湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（较易）（含答案解析）（含答案解析）

湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（较易）（含答案解析）

考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在中，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

2.  如图，直线，的顶点在直线上，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，是斜边的中线，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，，于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则点到的距离为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  能判定两个直角三角形全等的是(    )

A. 有一锐角对应相等 B. 有两锐角对应相等
C. 两条边分别相等 D. 斜边与一直角边对应相等

8.  如图，已知，垂足为，，，则可得到≌，理由是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，，，要根据“”证明≌，则还需要添加一个条件是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  画的边上的高，下列画法中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 (    )
 

A.   B.   C.   D.  

12.  如图，，平分，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  在中，，，则          度。

14.  在中，，，，则______，______．

15.  如图，在和中，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件          ．
 

16.  已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在直角中，，于，的平分线交于点、交于点．是什么三角形为什么请证明．
 

18.  本小题分
在中，，，点是边上一动点，将沿直线翻折，使点落在点处，连接，交于点当是直角三角形时，求度数．

19.  本小题分
已知：，．
求作：点，使点在内部．且，．

20.  本小题分
如图，在中，，点为边的中点，点在线段上，于点，连接，已知，．
求证：．
若，求线段的长．

21.  本小题分

如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点，求证：

； 
．

22.  本小题分
如图，，，是上的一点，且，．
求证：≌．

23.  本小题分
如图：已知，，，垂足分别为点、，若，
 

求证：．

24.  本小题分
如图，，，点是上一点，于，于，，连接，求证：≌．

25.  本小题分

如图，直线，相交于点，平分，．

 

若，求的度数；

若，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，
则，
，
，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质有关知识，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解

【解答】解：如图

，
，
，
，
．  

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
由折叠的性质可得：，
．
故选：．
根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出可得答案．
本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是斜边上的中线，，
．
故选C．
此题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的性质直接求解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．解决此题的关键是要熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
又，
．
故选：．
根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：作于，

，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于，利用含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据，得，代入计算可得答案．
本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】略
 

8.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
则如图，已知，垂足为，，，则可得到≌，理由是，
故选：．
结合图形，利用直角三角形判定全等的方法判断即可．
此题考查了直角三角形全等的判定，以及全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选D．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了三角形的高的概念的知识点，能够正确作三角形一边上的高是解题关键，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，根据概念即可解答．

【解答】

解：过点作边的垂线段，即画边上的高，

所以画法正确的是．
故选D．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可．
【解答】
解：解：如图，过点作于，

是中的平分线，于点，
．
又，，
，
．
故选A．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是平行线的性质，角平分线的定义的有关知识，先利用平行线的性质得到的度数，然后利用角平分线的定义进行求解即可．

【解答】

解：，，
，
平分，
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
故答案为：．
根据直角三角形两个锐角互余的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图，在中，，，，
．
由勾股定理得到：．
故答案为：；．
通过“直角三角形中，度角所对的直角边是所对的斜边的一半”求得然后根据勾股定理来求的值．
本题考查了含度角的直角三角形和勾股定理．应用含度角的直角三角形的性质时，要注意找准的角所对的直角边，点明斜边．
 

15.【答案】 

【解析】解：在和中，

≌，
故答案为：．
根据直角三角形的全等判定解答即可．
本题考查了直角三角形全等三角形的判定的应用，掌握是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，如图所示．
是的平分线，
．
在中，，，
，即．
在中，，，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解．
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：是等腰三角形，
理由：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，以及直角三角形的性质是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等可得，从而利用等角对等边，即可解答．
 

18.【答案】解：由折叠的性质得：，，
，，
，
当时，则，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
综上所述，度数为或． 

【解析】根据折叠的性质可得，，再由直角三角形两锐角的关系可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合三角形内角和定理，即可求解．
本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

19.【答案】解：先作出线段的垂直平分线；
再作出的角平分线，与的交点为；

则即为所求作的点． 

【解析】作的角平分线，作的垂直平分线，两条线交于点即可．
本题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
 

20.【答案】证明：，点为边的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
． 

【解析】根据直角三角形的性质可得，根据外角的性质可得，，根据等角对等边即可得证；
根据先求出的长，再解直角三角形即可求出的长．
本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
即．
，，
≌．

是等腰直角三角形，
度．
≌，

，
．
由知，
． 

【解析】本题要判定≌，已知和都是等腰直角三角形，，则，，，又因为两角有一个公共的角，所以，根据得出≌．
由的论证结果得出，，从而求出．
 

22.【答案】证明：，
．
，，
．
和是直角三角形，而．
≌． 

【解析】此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
 

23.【答案】证明：，
；
即，
在和中，

≌，
，
． 

【解析】本题考查了直角三角形全等的判定及性质，平行线的判定，由通过等量加等量和相等得，在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．首先证明，然后依据可证明≌，从而可得到，根据平行线的判定即可证明．
 

24.【答案】证明：，
在和中，
，
≌，
，
于，于，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由直角三角形全等的““判定定理证得≌，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的““判定定理即可证得≌．
本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据全等三角形的性质证得是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：平分，，
，
，
又，
；
：：，平分，
：：：：，
，
，
又，
． 

【解析】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键．
根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据余角的概念计算即可；
根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．