曲线是由哪些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程表示曲线的大致范围；（2）研究曲线与坐标轴的交点问题，如果相交，求出交点坐标；（3）研究曲线的对称问题；（4）研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小时的变化情况；（5）研究曲线的形状问题，即根据曲线的方程画出曲线的大致形状，可充分利用曲线的对称性.尤其是对于复杂的图形，可先通过描点画出曲线在一个象限的图形，再根据对称性画出整条曲线.求动点M轨迹方程的一般步骤：（1）设动点M的坐标为（x，y）（如果没有平面直角坐标系，需先建立）；（2）写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；（3）化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.常考题型题组一　曲线的方程与方程的曲线例 判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；（2）到y轴的距离为2的点所在直线方程为x＝-2；（3）△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.【解】（1）正确.理由如下：∵ 满足曲线与方程的定义，∴ 结论正确.（2）错误.理由如下：∵ 到y轴的距离为2的点所在直线方程还有一个，即方程不具有完备性，∴ 结论错误.（3）错误.理由如下：∵ 中线AD是一条线段，而不是直线，即曲线不具有完备性，∴ x＝0（-3≤y≤0），∴ 结论错误.【解题提示】按照曲线的方程与方程的曲线的对应关系判断.【点评】判断时要紧扣定义中的两个条件，缺一不可.【注意】①解决“曲线”与“方程”的判定这类问题（即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线），只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.②曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对（x，y）建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.变式训练1-1若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）A.方程f（x，y）＝0的曲线是C B.方程f（x，y）＝0的曲线不一定是CC. f（x，y）＝0是曲线C的方程 D.以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上变式训练1-2［2020·宁夏吴忠高二检测］已知坐标满足方程f（x，y）＝0的点都在曲线C上，那么（　　）A.曲线C上的点的坐标都适合方程f（x，y）＝0B.凡坐标不适合f（x，y）＝0的点都不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f（x，y）＝0D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f（x，y）＝0，有些不适合f（x，y）＝0CB 题组二　点与曲线的位置关系<1>判断点是否在方程表示的曲线上B<2>已知点在方程表示的曲线上，求参数题组三　已知方程，判断所表示曲线的类型CCD题组四　已知曲线的方程，研究曲线的性质<1>已知曲线的方程，研究曲线的对称性①③A2题组五　求点的轨迹（方程）<1>直接法求点的轨迹（方程）ACA（x-2）2+（y+1）2＝1