必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）随堂练习题

4．4．3　不同函数增长的差异

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列函数中，增长速度最慢的是(　B　)

A．y＝6x　　　　　 B．y＝log6x

C．y＝x6　　 D．y＝6x

[解析]　由函数的特征可知，对数函数y＝log6x增长速度最慢．

2．一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　A　)

A．分段函数　　 B．二次函数

C．指数函数　　 D．对数函数

[解析]　由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．

3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(　C　)

A．y＝100x　　 B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x　　 D．y＝100x

[解析]　对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；

对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；

对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；

对于D中的函数，当x＝2，3，4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故选C．

4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中最有可能正确的是(　C　)

[解析]　即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A，D；即时价格若一直上长升，则平均价格也应一直上升，排除B(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A，D)．故选C．

5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　C　)

A．y＝0.2x　　 B．y＝x2＋2x

C．y＝　　 D．y＝0.2＋log16x

[解析]　将x＝1，2，3依次代入各函数表达式中得

与已知值0.2，0.4，0.76相比较可知选C．

6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法：

①前5 min温度增加越来越快；②前5 min温度增加越来越慢；③5 min后温度保持匀速增加；④5 min后温度保持不变．

其中说法正确的是(　C　)

A．①④　　 B．②④

C．②③　　 D．①③

[解析]　前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以②③正确，故选C．

二、填空题

7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用__甲__作为函数模型．

8．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．

其中正确信息的序号是__①②③__．

[解析]　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．

三、解答题

9．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%．树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)？

[解析]　设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：

连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；

生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5．

则＝．

∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N．

因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．

B级　素养提升

1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　A　)

A．指数函数：y＝2t　　 B．对数函数：y＝log2t

C．幂函数：y＝t3　　 D．二次函数：y＝2t2

[解析]　由散点图可知，与指数函数似合的最贴切，故选A．

2．下列函数中在某个区间(x0，＋∞)内随x增大而增大速度最快的是(　C　)

A．y＝2 007lnx　　 B．y＝x2 007

C．y＝　　 D．y＝2 007·2x

[解析]　由于当自变量x大于某个数x0时，指数的增长是“爆炸式”的，且底数越大，增长越快，又e>2，故函数y＝随x增大而增大的速度最快．

3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　C　)

A．y＝0.9　　 B．y＝(1－0.1)m

C．y＝0.9m　　 D．y＝(1－0.150x)m

[解析]　设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9，x年后的湖水量为y＝0.9m，故选C．

4．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　A　)

[解析]　依题意，当0＜x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；

当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM

＝×(1＋)×1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋．故选A．

二、填空题

5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝__2ln2__，经过5 h，1个病毒能繁殖为__1_024__个．

[解析]　∵当t＝0．5时，y＝2，∴2＝e，∴k＝2ln2，

∴y＝e2tln2．当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1 024．

6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量Mkg的函数关系是v＝2 000ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的__e6－1__倍时，火箭的最大速度可达12 km/s．

[解析]　设M＝tm，则有2 000ln(1＋t)＝12 000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1．

三、解答题

7．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a L水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t min后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5 min时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有．

[解析]　由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝，

设再过t分钟水桶甲中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，

所以e－n(t＋5)＝＝()3＝e－15n，

∴t＋5＝15，∴t＝10．

∴再过10分钟水桶甲中的水只有．

C级　能力拔高

1．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58．为了预测以后各月的患 病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？

[解析]　依题意：

得

即

解得

∴甲：y1＝x2－x＋52，

又

①－②，得p·q2－p·q1＝2　④

②－③，得p·q3－p·q2＝4　⑤

⑤÷④，得q＝2，

将q＝2代入④式，得p＝1，

将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，

∴乙：y2＝2x＋50，

计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；

当x＝5时，y1＝72，y2＝82；当x＝6时，y1＝82，y2＝114．

可见，乙选择的模型较好．

2．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．

[解析]　(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，

∴设y＝kt，代入点(0.1，1)，得k＝10，

∴y＝10t(0≤t≤0.1)．

同理，将点(0.1，1)代入解析式y＝()t－a，得a＝0.1，

综上可知y＝

(2)令y＝0.25，解得t1＝0.025，t2＝0.6，

∴从药物释放开始，至少需要0.6小时后，学生才能回到教室．