高中苏教版 (2019)1.1 集合的概念与表示优秀第1课时学案设计

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1.1 集合的概念与表示


第1课时 集合的含义








高一开学第一天，学校通知：上午9点，在学校操场举行新学期的第一次升旗仪式，这个通知的对象是全体在校师生还是个别对象？参加升旗仪式的师生能否构成一个集合？初中阶段，我们学习过哪些集合？








1．元素与集合的概念


一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．


2．集合中元素的特征


集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．


思考：假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你去集合吗？


[提示] 不知道，不清楚自己到底是不是高个子．


3．元素与集合的表示


(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．


(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．


4．元素与集合的关系


(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．


(2)不属于(符号：或eq \x\t(∈))，a不是集合A中的元素，记作aA或aeq \x\t(∈)A，读作“a不属于A”．


5．常用数集及表示符号





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)漂亮的花可以组成集合． ( )


(2)在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．( )


[提示] (1)因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．


(2)因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．


[答案] (1)× (2)×


2．由单词different中的字母构成的集合是 ．


{d，i，f，e，r，n，t} [由集合中元素的互异性知，重复的字母只能算一个，故字母有d，i，f，e，r，n，t．]


3．用“∈”或“”填空．


3.5 N；－4 Z；0.5 R；


eq \r(2) N*；eq \f(1,3) Q．


∈ ∈ ∈ [因为3.5不是自然数，故3.5N；


因为－4是整数，故－4∈Z；


因为0．5是实数，故0．5∈R；


因为eq \r(2)不是正整数，故eq \r(2)N*；


因为eq \f(1,3)是有理数，故eq \f(1,3)∈Q．]





【例1】 观察下列各组对象能否组成一个集合？


(1)无限接近零的数；


(2)方程x2－2x－3＝0的所有解；


(3)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．


[思路点拨] 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定．


[解] (1)不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合．


(2)能．因为方程x2－2x－3＝0的解为x1＝3，x2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素3和－1．


(3)能．因为第一象限内的点是确定的点．





一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合的过程为：








eq \([跟进训练])


1．判断下列每组对象能否构成一个集合．


(1)不超过20的非负数；


(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；


(3)某校2020年在校的所有高个子同学；


(4) eq \r(3)的近似值的全体．


[解] (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．


(2)能构成集合．


(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．


(4)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．


【例2】 所给下列关系正确的序号是 ．


①－eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)Q；③0N*；④|－3|N*．


[思路点拨] 注意各个数集的范围，尤其是其中的特殊数值．


①②③ [－eq \f(1,2)为实数，eq \r(2)是无理数，


0为自然数，但非正整数，|－3|＝3为正整数．


故①②③正确，④错误．]





1．由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立．


2．符号“∈”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．


3．“∈”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合．





eq \([跟进训练])


2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的有 ．(填序号)


①0∈M,2∈M；②0M,2∈M；③0∈M,2M；④0M,2M．


② [本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M．]


[探究问题]


1．某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？


[提示] 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个对象在不在这个集合中就确定了．


2．有同学说，在某一个集合中有a，－a，|a|三个元素，他说的对吗？


[提示] 这种说法是错误的，因为|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0，,－aa<0，))且若a＝0，则a，－a，|a|均为0，这些均与元素的互异性矛盾．


3．“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？


[提示] 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．


【例3】 若集合A中有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．


[思路点拨] 按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．


[解] (1)若a－3＝－3，则a＝0，此时满足题意；


(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．


(3)若a2－4＝－3，则a＝±1．当a＝1时，满足题意；


当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．


综上可知，a＝0或a＝1．





(变条件)若将本例条件“－3∈A”改为“a∈A”且A为有理数集，其他条件不变，求a的值．


[解] 因为a∈A，


所以a＝a－3或a＝2a－1或a2－4＝a，


又因为A为有理数集，解得a＝1．


此时集合A含有三个元素－2,1，－3，符合题意，故实数a的值为1．





1．集合元素特征中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题．


2．求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验，防止产生增解．(如本题中的a＝－1)











集合中元素的三个特征


(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．


(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b．


(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是同一个集合．





1．下列所给关系正确的个数是( )


①π∈R；②2eq \r(3)Q；③0∈N*；④|－4|N*．


A．1 B．2 C．3 D．4


B [∵π是实数，2eq \r(3)是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数是2．]


2．下列能构成集合的有 ．


①中央电视台著名节目主持人；②我市跑得快的汽车；③上海市所有的中学生；④香港超过100层的高楼．


③④ [①②中研究的对象不确定，因此不能构成集合．]


3．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的 ．


①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．


④ [由元素的互异性知a，b，c均不相等．]


4．若x∈N，求满足2x－5<0的元素组成的集合中所有元素的和．


[解] 由2x－5<0，得x

学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例理解并掌握集合的有关概念．


2．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)


3．体会元素与集合的属于关系．(重点)


4．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)
通过本节内容的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的含义
元素与集合的关系
集合元素的特征