高中数学4.5 函数的应用（二）同步达标检测题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.5　函数的应用(二)

4.5.1　函数的零点与方程的解

1.C　[解析] 令f(x)=0,即2x2-4x-3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×(-3)=40>0,所以方程2x2-4x-3=0有两个不相等的实根,即f(x)有两个零点.

2.C　[解析] ∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,∴f(0)f(1)<0,又函数f(x)=2x+x3-2在R上单调递增,∴由函数零点存在定理可得函数f(x)=2x+x3-2的零点所在的区间是(0,1),故选C.

3.B　[解析] ∵f(x)图像的对称轴方程为x=-<0,且f(0)=a<0,∴要使函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则需f(1)=2+a>0,即a>-2,∴-2<a<0.故选B.

4.D　[解析] ∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)·f(7)<0,∴函数f(x)存在零点的区间有4个,故选D.

5.D　[解析] 当x>0时,由3x-1=0解得x=,∵函数f(x)在R上有两个零点,∴当x≤0时,ex+a=0有解,又当x≤0时,0<ex≤1,∴-1≤a<0,故选D.

6.B　[解析] 令f(x)=-x=0,即=x.在同一平面直角坐标系中画出幂函数y=和指数函数y=x的图像,如图所示,可得两函数图像的交点只有一个,所以f(x)的零点个数为1,故选B.

7.BC　[解析] 对于A,令y==0,无解,故该函数没有零点,A不符合题意;对于B,令y==0,解得x=±,故该函数的零点为-,,B符合题意;对于C,令y=x+1=0,解得x=-1,故该函数的零点为-1,C符合题意;对于D,分段函数y=的图像与x轴没有交点,故该函数没有零点,D不符合题意.故选BC.

8.AD　[解析] ∵函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,∴即∴g(x)=6x2-5x-1,令g(x)=0,解得x=1或x=-,即g(x)的零点是1和-,故选AD.

9.1　[解析] 令f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,即x=1.

10.1　[解析] 因为函数f(x)=x2+x-1的两个零点分别为x1和x2,所以x1和x2是方程x2+x-1=0的两个实根,所以x1+x2=-1,x1x2=-1,所以x2+x1=x1x2(x1+x2)=-1×(-1)=1.

11.10　[解析] 由题中函数图像可知f(±1)=0,f(0)=0,g±=0,g(0)=0,g(±2)=1,g(±1)=-1,所以f[g(±2)]=f(1)=0,f[g(±1)]=f(-1)=0,fg±=f(0)=0,f[g(0)]=f(0)=0,所以y=f[g(x)]有7个零点,即m=7,又g[f(0)]=g(0)=0,g[f(±1)]=g(0)=0,所以y=g[f(x)]有3个零点,即n=3,所以m+n=10.

12.(1,4]　[解析] 由f(x)=得f[f(x)]=作出函数y=f[f(x)]的图像,如图所示,

由图可知当1<k≤4时,函数y=f[f(x)]-k有3个不同的零点.

13.解:(1)因为f(1)=0,所以b=1,

又因为f(x)在区间(2,3)上有零点,且f(x)的一个零点是1,

所以f(2)·f(3)<0,即(2a-3)(4a-8)<0,解得<a<2.

(2)由(1)知f(x)=-x2+2ax-2a+1,其图像的对称轴方程为x=a.

①当a≤0时,f(x)max=f(0)=-2a+1=2,则a=-;

②当0<a<3时,f(x)max=f(a)=a2-2a+1=2,

则a=1+或a=1-(舍去);

③当a≥3时,f(x)max=f(3)=4a-8=2,则a=(舍去).

综上,a=-或a=1+.

14.解:(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(-1)=f(1),即log2-a=log25+a,

故a===-1.

(2)依题意,g(x)=log2(22x+1)-x-2=log2(22x+1)-log22x+2,

令g(x)=0,得22x+1=2x+2,

即(2x)2-4×2x+1=0.

令2x=t(t>0),则t2-4t+1=0,

解得t1=2-,t2=2+,

即x1=log2(2-),x2=log2(2+),

所以函数g(x)有两个零点,分别为log2(2-)和log2(2+).

15.D　[解析] 由题意,令2x-m=1或2x-m=-1,即m=2x-1或m=2x+1,当m=2x-1>-1时,有一个解,当m=2x+1>1时,有一个解,所以当m>1时,方程|2x-m|=1有两个不等实根,故选D.

16.ACD　[解析] 画出f(x)的图像如图所示.

令t=f(x),则方程化为t2-2t+a2-1=0,所以Δ=4(2-a2).当Δ=0,即a2=2时,t=1,此时f(x)=1,由图可知直线y=1与f(x)的图像有2个交点,即方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0的根的个数为2,故A正确.当Δ>0,即a2<2时,t=1±,则0<≤,故1<1+≤1+,1-≤1-<1.当t=1-时,f(x)=1-∈(-1,1),由图像可知此时方程有2个解;当t=1+时,若t∈(1,2],由图像可知此时方程有3个解,若t∈(2,1+],由图像可知此时方程有2个解.综上,当a2<2时,方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0的根的个数为5或4,故C,D均正确.故选ACD.

17.解:(1)当m=1时,f(x)=4x-2·2x+1,令f(x)=0,

设2x=t(t>0),则方程化为t2-2t+1=0,

解得t=1,此时x=0,故函数f(x)有唯一零点0.

(2)设2x=t(t>0),则原函数对应的方程可化为t2+(m-3)t+m=0,因为函数f(x)有两个零点,所以方程t2+(m-3)t+m=0有两个不等正根,则有解得0<m<1.