湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）（含答案解析）

湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在中，，点在的延长线上，于点，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，且于点，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  已知、是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

5.  如图，在中，，垂直平分，交于点，是垂足，连接若，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，若为上一动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，是的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，则图中的全等三角形有(    )
 

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

8.  如图，在中，，，若，，垂足分别为点、，下列三个结论：；；≌，其中正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，过点作射线，在射线上取一点，使得，过点作射线的垂线，垂足为点，连接，若，，则的长度为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图所示，平分，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

12.  下列说法正确的个数有(    )

斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；

若两个三角形的两边及第三边上的中线分别对应相等，则这两个三角形全等；

以为三边长度的三角形是直角三角形；

若直角三角形斜边长是斜边上的高的倍，则该三角形两个锐角度数分别是和．

A.  个； B.  个； C.  个； D.  个．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，在中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为          ．

14.  如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，，则的长为______．
 

15.  如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则______．
 

16.  如图，在中，，，，分别为，边上的中线，若与的周长相差，则与周长的差为__．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在中，，，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
比较与的大小；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

18.  本小题分

如图，在中，，点在上，且求证：．

19.  本小题分
如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
 

求证：≌；

若，求度数．

20.  本小题分
在中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
 

如图，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为   

将线段绕点顺时针旋转时，

在图中依题意补全图形，并求的度数

若的平分线交于点，交的延长线于点，连结用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．

21.  本小题分
如图，已知和中，，，，点在线段上，连接交于点．
与有怎样的位置关系？证明你的结论；
若，，求的长．

22.  本小题分

如图，将一张腰长为的等腰直角三角形的纸片折起，使直角顶点恰好落在斜边上的点处，求折叠后的面积．

23.  本小题分
如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且求证：平分，
若，，求的长．

24.  本小题分

如图，在中，，为上一点，，过点作，交于点，连接，试在图中找出另外一对相等的线段，并加以证明．

25.  本小题分

如图，直线，相交于点，平分．

若，求的度数；

若：：，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】，，
，
于点，
，
，故选B．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质和直角三角形的性质，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；直角三角形中两锐角互余；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
过点作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，由即可得出答案．
【解答】
解：过点作，

，
，
，，
在和中，，，
，，
，，
，
故的度数是，
故选D．  

3.【答案】 

【解析】，，
，
直线，
，
故选B．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
依据作图即可得到，，，进而得到，即可得出是直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：如图，由题意知，，，，
所以，
所以是直角三角形，且，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线，含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
求出，根据线段垂直平分线求出，求出、，求出、、，由勾股定理求出，再求出即可．

【解答】
解：，，
，
垂直平分斜边，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选A．

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．由，是的中点，易得是的垂直平分线，则可证得≌，≌，≌，又由是的垂直平分线，证得≌．
【解答】
解：，是的中点，
，，
，
在和中，

≌；
同理：≌，
在和中，

≌；
是的垂直平分线，
，，
在和中，
  ，
≌．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直角全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证≌ 是解题的关键． 
易证≌，可得，，再根据，可得，即可求得，即可解题． 
解：如图，

，，
在 和 中， 
， 
≌ ， 
， 正确； 
， 
， 
， 
， 
， 正确， 
和中，只有，，再没有其余条件可以证明≌ ，故错误． 
故选C  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，如图，连接，过点作交延长线于，利用全等三角形的性质证明，即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，过点作交延长线于．

，，
，
，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：．
，，
平分，
，
．
故选：．
平行线和角平分线一起，从而；
当然也可以利用有平行线的性质得到的度数，利用是角平分线，得到的度数，从而求得的度数．
本题考查的是平行线跟角平分线模型．就是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：过作于点，
是边上的高，平分，
，
，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查点的轨迹，勾股定理的逆定理和全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识．
逐一判断，即可解答．

【解答】

解：斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆除去，两点，故错误

若两个三角形的两边及第三边上的中线分别对应相等，则这两个三角形全等；正确

，则以为三边长度的三角形是直角三角形；正确：

 如图，，是斜边上的高，设，则，取斜边上的中线，则，

，
，
，是中线，
，
，
，正确．

13.【答案】或或 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据等腰直角三角形性质和全等三角形的判定与性质可得，根据勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为．
可判定≌，从而得出，则．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识比较简单．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．根据三角形的中线的概念得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解答】

解：，分别为，边上的中线，
，，
与的周长相差，
，
，
，
，
与周长的差为：，
故答案为：．

17.【答案】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
为的中点，
，
；
如图，作交于，交于
由≌得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由知：，
，
，
，
．
 

【解析】由可得，然后证≌即可；
作交于，可证≌得，再证，再借助，由平行线分线段成比例即可证出．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作构造出全等三角形是解题的关键．
 

18.【答案】证明：作的平分线交于点，

 ，

，

，

，

又，

，

，

 ．

【解析】此题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，作出角平分线，然后利用等腰三角形的性质，得出，再根据直角三角形的性质和余角性质得出，进而得出结论．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，

≌；
解：，，
，
又，
由知：≌，
，
． 

【解析】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由，，，即可利用证得≌；
由，，即可求得与的度数，即可得的度数，又由≌，即可求得的度数，则由即可求得答案．
 

20.【答案】解：；
依题意补全图形如图，

由旋得：，，
，
，，
，，
；
．
证明：过点作，交的延长线于点，

，平分，
垂直平分，
，，
由知，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
≌，
，
，
． 

【解析】

【分析】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，，即可得的度数；
依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质可得出垂直平分，求出可得，，证明≌，可得，根据线段的和差即可得出结论．
【解答】
解：在中，，将线段绕点旋转，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：结论：，
证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：≌，
，
． 

【解析】证明≌即可解决问题；
结合可得，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

22.【答案】解：是等腰直角三角形且腰长为，

，．

翻折后直角顶点恰好落在斜边上的点处，

，，

．

是等腰直角三角形．

．

【解析】略
 

23.【答案】证明：，，
，
在和中，

≌，
，
，，
平分；

解：≌，，
，
，
，
，，
，
在和中，

≌，
，
，
． 

【解析】根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，再得出答案即可；
根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键．
 

24.【答案】．
证明：，．
，．
和均为直角三角形，
在和中，
．
． 

【解析】此题主要考查直角三角形全等的判定与性质，先找出另外一对相等的线段，再根据所给条件证明得到验证
 

25.【答案】解：平分，
，

；
设，，
根据题意得，解得，
，
，
．

【解析】本题考查了角的计算：直角；平角也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．
根据角平分线定义得到，然后根据对顶角相等得到；
先设，，根据平角的定义得，解得，则，然后与的计算方法一样．