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湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）（含答案解析）
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湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB.下列结论中，正确的个数是( )
①∠1=∠EFD; ②BE=EC; ③BF=DF=CD; ④FD//BC．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图，已知在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B=90°，AB=BC，AC=AD，在BC边上取一点E，连接AE、DE.若∠DAC=2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC=∠DAC；②∠BAE与∠ACD互余；③AE平分∠BED；④DE=AB+BE，⑤S△ADC=S△CED+S△ABE，其中正确的命题个数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为BC边上一点，CD=1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 四边形ADBC中，AB=AD,∠BAD=90°,∠BCD=30°,BC=12,AC=142，则CD的值为( )
A. 15 B. 142 C. 12+72 D. 20
6. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积。如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )
A. 22 B. 5 C. 325 D. 10
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
B. 一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D. 三个内角对应相等的两个三角形全等
9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A(0,−4)，C(−2,0)，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转，点B恰好落在x轴上，线段B′A′与CD交于点E，那么点E的坐标为( )
A. (−2,−32) B. (−2,−54) C. (−2,−2) D. (−2,−34)
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC=3，AB=5，则CE的长为( )
A. 32 B. 43 C. 53 D. 85
11. 如图，AB//CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=40∘，则下列结论： ①∠BOE=70∘， ②OF平分∠BOD， ③∠POE=∠BOF， ④∠POB=2∠DOF.其中正确的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 如图，已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90∘.下列结论正确的有( )
①AB//CD;②∠ABE+∠CDF=180∘; ③AC//BD;④若∠ACD=2∠E,则∠CAB=2∠F.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是_______________°．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB，A′B′的中点，若AC=4，BC=2，则线段MM′的长为_____．
15. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠D=120°，AB=BC=CD=DA，E是边AD上的一点，且∠ABE=48°，若线段BE上存在点P，使∠CPB=∠CPD.则∠ADP的度数为______．
16. 如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠BDC =∠BOD，AP、DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C + ∠P + ∠B = 165°，则∠C的度数是________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
(1)在图2的△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是______．
(2)已知∠C=20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是______．
(3)已知∠C=α，△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数(用α表示)．
18. (本小题8.0分)
如图，已知直线l1经过点(5,6)，交x轴于点A(−3,0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．
(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，b)，且a、b满足b=a−2+2−a−1
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，已知点F(1,0)，点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；
(3)如图2，若点F(1,0)、C(0,3)，连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围．
20. (本小题8.0分)
在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边在直线的同侧作等边三角形，作得的两个等边三角形的另一顶点分别为D，E两点.连结DE．
(1)如图1所示，若∠BDE= 90°，AB= 1，求BC的长度．
(2)如图2所示，连结CD，AE，求证：CD=AE．
(3)如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2=AE2，试求∠DEB的度数．
21. (本小题8.0分)
在▵ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右 侧作▵ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=_______度；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
22. (本小题8.0分)
如图，过等边△ABC的顶点B在△ABC内部作射线BP，设∠ABP=x(0°
(1)求出∠CBD的大小；(用含x的式子表示)
(2)试说明在∠ABP变化的过程中，∠BEC的大小保持不变，并求出∠BEC的大小;
(3)连接AD，交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并予以证明．
23. (本小题8.0分)
已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA.判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
24. (本小题8.0分)
我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．
性质理解：
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB=70°，则∠C+∠D=____°．
性质应用：
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
拓展提高：
(3)如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，直接写出∠P的度数(用含α的式子表示∠P).
25. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于点E、点F，求证：AD垂直平分EF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】C
【解析】解：①设∠BAE=α，则∠DAC=2α，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=45°−α，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=2α+45−α=α+45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=180°−∠DAC2=180°−2α2=90°−α，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACB=90°−α+45°=135°−α，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴点A、E、C、D共圆，
∴∠DEC=∠DAC，
故①正确；
②由①得：∠ACD=90°−α，
∵∠BAE=α，
∴∠ACD+∠BAE=90°，
故②正确；
③由①得：点A、E、C、D共圆，
∴∠AED=∠ACD，∠AEB=∠ADC，
∵∠ADC=∠ACD，
∴∠AED=∠AEB，
故③正确；
④如图1，
作AF⊥DE于F，
由③得：AE平分∠BED，
∵∠B=90°，
∴AB=AF，
∵点A、E、C、D共圆，
∴∠ADE=∠ACB=45°，
∴∠DAF=90°−∠ADE=45°，
∴∠ADE=∠DAF，
∴DF=AF，
∵∠B=∠AFE=90°，∠AED=∠AEB，
∴∠BAE=∠EAF，
∴BE=EF，
∴DE=DF+EF=AB+BE，
故④正确；
⑤如上图，
∵AD=AC，AF=AB，∠AFD=∠B=90°，
∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)，
∴S△ADF+S△AEF>S△ACB，
∴S△ADF+S△AEF−S△AOE>S△ACB−S△AOE，
∴S△AOD>S△ABE+S△COE，
∴S△AOD+S△COD>S△ABE+S△COE+S△COD，
∴S△ACD>S△CDE+S△ABE，
故⑤不正确，
故选：C．
①设∠BAE=α，依次表示出∠DAC，∠ACD，∠DAE，∠DCE，从而计算得∠DAE+∠DCE=180°，从而得出点A、E、C、D共圆，进一步得出结果；
②计算可得出结果；
③可推出∠AEB=∠ADC，∠AED=∠ACD，进一步得出结果；
④作AF⊥DE，可推出DF=AF=AB，BE=FE，进一步得出结果；
⑤可推出△ADE的面积大于△ABC的面积，进而得出△AOD的面积大于△ABE与△COE的面积之和，进一步得出△ACD的面积大于△ABE与△CDE的面积之和．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键寻找角之间数量关系．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，涉及勾股定理，属于难题．
解：如图所示：以CD为边向右作等边三角形CDG，连接FG，过点B作BK⊥FG，过点C作CH⊥FG，过点C作CN⊥BK，垂足分别为K，H，N，CN交DG于点M，通过证明△DCE≌△DGF，得出∠DCE=∠DGF=90°，可得MG//BK//CH，点F在直线KG上运动，通过得出NK和BN得出BF的最小值．
【解答】
解：如图所示：以CD为边向右作等边三角形CDG，连接FG，过点B作BK⊥FG，过点C作CH⊥FG，过点C作CN⊥BK，垂足分别为K，H，N，CN交DG于点M，
∴∠CHK=∠HKN=∠KNC=90°，
∴四边形CHKN为长方形，
∴CH=NK．
∵△CDG和△DEF是等边三角形，
∴∠CDG=∠EDF=60°，CD=GD，DE=DF，
∴∠CDG+∠EDG=∠EDF+∠EDG或∠CDG−∠EDG=∠EDF−∠EDG，即∠CDE=∠GDF，
∴△DCE≌△DGF，
∴∠DCE=∠DGF=90°，
∴MG//BK//CH，
∴点F在直线KG上运动，
在Rt△GCH中，
∵CG=CD=GD=1，∠CGH=30°，
∴CH=12CG=12，
∴CH=NK=0.5，
又∵∠CGH=∠MCG=30°，
∴∠BCN=30°，
∴BN=12BC=1.5，
则BK=NK+BN=1.5+0.5=2，
根据垂线段最短可知，当点F与K重合时，BF的值最小且为2，
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，找出点P和点F重合时，CQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，证明△CAQ≌△EAP(SAS)，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：如图，在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠EAC=60∘，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠ABC=30∘，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB−AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30∘，BE=2，
∴EF=12BE=1，
故线段CQ长度最小值是1，
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AC的垂线，垂足为A，在垂线上截取AE=AC，连接CE，作EM⊥CD，交CD的延长线于M，
∴∠EAC=∠BAD=90°，
∴∠EAD+∠CAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AB=AD，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∠ADE=∠ABC，DE=BC=12，
∵AC=AE=142，
在Rt△ACE中，CE2=AC2+AE2，
∴CE=28，
∵∠BAD=90°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−30°−90°=240°，
∴∠ADE+∠ADC=240°，
∴∠CDE=120°，
∴∠EDM=60°，
∴在Rt△EDM中，∠DEM=30°，
∴DM=12DE=6，ME=DE2−DM2=63，
在Rt△CEM中，设CD=x，则CM=6+x，
∴(6+x)2+(63)2=282，
解得：x1=−32 (舍去)，x2=20，
∴CD=20，
故选：D．
过点A作AC的垂线，垂足为A，在垂线上截取AE=AC，连接CE，作EM⊥CD，交CD的延长线于M，证明△ABC≌△ADE，根据勾股定理求出CE长，求得∠ADE+∠ADC=240°，则在Rt△EDM中，∠DEM=30°，然后利用含30°的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30°的直角三角形，等腰直角三角形．解题的关键是把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，证明出∠CDE=120°．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，然后逐项判断即可．
【解答】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠C=60°AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°−∠BPQ=90°−60°=30°，
∴BP=2PQ.故③正确，
∵AC=BC，AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确，
无法判断BQ=AQ，故②错误，
故选：C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得．
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【解答】
解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM=PB，
∴PM=AB，
∵PM=32+12=10，
∴AB=10，
故选：D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是熟记判定三角形全等的方法．
【解答】
解：∵两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，
∴选项A不符合题意；
∵斜边与一锐角相等的两个直角三角形全等或一直角边与一锐角相等的两个直角三角形全等，
∴选项B不符合题意；
∵顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等，利用ASA证两个等腰三角形全等，
∴选项C符合题意；
∵三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，勾股定理和点的坐标确定，坐标与图形变化−旋转的有关知识，利用直角三角形全等的判定得CE=EA′，再利用勾股定理得CE=32，最后利用点的坐标确定得结论．
【解答】
解：连接DB′，BD，A′B′与CD相交与E点，如下图所示：
在Rt△DBC和Rt△DB′C中，
CD=CD，DB=DB′，
∴Rt△DBC≅Rt△DB′C，
∴BC=B′C=2，
则B′(−4,0)，
在Rt△ECB′和Rt△EA′D中，
B′C=A′D=2，∠B′EC=∠DEA′，∠ECB′=∠EA′D=90°，
∴Rt△ECB′≌Rt△EA′D，
因此CE=EA′，
在Rt△B′CE中，设CE=x，则B′E=4−x，
∵B′E2=CE2+B′C2，
即4−x2=x2+4，
解得x=32，即CE=32，
∴E−2,−32，
故选A．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线定义和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出CE=CF，再利用全等三角形的判定与性质及勾股定理得出答案．
【解答】
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FAD+∠AED=90°，∠CAF+∠CFA=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
在Rt△ACF和Rt△AGF中
FC=FGAF=AF
∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL)，
∵AC=3，AB=5，
∴AG=AC=3，
∴在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=4，BG=AB−AG=2，
在Rt△BGF中，FG2+BG2=BF2，
即FC2+4=(4−FC)2，
解得：FC=32，
即CE的长为32．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义及角平分线的定义.掌握平行线的性质定理及垂直的定义，角平分线的定义是解题的关键．
根据AB//CD，OP⊥CD可得OP⊥AB，然后分别求出∠BOE，∠POE，∠BOD，∠POB，∠DOF的度数，即可判断．
【解答】
解：∵AB//CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，
∴∠BPO=∠POC=∠POD=90°，
∵∠ABO=40°，
∴∠POB=50°，
∴∠COB=∠POC+∠POB=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=70°，故①正确；
∴∠POE=∠BOE−∠POB=20°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=∠EOF−∠POB−∠POE=20°，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
又∠BOD=∠PBO=40°，
∴∠FOD=20°，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故B．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握平行线的判定和性质.证明∠BAC+∠ACD=180°，得出AB//CD，可得①正确；由AB//CD，得出∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，可得②正确；由于∠E不一定等于∠ACE，因此AC不一定平行于BD，得出③错误；根据已知条件结合平行线的性质和角平分线定义，可以得出④正确．
【解答】
解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠1=12∠BAC，∠2=12∠ACD，
∴∠1+∠2=12(∠BAC+∠ACD)，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB//CD，故①正确；
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABE+∠CDF=180°，故②正确；
∵∠2不一定等于∠E，或者说∠E不一定等于∠ACE，
因此AC不一定平行于BD，故③错误；
∵∠ACD=2∠E，∠ACD=2∠ACE，
∴∠E=∠ACE，
∴AC//EF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠CAB=2∠CAF，
∴∠CAB=2∠F，故④正确．
因此正确的有3个．
故选C．
13.【答案】15∘或105∘或75∘或165°
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC和∠DEF的度数，再分别求出∠ABD即可．
【解答】
解：有四种情况：
第一种情况：如图1，
∵∠C=∠F=90∘，∠A=60∘，∠D=45∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=30∘，∠DBF=90∘−∠D=45∘，
∴∠ABD=∠DBF−∠ABC=45∘−30∘=15∘;
第二种情况：如图2，
∵∠ABC=30∘，∠DEF=45∘，
∴∠ABD=180∘−∠ABC−∠DEF=180∘−30∘−45∘=105∘;
第三种情况：如图3，
∵∠ABC=30∘，∠DEF=45∘，
∴∠ABD=∠ABC+∠DEF=30∘+45∘=75∘;
第四种情况：如图4，
∵∠DEF=45∘，
∴∠DBC=180∘−∠DEF=135∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=30∘+135∘=165∘;
∠ABD的度数是15∘或105∘或75∘或165∘，
故答案为：15∘或105∘或75∘或165°．
14.【答案】10．
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算；连接MC，M′C，先利用勾股定理求出AB2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CM=12AB，然后连接CM、CM′，再根据旋转的性质求出∠MCM′=90°，CM=CM′，再利用勾股定理列式求解即可．
【解答】
解：如图，连接MC，M′C，
∵AC=4，BC=2，
∴AB2=AC2+BC2=42+22 =20，
∵M是AB的中点，
∴CM=12AB，
∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，
∴∠A′CM′=∠ACM，
∵∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠MCB+∠BCM′=90°，
又∵CM=CM′，
∴△CMM′是等腰直角三角形，
∴M′M2= CM2+M′C2=12AB2=10，
∴M′M=10，
故答案为：10．
15.【答案】48°
【解析】解：如图，连接AC交BE于点P，连接PD，过点C作CM⊥PB于点M，CN⊥PD于点N，
则∠CMP=∠BMC=∠CNP=∠DNC=90°，
∵∠CPB=∠CPD，
∴∠CPM=∠CPN，
在△PMC与△PNC中，
∠CMP=∠CNP∠CPM=∠CPNPC=PC，
∴△PMC≌△PNC(AAS)，
∴PM=PN，MC=NC，
在Rt△BMC与Rt△DNC中，
MC=NCBC=CD，
∴Rt△BMC≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=DN，
∴BP=DP，
在△ABP与△ADP中，
AB=DAAP=APBP=DP，
∴△ABP≌△ADP(SSS)，
∴∠ADP=∠ABP，
∵∠ABE=48°，
∴∠ADP=48°，
故答案为：48°．
连接CP、PD、PA，过点C作CM⊥PB于点M，CN⊥PD于点N，先由AAS证得△PMC≌△PNC，得出PM=PN，MC=NC，再由HL证得Rt△BMC≌Rt△DNC，得出BM=DN，则BP=DP，然后由SSS证得△ABP≌△ADP，得出∠ADP=∠ABP，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】70°
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
【解答】
解：过点P作PE //AC，设∠C=x，
∵∠C=∠COA，∠BDC =∠BOD，∠COA=∠BOD，
∴∠BDC=∠C=x，
∴AC //BD，
∴∠B=∠CAO，
∵∠C=∠COA=x，
∴∠CAO=180−2x，
∴∠B=∠CAO=180−2x，
∵AP、DP分别平分∠CAO和∠BDC，
∴∠CAP=12∠CAO=90−x，∠BDP=12∠BDC=12x，
∵PE //AC，
∴∠APE=∠CAP=90−x，
∵PE //AC，AC //BD，
∴PE //BD，
∴∠DPE=∠BDP=12x，
∴∠APD=∠APE+∠DPE=90−12x，
∵∠C + ∠APD + ∠B = 165°，
∴x+(90−12x)+(180−2x)=165，
∴x=70，
即∠C=70°．
故答案为70°．
17.【答案】解：(1)如图所示：∠DBC=20°，
故答案为：20°
(2)如图所示：∠BAC=35°
如图所示：∠BAC=45°
故答案为：35°或45°；
(3)如图，若∠ABC是最大角时，△DBC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
∵DB=DC，
∴∠C=∠DBC=α，
∴∠ADB=2α，且∠ABD=90°，
∴∠BAC=90°−2α，
如图，△ABD是等腰三角形，△DBC是直角三角形，
∵∠BDC=90°−α，且AD=BD，
∴∠BAC=∠DBA=45°−α2，
若∠BAC=90°，满足题意，
若∠BAC=45°，满足题意，
故∠BAC=90°或45°或90°−2α或45°−α2．
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
(1)首先了解二分割线的定义，然后把∠ABC分成90°角和20°角即可；
(2)可以画出∠A=35°或45°的三角形；
(3)分四种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
18.【答案】解：(1)设直线l1的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
∵图象经过点(5,6)，A(−3,0)，
∴5k+b=6−3k+b=0，解得k=34b=94
∴直线l1的函数表达式为y=34x+94．
联立y=34x+94,y=3x解得：x=1y=3
∴点B的坐标为(1,3);
(2)∵A(−3,0)，B(1,3)，
∴S△AOB=12×3×3=92;
(3)∵点C在x轴上，∴∠BAC≠90∘，
∴当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90∘和∠ABC=90∘两种情况．
①当∠ACB=90∘时，点C在图中C1的位置：
∵点A和点C1均在x轴上，∴BC1⊥x轴．
∵B(1,3)，∴C1(1,0);
②当∠ABC=90∘时，点C在图中C2的位置：
设C2(m,0)，(m>0)
∵A(−3,0)，B(1,3)，C1(1,0)，
∴AC1=4，BC1=3，C1C2=m−1，AC2=m+3，
∴AB=AC12+BC12=42+32=5⋅
在Rt△ABC2中，AC22−AB2=BC22，
在Rt△BC1C2中，BC12+C1C22=BC22，
∴AC22−AB2=BC12+C1C22，
即(m+3)2−52=32+(m−1)2，解得m=134，∴C2(134,0)．
综上可知，在x轴上存在点C，使得△ABC是直角三角形，点C的坐标为(1,0)或(134,0)．
【解析】此题主要考查一次函数的综合，较难．
(1)利用待定系数法求解析式，再联立方程求B的坐标；
(2)根据三角形面积求解；
(3)利用分类讨论的思想，当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90∘和∠ABC=90∘两种情况.求解
19.【答案】解：(1)由题意得，a−2≥0，2−a≥0，
则a=2，
∴b=−1，
∴点A的坐标为(2,−1)；
(2)设AG与y轴交于点H，
∵F(1,0)，点A的坐标为(2,−1)，
∴OF=EF=AE=1，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴OH=OF，AF=HF，
∵点A、D关于x轴对称，
∴∠DOF=∠AOF，
∵∠DOG=∠HOE=90°，
∴∠HOG=∠DOF，
∴∠HOG=∠FOA，
在△OHG和△OFA中，
∠HOG=∠FOAOH=OF∠OHG=∠OFA=135°，
∴△OHG≌△OFA，
∴HG=FA，
∴AF：GF=1：2；
(3)作点F关于y轴的对称点G，过点A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，
由题意得，OG=OF=AH，OC=GH，
在△COG和△GHA中，
OG=AH∠GOC=∠AHCOC=GH，
∴△COG≌△GHA(SAS)，
∴GC=GA，∠GCO=∠AGH，
∴∠CGA为等腰直角三角形，
∴∠ACO+∠FCO=∠ACO+∠GCO=45°．
【解析】(1)根据二次根式的性质分别求出a、b的值，得到A点的坐标；
(2)证明△AEF为等腰直角三角形，得到△OHG≌△OFA，得到HG=FA，计算即可；
(3)作点F关于y轴的对称点G，过点A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，证明△COG≌△GHA，根据全等三角形的性质证明．
本题考查的是二次根式的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】(1)解：∵△ADB和△EBC为等边三角形，
∴DB=AB=1，∠ABD=60°，BE=BC，∠EBC=60°，
∴∠DBE=180°−60°−60°=60°，
∵∠EDB=90°，
∴∠DEB=30°，
∴BE=2DB=2，
∴BC=2；
(2)证明：∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC,
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴CD=AE；
(3)解：如图3，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC,
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=DC，
∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，
∴DE2+CE2=CD2，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC−∠BEC=30°．
【解析】本题考查的是等边三角形的性质，含30°直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理有关知识
(1)根据等边三角形的性质得出∠ABD=∠EBC=60°，从而得出∠DBE=60°，结合∠EDB=90°求出∠DEB=30°，然后求出BE即可；
(2)欲证明CD=AE，只要证明△ABE≌△DBC即可；
(3)连接DC，先利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得∠DEC=90°即可解决问题．
21.【答案】解：(1)90；
(2)①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°，
当点D在CB的延长线上时，α=β.
【解析】
【分析】
本题考查的知识点有全等三角形的判定、全等三角形的性质、分类讨论思想.解题关键是全等三角形 的判定与 性质两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角．
(1)先根据已知条件和全等三角形的判定定理得出△ABD≌△ACE，再根据三角形全等得出对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)① 在第(1)问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
② 是(1)和第(2)① 的拓展和延伸，要注意分两种情况即“当点D在射线BC上时”和“当点D在射线BC的反向延长线上时”分别求解即可．
【解答】
解：(1) ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°．
故答案为90；
(2)①见答案；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°．
，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在CB的延长线上时，α=β．
，
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，
∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β.
综上所述，当点D在BC延长线上时，α+β=180°；当点D在CB的延长线上时，α=β.
22.【答案】解：∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
又因为对称
∴∠ABP=∠DBP=x，
∴∠CBD=60°−∠ABP−∠DBP=60°−2x，
故∠CBD的大小为60°−2x；
(2)∠BEC不发生变化，∠BEC=60∘;
由(1)知，∠CBD=60°−2x，
∵AB=BC，AB=BD，
∴BD=BC ，
∴∠BDC=∠BCD=60°+x，
∵∠BDC=∠BEC+∠DBE=∠BEC+x=60°+x，
∴∠BEC=60° ;
(3)如图2，线段AE，BF，CE之间的数量关系为：BF=CE+12AE;
证明：如图2，在BE上取一点M，使EM=AE，连接AM，
∵由(2)知∠BEC=60∘，
∴∠AEB=60∘，
∴△AME是等边三角形，
∴AE=AM=EM，∠EAM=60∘，
∵∠BAM+∠CAM=∠CAM+∠CAE=60∘，
∴∠BAM=∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACE(SAS)，
∴BM=CE，
∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴AE=DE=EM，∠AFE=90∘，
∵∠AEB=60∘，
∴∠EAF=30∘，
∴EF=12AE，
∵BF=BE−EF=CE+AE=CE+12AE，
即BF=CE+12AE⋅
【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
(1)根据等边△ABC可知∠ABC=60°，因为对称可知∠ABP=∠DBP=x，则可求出∠CBD的大小；
(2)先判断出∠ABP=∠DBP=x，BD=BA，在判断出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60∘，进而得出BD=BC，∠CBD=60∘−2x，∠BDC=∠BCD=60∘+x，即可得出结论;
(3)先判断出△AME是等边三角形，得出AE=AM=EM，∠EAM=60∘，在判断出∠BAM=∠CAE，进而判断出△ABM≌△ACE(SAS)，得出BM=CE，再判断出∠AFE=90∘，得出∠EAF=30∘，∴EF=12AE，即可得出结论．
23.【答案】DF⊥BC．
理由如下：
∵BE⊥CD于点E，在Rt△BEC与Rt△AED中，
BE=DEBC=DA，∴Rt△BEC≌Rt△AED(HL)，∴∠B=∠D，∵∠D+∠EAD=90°，
∠EAD=∠FAB，∴∠B+∠FAB=90°，∴DF⊥BC．
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等．
24.【答案】解：(1)110；
(2)如图：
∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=180°−60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE−∠BED=6°②，
由①−②，得2∠BED=54°，
∴∠BED=27°．
答：∠BED的度数为27°．
(3)∵BE，CD是▵ABC的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，
∴2x+2y+α=180°，即：x+y=90°−12α，
∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，
∴∠CEP=12(180°−2y−x)，∠CDP=12(180°−2x−y)，
∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=12(180°−2y−x)+y−12(180°−2x−y)=12x+12y=45°−14α，
即：∠P=45°−14α．
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．(1)由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
(2)根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°−∠C=180°−60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
(3)设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°−12α，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，.再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】
解：(1)由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°−∠AOB=180°−70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，
∴∠EDA=∠FDA，
∵DE=DF，
∴AD⊥EF(三线合一)．
【解析】根据角平分线得出DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，推出∠EDA=∠FDA，根据等腰三角形性质推出即可．
本题考查了角平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
湘教版初中数学八年级下册第一单元《直角三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB.下列结论中，正确的个数是( )
①∠1=∠EFD; ②BE=EC; ③BF=DF=CD; ④FD//BC．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图，已知在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B=90°，AB=BC，AC=AD，在BC边上取一点E，连接AE、DE.若∠DAC=2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC=∠DAC；②∠BAE与∠ACD互余；③AE平分∠BED；④DE=AB+BE，⑤S△ADC=S△CED+S△ABE，其中正确的命题个数有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为BC边上一点，CD=1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 四边形ADBC中，AB=AD,∠BAD=90°,∠BCD=30°,BC=12,AC=142，则CD的值为( )
A. 15 B. 142 C. 12+72 D. 20
6. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积。如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )
A. 22 B. 5 C. 325 D. 10
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
B. 一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D. 三个内角对应相等的两个三角形全等
9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A(0,−4)，C(−2,0)，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转，点B恰好落在x轴上，线段B′A′与CD交于点E，那么点E的坐标为( )
A. (−2,−32) B. (−2,−54) C. (−2,−2) D. (−2,−34)
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC=3，AB=5，则CE的长为( )
A. 32 B. 43 C. 53 D. 85
11. 如图，AB//CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=40∘，则下列结论： ①∠BOE=70∘， ②OF平分∠BOD， ③∠POE=∠BOF， ④∠POB=2∠DOF.其中正确的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 如图，已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90∘.下列结论正确的有( )
①AB//CD;②∠ABE+∠CDF=180∘; ③AC//BD;④若∠ACD=2∠E,则∠CAB=2∠F.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是_______________°．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB，A′B′的中点，若AC=4，BC=2，则线段MM′的长为_____．
15. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠D=120°，AB=BC=CD=DA，E是边AD上的一点，且∠ABE=48°，若线段BE上存在点P，使∠CPB=∠CPD.则∠ADP的度数为______．
16. 如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠BDC =∠BOD，AP、DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C + ∠P + ∠B = 165°，则∠C的度数是________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
(1)在图2的△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°，请在图2中画出△ABC关于点B的二分割线，且∠DBC角度是______．
(2)已知∠C=20°，在图3中画出不同于图1，图2的△ABC，所画△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，∠BAC的度数是______．
(3)已知∠C=α，△ABC同时满足：
①∠C为最小角；
②存在关于点B的二分割线，请求出∠BAC的度数(用α表示)．
18. (本小题8.0分)
如图，已知直线l1经过点(5,6)，交x轴于点A(−3,0)，直线l2：y=3x交直线l1于点B．
(1)求直线l1的函数表达式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，b)，且a、b满足b=a−2+2−a−1
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，已知点F(1,0)，点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；
(3)如图2，若点F(1,0)、C(0,3)，连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围．
20. (本小题8.0分)
在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边在直线的同侧作等边三角形，作得的两个等边三角形的另一顶点分别为D，E两点.连结DE．
(1)如图1所示，若∠BDE= 90°，AB= 1，求BC的长度．
(2)如图2所示，连结CD，AE，求证：CD=AE．
(3)如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2=AE2，试求∠DEB的度数．
21. (本小题8.0分)
在▵ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右 侧作▵ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=_______度；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
22. (本小题8.0分)
如图，过等边△ABC的顶点B在△ABC内部作射线BP，设∠ABP=x(0°
(1)求出∠CBD的大小；(用含x的式子表示)
(2)试说明在∠ABP变化的过程中，∠BEC的大小保持不变，并求出∠BEC的大小;
(3)连接AD，交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并予以证明．
23. (本小题8.0分)
已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA.判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
24. (本小题8.0分)
我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．
性质理解：
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB=70°，则∠C+∠D=____°．
性质应用：
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
拓展提高：
(3)如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，直接写出∠P的度数(用含α的式子表示∠P).
25. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于点E、点F，求证：AD垂直平分EF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】C
【解析】解：①设∠BAE=α，则∠DAC=2α，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=45°−α，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=2α+45−α=α+45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=180°−∠DAC2=180°−2α2=90°−α，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACB=90°−α+45°=135°−α，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴点A、E、C、D共圆，
∴∠DEC=∠DAC，
故①正确；
②由①得：∠ACD=90°−α，
∵∠BAE=α，
∴∠ACD+∠BAE=90°，
故②正确；
③由①得：点A、E、C、D共圆，
∴∠AED=∠ACD，∠AEB=∠ADC，
∵∠ADC=∠ACD，
∴∠AED=∠AEB，
故③正确；
④如图1，
作AF⊥DE于F，
由③得：AE平分∠BED，
∵∠B=90°，
∴AB=AF，
∵点A、E、C、D共圆，
∴∠ADE=∠ACB=45°，
∴∠DAF=90°−∠ADE=45°，
∴∠ADE=∠DAF，
∴DF=AF，
∵∠B=∠AFE=90°，∠AED=∠AEB，
∴∠BAE=∠EAF，
∴BE=EF，
∴DE=DF+EF=AB+BE，
故④正确；
⑤如上图，
∵AD=AC，AF=AB，∠AFD=∠B=90°，
∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)，
∴S△ADF+S△AEF>S△ACB，
∴S△ADF+S△AEF−S△AOE>S△ACB−S△AOE，
∴S△AOD>S△ABE+S△COE，
∴S△AOD+S△COD>S△ABE+S△COE+S△COD，
∴S△ACD>S△CDE+S△ABE，
故⑤不正确，
故选：C．
①设∠BAE=α，依次表示出∠DAC，∠ACD，∠DAE，∠DCE，从而计算得∠DAE+∠DCE=180°，从而得出点A、E、C、D共圆，进一步得出结果；
②计算可得出结果；
③可推出∠AEB=∠ADC，∠AED=∠ACD，进一步得出结果；
④作AF⊥DE，可推出DF=AF=AB，BE=FE，进一步得出结果；
⑤可推出△ADE的面积大于△ABC的面积，进而得出△AOD的面积大于△ABE与△COE的面积之和，进一步得出△ACD的面积大于△ABE与△CDE的面积之和．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键寻找角之间数量关系．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，涉及勾股定理，属于难题．
解：如图所示：以CD为边向右作等边三角形CDG，连接FG，过点B作BK⊥FG，过点C作CH⊥FG，过点C作CN⊥BK，垂足分别为K，H，N，CN交DG于点M，通过证明△DCE≌△DGF，得出∠DCE=∠DGF=90°，可得MG//BK//CH，点F在直线KG上运动，通过得出NK和BN得出BF的最小值．
【解答】
解：如图所示：以CD为边向右作等边三角形CDG，连接FG，过点B作BK⊥FG，过点C作CH⊥FG，过点C作CN⊥BK，垂足分别为K，H，N，CN交DG于点M，
∴∠CHK=∠HKN=∠KNC=90°，
∴四边形CHKN为长方形，
∴CH=NK．
∵△CDG和△DEF是等边三角形，
∴∠CDG=∠EDF=60°，CD=GD，DE=DF，
∴∠CDG+∠EDG=∠EDF+∠EDG或∠CDG−∠EDG=∠EDF−∠EDG，即∠CDE=∠GDF，
∴△DCE≌△DGF，
∴∠DCE=∠DGF=90°，
∴MG//BK//CH，
∴点F在直线KG上运动，
在Rt△GCH中，
∵CG=CD=GD=1，∠CGH=30°，
∴CH=12CG=12，
∴CH=NK=0.5，
又∵∠CGH=∠MCG=30°，
∴∠BCN=30°，
∴BN=12BC=1.5，
则BK=NK+BN=1.5+0.5=2，
根据垂线段最短可知，当点F与K重合时，BF的值最小且为2，
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，找出点P和点F重合时，CQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，证明△CAQ≌△EAP(SAS)，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：如图，在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠EAC=60∘，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠ABC=30∘，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB−AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30∘，BE=2，
∴EF=12BE=1，
故线段CQ长度最小值是1，
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AC的垂线，垂足为A，在垂线上截取AE=AC，连接CE，作EM⊥CD，交CD的延长线于M，
∴∠EAC=∠BAD=90°，
∴∠EAD+∠CAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠CAB，
∵AB=AD，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∠ADE=∠ABC，DE=BC=12，
∵AC=AE=142，
在Rt△ACE中，CE2=AC2+AE2，
∴CE=28，
∵∠BAD=90°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−30°−90°=240°，
∴∠ADE+∠ADC=240°，
∴∠CDE=120°，
∴∠EDM=60°，
∴在Rt△EDM中，∠DEM=30°，
∴DM=12DE=6，ME=DE2−DM2=63，
在Rt△CEM中，设CD=x，则CM=6+x，
∴(6+x)2+(63)2=282，
解得：x1=−32 (舍去)，x2=20，
∴CD=20，
故选：D．
过点A作AC的垂线，垂足为A，在垂线上截取AE=AC，连接CE，作EM⊥CD，交CD的延长线于M，证明△ABC≌△ADE，根据勾股定理求出CE长，求得∠ADE+∠ADC=240°，则在Rt△EDM中，∠DEM=30°，然后利用含30°的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30°的直角三角形，等腰直角三角形．解题的关键是把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，证明出∠CDE=120°．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，然后逐项判断即可．
【解答】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠C=60°AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°−∠BPQ=90°−60°=30°，
∴BP=2PQ.故③正确，
∵AC=BC，AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确，
无法判断BQ=AQ，故②错误，
故选：C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得．
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【解答】
解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM=PB，
∴PM=AB，
∵PM=32+12=10，
∴AB=10，
故选：D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是熟记判定三角形全等的方法．
【解答】
解：∵两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，
∴选项A不符合题意；
∵斜边与一锐角相等的两个直角三角形全等或一直角边与一锐角相等的两个直角三角形全等，
∴选项B不符合题意；
∵顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等，利用ASA证两个等腰三角形全等，
∴选项C符合题意；
∵三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，勾股定理和点的坐标确定，坐标与图形变化−旋转的有关知识，利用直角三角形全等的判定得CE=EA′，再利用勾股定理得CE=32，最后利用点的坐标确定得结论．
【解答】
解：连接DB′，BD，A′B′与CD相交与E点，如下图所示：
在Rt△DBC和Rt△DB′C中，
CD=CD，DB=DB′，
∴Rt△DBC≅Rt△DB′C，
∴BC=B′C=2，
则B′(−4,0)，
在Rt△ECB′和Rt△EA′D中，
B′C=A′D=2，∠B′EC=∠DEA′，∠ECB′=∠EA′D=90°，
∴Rt△ECB′≌Rt△EA′D，
因此CE=EA′，
在Rt△B′CE中，设CE=x，则B′E=4−x，
∵B′E2=CE2+B′C2，
即4−x2=x2+4，
解得x=32，即CE=32，
∴E−2,−32，
故选A．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线定义和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出CE=CF，再利用全等三角形的判定与性质及勾股定理得出答案．
【解答】
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FAD+∠AED=90°，∠CAF+∠CFA=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
在Rt△ACF和Rt△AGF中
FC=FGAF=AF
∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL)，
∵AC=3，AB=5，
∴AG=AC=3，
∴在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=4，BG=AB−AG=2，
在Rt△BGF中，FG2+BG2=BF2，
即FC2+4=(4−FC)2，
解得：FC=32，
即CE的长为32．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义及角平分线的定义.掌握平行线的性质定理及垂直的定义，角平分线的定义是解题的关键．
根据AB//CD，OP⊥CD可得OP⊥AB，然后分别求出∠BOE，∠POE，∠BOD，∠POB，∠DOF的度数，即可判断．
【解答】
解：∵AB//CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，
∴∠BPO=∠POC=∠POD=90°，
∵∠ABO=40°，
∴∠POB=50°，
∴∠COB=∠POC+∠POB=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=70°，故①正确；
∴∠POE=∠BOE−∠POB=20°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=∠EOF−∠POB−∠POE=20°，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
又∠BOD=∠PBO=40°，
∴∠FOD=20°，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故B．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握平行线的判定和性质.证明∠BAC+∠ACD=180°，得出AB//CD，可得①正确；由AB//CD，得出∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，可得②正确；由于∠E不一定等于∠ACE，因此AC不一定平行于BD，得出③错误；根据已知条件结合平行线的性质和角平分线定义，可以得出④正确．
【解答】
解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠1=12∠BAC，∠2=12∠ACD，
∴∠1+∠2=12(∠BAC+∠ACD)，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB//CD，故①正确；
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABE+∠CDF=180°，故②正确；
∵∠2不一定等于∠E，或者说∠E不一定等于∠ACE，
因此AC不一定平行于BD，故③错误；
∵∠ACD=2∠E，∠ACD=2∠ACE，
∴∠E=∠ACE，
∴AC//EF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠CAB=2∠CAF，
∴∠CAB=2∠F，故④正确．
因此正确的有3个．
故选C．
13.【答案】15∘或105∘或75∘或165°
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC和∠DEF的度数，再分别求出∠ABD即可．
【解答】
解：有四种情况：
第一种情况：如图1，
∵∠C=∠F=90∘，∠A=60∘，∠D=45∘，
∴∠ABC=90∘−∠A=30∘，∠DBF=90∘−∠D=45∘，
∴∠ABD=∠DBF−∠ABC=45∘−30∘=15∘;
第二种情况：如图2，
∵∠ABC=30∘，∠DEF=45∘，
∴∠ABD=180∘−∠ABC−∠DEF=180∘−30∘−45∘=105∘;
第三种情况：如图3，
∵∠ABC=30∘，∠DEF=45∘，
∴∠ABD=∠ABC+∠DEF=30∘+45∘=75∘;
第四种情况：如图4，
∵∠DEF=45∘，
∴∠DBC=180∘−∠DEF=135∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=30∘+135∘=165∘;
∠ABD的度数是15∘或105∘或75∘或165∘，
故答案为：15∘或105∘或75∘或165°．
14.【答案】10．
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算；连接MC，M′C，先利用勾股定理求出AB2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CM=12AB，然后连接CM、CM′，再根据旋转的性质求出∠MCM′=90°，CM=CM′，再利用勾股定理列式求解即可．
【解答】
解：如图，连接MC，M′C，
∵AC=4，BC=2，
∴AB2=AC2+BC2=42+22 =20，
∵M是AB的中点，
∴CM=12AB，
∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，
∴∠A′CM′=∠ACM，
∵∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠MCB+∠BCM′=90°，
又∵CM=CM′，
∴△CMM′是等腰直角三角形，
∴M′M2= CM2+M′C2=12AB2=10，
∴M′M=10，
故答案为：10．
15.【答案】48°
【解析】解：如图，连接AC交BE于点P，连接PD，过点C作CM⊥PB于点M，CN⊥PD于点N，
则∠CMP=∠BMC=∠CNP=∠DNC=90°，
∵∠CPB=∠CPD，
∴∠CPM=∠CPN，
在△PMC与△PNC中，
∠CMP=∠CNP∠CPM=∠CPNPC=PC，
∴△PMC≌△PNC(AAS)，
∴PM=PN，MC=NC，
在Rt△BMC与Rt△DNC中，
MC=NCBC=CD，
∴Rt△BMC≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=DN，
∴BP=DP，
在△ABP与△ADP中，
AB=DAAP=APBP=DP，
∴△ABP≌△ADP(SSS)，
∴∠ADP=∠ABP，
∵∠ABE=48°，
∴∠ADP=48°，
故答案为：48°．
连接CP、PD、PA，过点C作CM⊥PB于点M，CN⊥PD于点N，先由AAS证得△PMC≌△PNC，得出PM=PN，MC=NC，再由HL证得Rt△BMC≌Rt△DNC，得出BM=DN，则BP=DP，然后由SSS证得△ABP≌△ADP，得出∠ADP=∠ABP，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】70°
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
【解答】
解：过点P作PE //AC，设∠C=x，
∵∠C=∠COA，∠BDC =∠BOD，∠COA=∠BOD，
∴∠BDC=∠C=x，
∴AC //BD，
∴∠B=∠CAO，
∵∠C=∠COA=x，
∴∠CAO=180−2x，
∴∠B=∠CAO=180−2x，
∵AP、DP分别平分∠CAO和∠BDC，
∴∠CAP=12∠CAO=90−x，∠BDP=12∠BDC=12x，
∵PE //AC，
∴∠APE=∠CAP=90−x，
∵PE //AC，AC //BD，
∴PE //BD，
∴∠DPE=∠BDP=12x，
∴∠APD=∠APE+∠DPE=90−12x，
∵∠C + ∠APD + ∠B = 165°，
∴x+(90−12x)+(180−2x)=165，
∴x=70，
即∠C=70°．
故答案为70°．
17.【答案】解：(1)如图所示：∠DBC=20°，
故答案为：20°
(2)如图所示：∠BAC=35°
如图所示：∠BAC=45°
故答案为：35°或45°；
(3)如图，若∠ABC是最大角时，△DBC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
∵DB=DC，
∴∠C=∠DBC=α，
∴∠ADB=2α，且∠ABD=90°，
∴∠BAC=90°−2α，
如图，△ABD是等腰三角形，△DBC是直角三角形，
∵∠BDC=90°−α，且AD=BD，
∴∠BAC=∠DBA=45°−α2，
若∠BAC=90°，满足题意，
若∠BAC=45°，满足题意，
故∠BAC=90°或45°或90°−2α或45°−α2．
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
(1)首先了解二分割线的定义，然后把∠ABC分成90°角和20°角即可；
(2)可以画出∠A=35°或45°的三角形；
(3)分四种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
18.【答案】解：(1)设直线l1的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
∵图象经过点(5,6)，A(−3,0)，
∴5k+b=6−3k+b=0，解得k=34b=94
∴直线l1的函数表达式为y=34x+94．
联立y=34x+94,y=3x解得：x=1y=3
∴点B的坐标为(1,3);
(2)∵A(−3,0)，B(1,3)，
∴S△AOB=12×3×3=92;
(3)∵点C在x轴上，∴∠BAC≠90∘，
∴当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90∘和∠ABC=90∘两种情况．
①当∠ACB=90∘时，点C在图中C1的位置：
∵点A和点C1均在x轴上，∴BC1⊥x轴．
∵B(1,3)，∴C1(1,0);
②当∠ABC=90∘时，点C在图中C2的位置：
设C2(m,0)，(m>0)
∵A(−3,0)，B(1,3)，C1(1,0)，
∴AC1=4，BC1=3，C1C2=m−1，AC2=m+3，
∴AB=AC12+BC12=42+32=5⋅
在Rt△ABC2中，AC22−AB2=BC22，
在Rt△BC1C2中，BC12+C1C22=BC22，
∴AC22−AB2=BC12+C1C22，
即(m+3)2−52=32+(m−1)2，解得m=134，∴C2(134,0)．
综上可知，在x轴上存在点C，使得△ABC是直角三角形，点C的坐标为(1,0)或(134,0)．
【解析】此题主要考查一次函数的综合，较难．
(1)利用待定系数法求解析式，再联立方程求B的坐标；
(2)根据三角形面积求解；
(3)利用分类讨论的思想，当△ABC是直角三角形时，需分∠ACB=90∘和∠ABC=90∘两种情况.求解
19.【答案】解：(1)由题意得，a−2≥0，2−a≥0，
则a=2，
∴b=−1，
∴点A的坐标为(2,−1)；
(2)设AG与y轴交于点H，
∵F(1,0)，点A的坐标为(2,−1)，
∴OF=EF=AE=1，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴OH=OF，AF=HF，
∵点A、D关于x轴对称，
∴∠DOF=∠AOF，
∵∠DOG=∠HOE=90°，
∴∠HOG=∠DOF，
∴∠HOG=∠FOA，
在△OHG和△OFA中，
∠HOG=∠FOAOH=OF∠OHG=∠OFA=135°，
∴△OHG≌△OFA，
∴HG=FA，
∴AF：GF=1：2；
(3)作点F关于y轴的对称点G，过点A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，
由题意得，OG=OF=AH，OC=GH，
在△COG和△GHA中，
OG=AH∠GOC=∠AHCOC=GH，
∴△COG≌△GHA(SAS)，
∴GC=GA，∠GCO=∠AGH，
∴∠CGA为等腰直角三角形，
∴∠ACO+∠FCO=∠ACO+∠GCO=45°．
【解析】(1)根据二次根式的性质分别求出a、b的值，得到A点的坐标；
(2)证明△AEF为等腰直角三角形，得到△OHG≌△OFA，得到HG=FA，计算即可；
(3)作点F关于y轴的对称点G，过点A作AH⊥x轴于H，连接GC、GA，证明△COG≌△GHA，根据全等三角形的性质证明．
本题考查的是二次根式的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】(1)解：∵△ADB和△EBC为等边三角形，
∴DB=AB=1，∠ABD=60°，BE=BC，∠EBC=60°，
∴∠DBE=180°−60°−60°=60°，
∵∠EDB=90°，
∴∠DEB=30°，
∴BE=2DB=2，
∴BC=2；
(2)证明：∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC,
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴CD=AE；
(3)解：如图3，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC,
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=DC，
∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，
∴DE2+CE2=CD2，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC−∠BEC=30°．
【解析】本题考查的是等边三角形的性质，含30°直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理有关知识
(1)根据等边三角形的性质得出∠ABD=∠EBC=60°，从而得出∠DBE=60°，结合∠EDB=90°求出∠DEB=30°，然后求出BE即可；
(2)欲证明CD=AE，只要证明△ABE≌△DBC即可；
(3)连接DC，先利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得∠DEC=90°即可解决问题．
21.【答案】解：(1)90；
(2)①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°，
当点D在CB的延长线上时，α=β.
【解析】
【分析】
本题考查的知识点有全等三角形的判定、全等三角形的性质、分类讨论思想.解题关键是全等三角形 的判定与 性质两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角．
(1)先根据已知条件和全等三角形的判定定理得出△ABD≌△ACE，再根据三角形全等得出对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)① 在第(1)问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
② 是(1)和第(2)① 的拓展和延伸，要注意分两种情况即“当点D在射线BC上时”和“当点D在射线BC的反向延长线上时”分别求解即可．
【解答】
解：(1) ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°．
故答案为90；
(2)①见答案；
②当点D在BC延长线上时，α+β=180°．
，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在CB的延长线上时，α=β．
，
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，
∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β.
综上所述，当点D在BC延长线上时，α+β=180°；当点D在CB的延长线上时，α=β.
22.【答案】解：∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
又因为对称
∴∠ABP=∠DBP=x，
∴∠CBD=60°−∠ABP−∠DBP=60°−2x，
故∠CBD的大小为60°−2x；
(2)∠BEC不发生变化，∠BEC=60∘;
由(1)知，∠CBD=60°−2x，
∵AB=BC，AB=BD，
∴BD=BC ，
∴∠BDC=∠BCD=60°+x，
∵∠BDC=∠BEC+∠DBE=∠BEC+x=60°+x，
∴∠BEC=60° ;
(3)如图2，线段AE，BF，CE之间的数量关系为：BF=CE+12AE;
证明：如图2，在BE上取一点M，使EM=AE，连接AM，
∵由(2)知∠BEC=60∘，
∴∠AEB=60∘，
∴△AME是等边三角形，
∴AE=AM=EM，∠EAM=60∘，
∵∠BAM+∠CAM=∠CAM+∠CAE=60∘，
∴∠BAM=∠CAE，
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACE(SAS)，
∴BM=CE，
∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴AE=DE=EM，∠AFE=90∘，
∵∠AEB=60∘，
∴∠EAF=30∘，
∴EF=12AE，
∵BF=BE−EF=CE+AE=CE+12AE，
即BF=CE+12AE⋅
【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
(1)根据等边△ABC可知∠ABC=60°，因为对称可知∠ABP=∠DBP=x，则可求出∠CBD的大小；
(2)先判断出∠ABP=∠DBP=x，BD=BA，在判断出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60∘，进而得出BD=BC，∠CBD=60∘−2x，∠BDC=∠BCD=60∘+x，即可得出结论;
(3)先判断出△AME是等边三角形，得出AE=AM=EM，∠EAM=60∘，在判断出∠BAM=∠CAE，进而判断出△ABM≌△ACE(SAS)，得出BM=CE，再判断出∠AFE=90∘，得出∠EAF=30∘，∴EF=12AE，即可得出结论．
23.【答案】DF⊥BC．
理由如下：
∵BE⊥CD于点E，在Rt△BEC与Rt△AED中，
BE=DEBC=DA，∴Rt△BEC≌Rt△AED(HL)，∴∠B=∠D，∵∠D+∠EAD=90°，
∠EAD=∠FAB，∴∠B+∠FAB=90°，∴DF⊥BC．
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等．
24.【答案】解：(1)110；
(2)如图：
∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=180°−60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE−∠BED=6°②，
由①−②，得2∠BED=54°，
∴∠BED=27°．
答：∠BED的度数为27°．
(3)∵BE，CD是▵ABC的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，
∴2x+2y+α=180°，即：x+y=90°−12α，
∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，
∴∠CEP=12(180°−2y−x)，∠CDP=12(180°−2x−y)，
∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=12(180°−2y−x)+y−12(180°−2x−y)=12x+12y=45°−14α，
即：∠P=45°−14α．
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．(1)由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
(2)根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°−∠C=180°−60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
(3)设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°−12α，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，.再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】
解：(1)由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°−∠AOB=180°−70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，
∴∠EDA=∠FDA，
∵DE=DF，
∴AD⊥EF(三线合一)．
【解析】根据角平分线得出DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，推出∠EDA=∠FDA，根据等腰三角形性质推出即可．
本题考查了角平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
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