湘教版8下数学第一章《直角三角形复习题1》课件+教案

课题名

直角三角形复习与小结

教学目标

1.知识与技能：①系统了解本章的知识体系及知识内容；②在熟练掌握直角三角形相关概念的基础上，进一步熟悉掌握直角三角形性质与判定的应用；③在掌握角平分线性质及其逆定理的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练。

2.过程与方法：通复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题.通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标。

3.情感态度和价值观：主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力。

教学重点

 勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质和判定，角平分线性质与判定在解决实际问题中的作用。

教学难点

 综合运用直角三角形相关知识解决问题.

教学准备

教师准备：制作《直角三角形复习与小结》课件。

学生准备：自主独立完成《复习题1》，并标出不会做的题。

教学过程

一、 知识点一：直 角 三 角形 的 性 质

1.教师提问：直角三角形有哪些性质？

学生回答：

1）直角三角形的角之间的性质：两角锐角之和等于900。

2）直角三角形的斜边上的中线性质:直角三角形斜边上的中线=斜边的一半。

3）直角三角形的三边之间的关系：两直角边的平方和=斜边的平方。

二、知识点二：特殊直角三角形的性质

1.教师提问：我们学过哪些特殊的直角三角形？这些特殊的三角形有哪些性质？

学生回答：

1）有300（或600）直角三角形的性质：300所对直角边= 斜边的长

2）等腰直角三角形的性质：①等腰直角三角形的两直角边相等； ②等腰直角三角形的两锐角相等，都等于450。

三、对点练习一：

1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=200，求∠BDC的度数。

解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线

∴CD=AD=BD；   ∴∠DCA=∠A=200   

∴∠BDC=∠A+∠DCA=400

§直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形。

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=900，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A=300，AB=8，求DE的长。

解：∵D为AB的中点；     ∴ AD=AB=4

又∵∠DEA=900，∠A=300 ；       ∴DE=AD=2

3.用计算器求图中的x (结果精确到0.1 m).

1）解：依题意得：                         解：依题意得：

x==≈4.9                 x==≈1.7

5.已知A、B两艘船从港口O出发，船A以15km/h的速度向东航行；船B以10km/h的速度向北航行，它们离开港口2h后，相距多远？

解：如图，由题意可知：∠AOB=900, OA=15×2=30（km）,

OB=10×2=20(km)

∴AB===10(km)

答：2h后两船相距10km。

8.在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下来走向离树15米处的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘(假设其下落的轨迹为直线），如果两只猴子经过的距离相等，那么这棵树有多高呢？

分析：设另一只猴子爬到树顶要爬x米则，树高（直角边）：（5+x）米；因两只猴子经过的距离相等，向下爬的猴子经过的距离为（5+15）米，因此直角三角形的斜边为（20-x)米；而另一直角边为15米，则可得方法：(5+x)2+152=(5+15-x)2，解得：x=3。从而求出树高8米。

解：设另一只猴子爬到树顶要爬x米,依题意得:

     （x+5)2+152=（5+15-x)2

    解得：x=3

   ∴x+5=3+5=8（m）

答：这棵树高8米。  

9.已知直角三角形的两直角边的和为,斜边长为2，求这个直角三角形的面积。

分析：设这个直角三角形的两直角边长分别为a、b，则a+b=，a2+b2=22；从而可得(a+b)2=a2+2ab+b2=()2，将a2+b2=22便可得ab=1；于是可直角三角形的面积ab=.

解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a、b，则依题意得：a+b=   , a2+b2=22=4.

∵a+b=，      ∴(a+b)2=()2,即：a2+b2+2ab=6

又∵a2+b2=4，     ∴ab=1   ∴ ab=，即直角三角形的面积为。

四、知识点三：直角三角形的判定

教师提问：判定一个三角形是直角三角形有哪些方法?

学生回答：

①定义判定法：有一个角=900的三角形是直角三角形；

②两锐角互余判定：两个角互余的三角形是直角三角形；

③中线判定法：一边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；

④勾股定理判定法：如果一个三角形的两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

五、知识点四：特殊直角三角形的判定

1.教师提问：判定直角三角形有一个角等于300（或600）有什么方法？

学生回答：在直角三角形内，如果一直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对角等于300.

2. 证明一个直角三角形是等腰直角三角形有什么方法？

学生回答：①两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形；

②两锐角相等（或都为450）的直角三角形是等腰直角三角形。

六、对点练习2：

4.判断由a，b, c组成的三角形是不是直角三角形.

(1) a=15, b=8, c=17;                       (2) a=， b=1，c=；

解：∵a=15, b=8, c=17                    解：∵a= , b=1, c= 

∴a2+b2=152+82=289,                         ∴a2+c2=()2+()2=,                     

  c2=172=289                                b2=12=1

∴a2+b2=c2                                 ∴a2+c2≠b2

∴由a，b, c组成的三角形是直角三角形。∴由a，c, b组成的三角形不是直角三角形。

(3) a=1.5, b=2, c=2.5.

解：∵a=1.5, b=2, c=2.5

∴a2+b2=1.52+22=6.25

c2=2.52=6.25

∴由a，b, c组成的三角形是直角三角形.

§规律：已知三边判定直角三角形可用勾股定理：a2+b2=22；

七、知识点五：

教师提问：判定两个直角三角形全等有哪些方法？

学生回答：

① 普通方法：两边一角夹中间（SAS）；两角一边任意选（AAS、ASA）；

三边也可证全等（SSS）。

②  特殊方法（HL）： 一直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等。

八、对点练习3：

6.如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D=900，BE=FC，AB=DF。求证：∠ACB=∠DEF。

分析：由“BE=FC”可得：BE+EC=CF+EC,即：BC=FE，因此通过“A=∠D=900，AB=DF，BC=FE”便可证明Rt△ABC≌Rt△DFE，从而得到∠ACB=∠DEF。

证明：∵BE=FC      ∴BE+EC=FC+EC,即：BC=FE

在△BAD和△BCD中

∵∠A=∠D=900，AB=DF，BC=FE

∴Rt△ABC≌Rt△DFE     ∴∠ACB=∠DEF 。

九、知识点六：角平线的定理及逆定理

1.教师提问：角平分线有哪些性质？

学生回答：①角平分线分得的两个角相等，都等于整体的一半；

②、角平分线上的点到角两边的距离相等。（证明一点引出的两垂线段相等常用）。

2.判定一条射线是一个角的角平分线有哪些方法？

学生回答：①定义判定法：一射线将一个角分成相等的两份，那么这条射线就是这个角的角平分线。

②角平分线的性质的逆定理：角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（证明点在角平分线上或一射线是角平分线）

十、对点练习4：

7.如图，已知∠AOB=300，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝４，求PD的长。

分析：由“P是∠AOB平分线上一点”，因此过过点P作PE⊥OA于点E，则可得“PD=PE”。由“∠AOB=300，CP∥OB”可得∠ECP＝∠AOB=300，进而可得PE=PC=2.因此PD=PE=2.

解：过点P作PE⊥OA于点E

∵CP∥OB     ∴∠ECP＝∠AOB=300

∵∠PEC=900,PC=4    ∴ PE=PC=2 

又∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA   ∴   PD=PE=2

10.如图，在△ABC中，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的平分线且交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，若AB=12㎝，求△DEB的周长。

分析：由“∠C=900，AD是∠BAC的平分线且交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E”可得CD=ED.因而在Rt△ACD和Rt△AED中,∠C=∠AED=900，CD=ED，AD=AD，所以Rt△ACD≌Rt△AED。进而AE=AC=BC.于是可得出C△DEB=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12㎝

解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC     ∴DC=DE

又∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∠C=∠AED=900，AD=AD，DC=DE

∴Rt△ACD≌Rt△AED     ∴AE=AC=BC

∴C△DEB=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB=12㎝ 

十一、综合应用：

11、如图，小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为450，然后从山脚沿一段倾角为300的斜坡走了2km到达山腰C，此时测得主峰B的仰角为600，于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？

分析：由题意可知：∠BAH=450，∠BCD=600，AC=2km，AHB=∠CDB=900.

由“在Rt△AHB中，∠BAH=450”可得∠ABH=450，所以可得∠ABC=150；而∠BAC=∠BAH-∠CAH=150=∠ABC,所以BC=AC=2km；而要求主峰BH的高度，只需算出BD和DH的长。在Rt△CBD中，∠CBD=900-∠BCD=300，所以CD=CB=1km,根据勾股定理可得：BD==km。而DH=CE,因此只需算出CE的长。在Rt△AEC中∠CDB=900,∠CAH=300，所以CE=AC=1km。

解：由题意可知：∠BAH=450，∠BCD=600，∠CAH=300，AC=2km，AHB=∠CDB=900.

过点C作CE⊥AH于点E,则DH=CE

∵∠BAH=450，∠AHB=900，    ∴∠ABH=∠BAH=450

∵∠BCD=600,∠BDC=900             ∴∠CBD=300

∴∠ABC=∠ABH -∠CBD=150

又∵∠BAC=∠BAH -∠CAH=150    ∴∠ABC=∠BAC

∴BC=AC=2km，   ∴ CD=CB=1km     ∴BD==km

∵在Rt△ACE中，∠CAE=300,∠AEC=900,  ∴ CE=AC=1km=HD

∴BH=BD+DH= +1(km),即：主峰的高度为（+1）km。

12.图(a) 表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A,当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10 cm.如图(b), 若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16 cm.则当钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少?

解：16-10=6(cm)

×6=3(cm)   16+3=19(cm)

答：当钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为19cm。

四、你的收获：

1、直角三角形的性质：①两锐角互余；②斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理。

2.直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理。

3.直角三角形全等的判定方法：①普通方法：SAS、ASA、AAS、SSS；②特殊方法：HL。

4.角平分线的性质：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

布置作业

课堂作业：

家作：根据复习题的讲解，将错的题重一遍。

板书设计

教学反思

本节课从归纳本章主要内容入手，以精选练习为范本，采用训练为主讲解为辅的方式，由浅入深，层层深入，真正做到让学生动起来，让课堂活跃起来，让学生对所学内容得到深化，能力进一步提高。